2022-2023学年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙五中高三（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙五中高三（上）期末数学试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知a，，若与互为共轭复数，则(    )

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

3.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是(    )

A.  B. 85 C. 90 D.

5.  下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若P是一个质数，则像这样的正整数被称为梅森数．从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，则(    )

A. 是的极小值点 B. 是的极大值点
C. 的最小值为 D. 的最大值为3

8.  已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上且在第一象限，线段的中点Q在C的渐近线上，则点P的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知向量，，下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 存在，使得
C.  D. 与的夹角为锐角

10.  已知圆C：的圆心坐标为，则(    )

A. ，
B. 圆C的半径为2
C. 圆C上的点到直线距离的最小值为
D. 圆C上的点到直线距离的最小值为

11.  2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则(    )

A.  B.
C. 是偶函数 D. 在区间上单调

12.  在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，在堑堵中，P是的中点，，若平面过点P，且与平行，则(    )

A. 异面直线与CP所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C. 当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D. 当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
 

13.  已知，则ab的最大值为______.

14.  已知为R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______.

15.  在空间四边形ABCD中，，，二面角的余弦值为，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为______.

16.  已知曲线C由抛物线及抛物线组成，，，D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限，则四边形ABED周长的最小值为______，此时直线AD的斜率为______.

17.  的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且的面积为
求；
若，求

18.  已知等比数列的前n项和为，为等差数列，
求，的通项公式；
设，数列的前n项和为，求

19.  已知四棱锥的底面ABCD为正方形，，F为棱PC上的点，过AF的平面分别交PB，PD于点E，G，且平面
证明：平面
若F为PC的中点，，求直线PB与平面AEFG所成角的正弦值．

20.  甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内含42个的员工每个零件4元，超出42个的部分每个5元．假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：
甲公司一名员工生产零件个数频数表

乙公司一名员工生产零件个数频数表

若将频率视为概率，回答以下问题：
现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不高于39的概率；
小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明做出选择，并说明理由．

21.  已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为
求椭圆C的标准方程．
过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和的值；若不存在，说明理由．

22.  已知函数
当时，证明：对任意的，都有；
证明：

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：因为，
所以或，
所以或
故选：
根据已知条件，结合补集，以及交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集，以及交集的定义，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：与互为共轭复数，
，，

故选：
由与互为共轭复数，求出a，b的值，可解出
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：因为，，，
故，，
所以
故选：
解方程得到，再利用二倍角公式计算得到答案．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：根据题意，，
故这个学习小组成员该次数学测试成绩的第14项为90，第15项为95，
故第70百分位数为：，
故这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是
故选：
根据百分位数的定义，计算求解可得答案．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：对于A选项，因为函数的定义域为，
，，
故，所以函数不是奇函数，不符合条件，A错误；
对于B选项，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合条件，B错误；
对于D选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，不符合条件，D错误；
对于选项C，因为函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，
将函数式变为，因为函数在单调递增，且，
所以函数在单调递增，且，
所以函数在单调递减，且，
所以随着x增大，函数的函数值也增大，即是单调递增函数，符合条件．
故选：
根据选取特殊值可排除AB，利用偶函数的定义可以排除D，根据奇函数和复合函数的单调性质判断
本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：50以内的所有质数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47共15个，
梅森数有，，三个，
从50以内的所有质数中任取两个数有种情况，
两个数都为梅森数有种情况，所以两个数都为梅森数的概率为
故选：
找出50以内的所有质数和梅森数，利用组合数公式和古典概型概率计算公式可得答案．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：函数
则，
当时，，当，，，，
当时，，且函数是上的连续函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，没有最大值，所以ABD都不正确．
的极小值为，所以C正确．
故选：
先结合x的范围对已知函数进行化简，然后求导判断单调性可得．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：设，且，，，
C：的左焦点为，由中点坐标公式可得，
双曲线的渐近线方程为：，
将代入得，即，
又，，，
两式联立可求解得，
故
故选：
根据中点坐标公式得，将其代入渐近线方程中，联立双曲线方程即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，则，该方程在实数域内无解，故不可能垂直，故B错误；
对于C，，故，故C正确；
对于D，，故与的夹角不可能为锐角，故D错误．
故选：
根据向量共线的坐标运算可判断A，根据向量垂直的坐标运算可判断B，根据模长的坐标运算可判断C，根据数量积的正负与夹角的关系可判断
本题主要考查空间向量平行与垂直的性质，向量模的求法，向量夹角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

10.【答案】AC 

【解析】解：由圆C：的圆心坐标为得，
所以，，故A正确，
圆的半径，故B错误，
圆心到直线的距离为，故圆C上的点到直线距离的最小值为，故C正确，D错误．
故选：
根据圆的一般方程可得圆心坐标和半径，进而可判断AB，根据圆心到直线的距离即可求解圆上点到直线的最小距离，即可判断
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】BC 

【解析】解：因为，
则，
由题意得，即，故，
因为，，
所以，
所以，则选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，
所以，则，故选项B正确；
因为，所以，所以为偶函数，则选项C正确；
，由，得，因为函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以在区间上不单调，则选项D错误．
故选：
由，求得，由题意得，由，，解出，，由破碎的涌潮的波谷为，解得A，得到和解析式，逐个判断选项．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，还考查了正弦函数及余弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解；对于A选项，由题可知AC，CB，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
所以，，
所以异面直线与CP所成角的余弦值为，故A正确；
，，三棱锥的体积是该“堑堵”体积的，所以B正确；
对于C，如图，E，F，G分别为，，的中点，
则，，，，，，，
所以，，P，E，F，G共面，又，平面PEFG，平面PEFG，所以平面PEFG，
则四边形PEFG为平面截棱柱的截面图形，

所以四边形PEFG是等腰梯形，且高为，
当E不是中点时，PE不平行平面，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，，故C正确；
对于D，如图，Q，R，S分别为AB，AC，的中点，

则，，，，，，，，所以，
同理可得四边形PORS为平面截棱柱的截面图形，
由题可知，，，平面，平面，
所以平面，所以平面，又平面，
所以，
故四边形PQRS是直角梯形，当S不是中点时，PS不平行平面ABC，
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，故D错误．
故选：
利用坐标法及线线角的向量求法可判断A，根据锥体的体积公式可判断B，作出平面截棱柱的截面图形结合条件可得截面的面积判断
本题主要考查棱锥的体积，异面直线所成的角，平面的基本性质及推论，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：，
故，当，即或时取等号．
故答案为：
直接利用均值不等式计算得到答案．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由函数与均在上单调递增，
故在上单调递增，
而为R上的奇函数，
故在R上单调递增，等价于，得，
故答案为：
由函数的奇偶性与单调性转化后求解，
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取AC的中点O，连接OD，OB，因为，，
所以，，因为，所以平面OBD，
又因为，，平面ABC，平面ACD，
所以为二面角的平面角，延长BO，过D作，垂足为E，
因为，所以，
易知，
在中，由，解得，
从而，，
把三棱锥补成如图所示的长方体，
则BD即为空间四边形ABCD的外接球的直径，
因为，
所以外接球的表面积为
故答案为：
取AC的中点O，连接OD，OB，求出二面角的平面角为，延长BO，过D作，垂足为E，从而可求导ED，EB的长，将把三棱锥补成长方体，由长方体外接球的性质可得球的直径，从而可得外接球的表面积．
本题主要考查空间几何体外接球的面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：设抛物线的焦点为F，则，，
根据对称可知四边形ABED为等腰梯形，
四边形ABED周长为：
，
当且仅当A，D，F三点共线时，等号成立，又，
周长的最小值为，此时，
故答案为：；
根据等腰梯形的周长以及抛物线的焦半径得周长为，进而根据三点共线即可求解最小值．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，由正弦定理角化边得 ，解得，
由，

因为的面积为所以 ，即，
所以
由知，又 ，所以 解得，，
由余弦定理，解得 

【解析】已知，正弦定理角化边求得求，得到 ，再由的面积求得ac，可计算；
由中ac和，可解出a，c，再由余弦定理求
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：当时，，，
当时，，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
又，，解得，
所以等差数列公差，
从而得；
因为，
所以，
，
所以，
所以 

【解析】运用公式求的通项，由已知求的公差，再求通项公式；
利用错位相减法求数列的前n项和．
本题考查等差数列的通项公式的应用，方程思想，错位相减法求和，属中档题．
 

19.【答案】解：连接AC，BD相交于O，连接OP，
底面ABCD为正方形，
，又，O为BD中点，
，又，AC，平面PAC，
平面PAC，
又平面平面，平面PBD，平面AEFG，
，
平面PAC；
，O为BD的中点，，
又，且O为AC的中点，
，又，AC，平面ABCD，
平面ABCD，
设正方形ABCD的边长为2，则，
，，
建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得：
，，，，
，，，
，，，
设平面AEFG的法向量为，
则，，取，
设直线PB与平面AEFG所成的角是，
则，
直线PB与平面AEFG所成的角的正弦值为 

【解析】由，，推出平面PAC，根据平面AEFG可得，进而平面
如图所示建立空间直角坐标系，求出平面AEFG的法向量，根据直线的方向向量与法向量的夹角即可求解．
本题考查线面垂直的证明，向量法求解线面角问题，属中档题．
 

20.【答案】解：记“这3天生产的零件个数都不高于39”为事件M，
则，
所以这3天生产的零件个数都不高于39的概率为；
设甲公司员工的日工资为X，
当生产零件个数为38个时，元，
当生产零件个数为39个时，元，
当生产零件个数为40个时，元，
当生产零件个数为41个时，元，
当生产零件个数为42个时，元，
又，，，，，
X的分布列为：

所以元，
所以甲公司员工的日工资的平均值为元，
设乙公司员工的日工资为Y，
则当生产零件个数为40个时，元，
当生产零件个数为41个时，元，
当生产零件个数为42个时，元，
当生产零件个数为43个时，元，
当生产零件个数为44个时，元，
又，，，，，
则Y的分布列为：

所以元，
所以乙公司员工的日工资的平均值为元，
因为，
所以如果仅从日工资的角度考虑的话，小明应该选择到甲公司应聘． 

【解析】根据甲公司员工生产零件个数频数表以及古典概型概率公式计算可得结果；
设甲公司员工的日工资为X，则X的所有可能取值为：216，218，220，222，224，求出X的分布列以及数学期望；设乙公司员工的日工资为Y，则Y的所有可能取值为：160，164，168，173，178，求出Y的分布列以及数学期望，比较两个数学期望的大小可作出选择．
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得焦点F的坐标为，
设椭圆标准方程为，则椭圆C的半焦距，
又椭圆C的离心率 ，所以，，
所以椭圆C的标准方程
如图所示：

当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，直线l的斜率不为0，
设直线l：，，，联立方程组，
消去x，得，
所以，，
所以
联立方程组，消去x，得，
设，，则，，
所以，
所以，
令 ，得
当时，，
即存在使为定值 

【解析】由焦点坐标和椭圆离心率，待定系数法可求椭圆C的标准方程．
联立方程组，运用韦达定理表示，，再找为定值时的实数
本题主要考查抛物线与椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】证明：设函数，，，，在上单调递增，
，即，，，
又因为，因为，，
所以，即在恒成立，所以，得证．
，
而，欲证，
即证，也就是证对即可．
即证，即证，观察可知与有关系，
由知时对恒成立，
即，故得证毕． 

【解析】证明，所以，求函数即可；
根据原题可以转化证明，也就是证明，结合第一问可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．