2021-2022学年天津市津南区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市津南区高三（上）期末数学试卷

1.     设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     ，“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     函数在区间上的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

4.     若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     设，、，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间单位：百万元内，将其分成5组：并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为(    )

A. 16 B. 22 C. 64 D. 88

7.     已知直线l过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若l过抛物线的焦点，则p的值为(    )

A. 12 B.  C. 2 D. 4

8.     已知函数给出下列结论：
   ①的最小正周期为；
   ②是的最大值；
   ③把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象．
   其中所有正确结论的序号是(    )

A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③

9.     已知，函数若恰有2个零点，则a的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10. i是虚数单位，复数______.
11. 展开式中的常数项为______.
12. 已知直线和圆相切，则实数a的值为______.
13. 盒中装有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球．若从中取2个球，恰好都是黑球的概率是______；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数X的数学期望______.
14. 已知，，且，则的最小值为______.
15. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，则______；设，则______.

16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，BC的面积为
    求a的值；
    求的值；
    求的值．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，E为棱CD的中点．
    求直线PD与平面PBE所成角的正弦值；
    为直线PA上一点，且满足平面PBE，求线段DM的长．

18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为
    求椭圆的方程：
    过椭圆右焦点且斜率为的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于其中O为原点，证明直线l过定点．
19. 已知数列的前n项和，是公比大于n的等比数列，且满足，
    求和的通项公式；
    若数列的前n项和为，求证：；
    对任意的正整数n，设数列求
20. 已知函数，
    求曲线在处的切线方程；
    若在区间上单调递减，求a的取值范围：
    若，存在两个极值点，，证明：
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：设全集，
集合，，
，
则
故选：
先求出，由此能求出
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由题，“”不一定得出“”，如时，“不成立
由可得，即，故“”可得出“”
综上知，“”是“”的必要不充分条件
故选：
由题意，可判断命题若“”则“”与命题若“”则“”的真假，再作出判断得出正确选项
本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是理解充分条件必要条件的定义，由定义作出判断，本题考查了判断推理的能力
 

3.【答案】A 

【解析】解：，则是奇函数，排除B，D，
当时，，排除C，
故选：
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：长方体的体对角线的长度为，
因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为4，
故表面积为
故选：
算出长方体的体对角线的长后可得球的半径，从而可求球的表面积．
本题考查了长方体的外接球的表面积计算，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：，，，
，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由频率分布直方图得内的频率为：
，
估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为：

故选：
由频率分布直方图求出内的频率，由此能估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数．
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：双曲线的左焦点为，双曲线C的一条渐近线方程为
直线l的方程为，
抛物线的焦点恰好在直线l上，
，
故选：
求出直线l的方程，将抛物线的焦点坐标代入，即可求出结论．
本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
 

8.【答案】C 

【解析】解：函数；
对于①，的最小正周期为，故①错误；
对于②，当时是的最大值，故②正确；
对于③，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象，故③正确．
故选：
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：若是一个零点，
则只有一个零点，
即有，且此时当时，只有一个实根，
而，
解方程根得，易得，
即当时，恰有2个零点，，，.
若不是函数的零点，则为函数的2个零点，于是
，解得：
综上：
故选：
讨论是函数的零点和不是函数的零点两种情况，然后结合二次函数零点分布求得答案．
本题考查了分段函数的零点及分类讨论思想，关键点是对是否为零点的讨论，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
故答案为：
求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，得，
则圆心坐标为，半径为1，
由直线和圆相切，
可得，解得
故答案为：
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式列式求解．
本题考查圆的切线方程和点到直线距离公式，是基础题．
 

13.【答案】  

【解析】解：从中取2个球，恰好都是黑球的概率为，
X所有可能取值为1，2，3，
，，，

故答案为：；
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及期望公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，以及期望公式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，且，
所以
；
当且仅当，即，时，等号成立
所以的最小值为
故答案为：
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式，求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】0 6 

【解析】解：因为，，，，，，
所以，
又，
则，
又，
所以，
即，
则；
又，
又，，，
则，
则，
则，
解得：，
即，
故答案为：0；
由平面向量数量积运算求解即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属中档题．
 

16.【答案】解：由，由正弦定理得，又的面积为
，解得，；
由余弦定理有，，
由正弦定理有，；
，，又由知，，
，，
 

【解析】由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；
由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出；
根据求出，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值，
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：底面ABCD，，
以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，

可得，，，，，
为CD中点，

设为平面PBE的法向量，则，即，
解得，
，

直线PD与平面PBE所成角的正弦值为
设M坐标为，则
平面PBE，
，
，即，

，
线段DM的长为 

【解析】利用坐标法，可求平面PBE的法向量，利用线面角的向量求法即得；
由题设M坐标为，利用条件可得，利用模长公式即求．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：依题意，，
，
又，，
，，
椭圆的标准方程为
证明：由知右焦点坐标为，设直线m方程为，，，
由得，，
，
，，
直线OP的斜率，
直线l的斜率，令得点E坐标为，
直线l的方程为，即，
直线l恒过定点 

【解析】由题可得，然后利用离心率即求；
设直线m方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线l的方程为，即证．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：当时，，
，又，
当时，，
设数列的公比为q，
，
解得，
；
证明：，

，
当时，，
，
即；
解：由题意，，
设，
即，①
由得，②
由①②得，
从而，
 

【解析】利用与的关系可求，利用等比数列的基本量运算可得；
利用裂项相消法即得；
利用错位相乘法即得．
本题考查了数列的通项，裂项相消和错位相减求和，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意知：定义域为，
，又，
曲线在处的切线方程为；
，又在区间上单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，，
，即实数a的取值范围是；
证明：由知：，满足，，
不妨设，则，

，

则要证，即证，
即证，也即证成立，
设函数，则，
在单调递减，又，
当时，，
，即 

【解析】利用导数的几何意义即可求得切线方程；
根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，由可得结果；
设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论．
本题考査导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题．