2022-2023学年广东省广州六十五中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省广州六十五中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共14页。试卷主要包含了 圆C， 直线l等内容，欢迎下载使用。

A. 15B. 4C. 5D. 17
2. 在等比数列{an}中，a2+a3=1，a3+a4=2，则a4+a5=( )
A. 32B. 16C. 8D. 4
3. 双曲线x24−y29=1的渐近线方程是( )
A. y=±32xB. y=±23xC. y=±94xD. y=±49x
4. 圆C：x2+y2+6x−8y+24=0关于直线y=x对称的圆的方程为( )
A. (x−4)2+(y+3)2=1B. (x−4)2+(y−3)2=49
C. (x+4)2+(y−3)2=1D. (x+4)2+(y+3)2=49
5. 在数列{an}中，a1=2，an+1an=an−1，a2022=( )
A. 2B. 1C. −1D. 12
6. 如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM=2MC′，则下列向量中与OM相等的向量是( )
A. 12AB+16AD+23AA′
B. 12AB+16AD+13AA′
C. −12AB+56AD+13AA′
D. −12AB+76AD+23AA′
7. 直线l：y=−x+m与曲线x=4−y2有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A. [−2,22)
B. (−22,−2]
C. (−22,2]
D. [2,22)
8. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(3,1)，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为( )
A. x212+y24=1
B. x215+6y215=1
C. x216+7y216=1
D. x218+y22=1
9. 已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，则m//α
B. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，α//β，则n//β
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
10. 下列关于抛物线y2=10x的说法正确的是( )
A. 焦点在x轴上
B. 焦点到准线的距离等于10
C. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于72
D. 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为(2,1)
11. 圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2+2x−8y=0的交点为A，B，则有( )
A. 公共弦AB所在直线方程为x−2y=0
B. 线段AB中垂线方程为2x+y−2=0
C. 公共弦AB的长为255
D. P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为55+1
12. 对于数列{an}，定义H0=a1+2a2+⋯+2n−1ann为{an}的“优值”．现已知数列{an}的“优值”H0=2n+1，记数列{an−20}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. an=2n+2
B. Sn=n2−19n
C. S8=S9
D. Sn的最小值为−62
13. 已知a=(1,x,3)，b=(−2,4,y)，若a//b，则x+y=______.
14. 已知直线l1：ax+2y−3=0与l2：3x+(1−a)y+4=0，若l1⊥l2，则实数a的值为______.
15. 若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=113S5，则a10a5=______.
16. F1(−4,0)、F2(4,0)是双曲线C：x2m−y24=1(m>0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2=60∘，则△F1MF2的面积为______.
17. 已知直线l1：2x−y+6=0和l2：x−y+1=0的交点为P.
(1)若直线l经过点P且与直线l3：4x−3y−5=0平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程．
18. 已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{bn}的前三项．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn.
19. 问题：平面直角坐标系xOy中，半径为3的圆C过点A(1,−1)，且_____.(在以下两个条件中任选一个，补充在横线上．)
①圆心C在直线y=2x上且圆心在第一象限；②圆C过点B(1,5).
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(4,3)作圆C的切线，求切线的方程．
20. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=2，AD=1.
(1)求证：平面SAB⊥平面SBC；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角余弦值．
21. 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an−1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列bn=lg2anan，求{bn}的前n项和Tn.
22. 在平面直角坐标系xOy中，动点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(3,0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，
∴3a+b=(2,3,2)，则|3a+b|=22+32+22=17，
故选：D.
由空间向量坐标的加减运算和模长公式，即可得出答案．
本题考查空间向量的坐标运算和模长公式，考查运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a3=1，a3+a4=2，
∴a3+a4=(a2+a3)q，解得q=2，
∴a4+a5=(a3+a4)q=2×2=4.
故选：D.
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：双曲线x24−y29=1的渐近线方程是：y=±32x.
故选：A.
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：圆C：x2+y2+6x−8y+24=0关于直线y=x对称的圆的方程为：x2+y2+6y−8x+24=0，
即(x−4)2+(y+3)2=1.
故选：A.
直接根据对称的性质进行求解即可．
本题主要考查圆的对称问题，关于y=x对称的曲线方程直接将x，y对换即可．
5.【答案】C
【解析】解：∵a1=2，an+1an=an−1，
∴2a2=a1−1，即a2=12，则12a3=a2−1，即a3=−1，则−a4=a3−1，即a4=2，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
则a2022=a674×3=a3=−1，
故选：C.
根据数列的递推式，可得数列{an}是周期为3的周期数列，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：BM=OB+BM，
则OB=12DB=12(AB−AD)，
BM=23BC′=23AD′=23(AD+AA′)，
故OM=12(AB−AD)=23(AD+AA′)=12AB+16AD+23AA′.
故选：A.
根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由x=4−y2得x2+y2=4(x≥0)，
如图，当直线l：y=−x+m与x2+y2=4(x≥0)相切时，
即有|m|1+1=2，解得m=±22.
由图可知，若直线l：y=−x+m与曲线x=4−y2有两个公共点，
则实数m的取值范围是[2,22),
故选：D.
把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(3,1)，可得：9a2+1b2=1(a>b>0)，
该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l=4a2+b2.
∴a2+b2=(a2+b2)(9a2+1b2)=10+9b2a2+a2b2
≥10+29b2a2⋅a2b2=16，当且仅当a4=9b4时，即b=2，a=23取等号．
∴周长l的最小值：4×23=83.
∴椭圆方程：x212+y24=1.
故选：A.
由题意可得：9a2+1b2=1，该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l=4a2+b2.利用基本不等式的性质即可得出a，b，然后求解椭圆方程．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，知：
对于A，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，故A错误；
对于B，若m//α，m//β，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m//n，故B正确；
对于C，若m⊥α，m⊥n，α//β，则n//β或n⊂β，故C错误；
对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：BD.
对于A，m//α或m⊂α；对于B，由线面平行的性质定理得m//n；对于C，n//β或n⊂β；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力等基础知识，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由抛物线y2=10x，可得焦点在x轴上；
2p=10，解得p=5，∴焦点到准线的距离等于5；
抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1+p2=72；
由焦点F(52,0)，∵12×0−152−2=−1，因此由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为(2,1).
综上只有ACD正确．
故选：ACD.
利用抛物线的标准方程及其性质即可得出结论．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由x2+y2−2x=0与x2+y2+2x−8y=0，两式作差可得4x−8y=0，即x−2y=0，
∴公共弦AB所在直线方程为x−2y=0，故A正确；
对于B，圆O1：x2+y2−2x=0的圆心为(1,0)，x2+y2+2x−8y=0的圆心(−1,4)，AB的中点坐标(0,2)，
kAB=12，
∴AB的中垂线的斜率为−2，可得AB的中垂线方程为y−2=−2×(x−0)，即2x+y−2=0，故B正确；
对于C，圆心O1到直线x−2y=0的距离d=15，半径为r=1，
则|AB|=21−(15)2=455，故C错误；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1到直线x−y=0的距离为55，半径r=1，
则P到直线AB的距离的最大值为1+55，故D正确．
故选：ABD.
直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段AB的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由O1到AB的距离加上O1的半径判断D.
本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：由H0=2n+1，H0=a1+2a2+⋯+2n−1ann，
可得a1+2a2+…+2n−1⋅an=n⋅2n+1，
当n≥2时，a1+2a2+…+2n−2⋅an−1=(n−1)⋅2n，
上面两式相减得2n−1⋅an=n⋅2n+1−(n−1)⋅2n=(n+1)⋅2n，
所以an=2(n+1)，
当n=1时上式成立，故A正确；
Sn=12n(4+2n+2)=n2+3n，故B错误；
因为an−20=2n−18，
所以当an−20≤0时，即n≤9时，
故当n=8或9时，{an−20}的前n项和为Sn，取最小值，且为12×9×(−16+0)=−72，故D错误．
故选：AC.
由数列{an}的“优值”的定义和数列的递推式推得an=2(n+1)，再由等差数列的求和公式可得结论．
本题考查数列递推式的运用，以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】−8
【解析】解：因为a//b，所以b=λa.
所以λ=−2λx=43λ=y，
解得λ=−2x=−2y=−6，
所以x+y=−8.
故答案为：−8
根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果．
本题主要考查了向量共线的坐标的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：∵直线l1：ax+2y−3=0，l2：3x+(1−a)y−a=0，且l1⊥l2，
则3a+2(1−a)=0，解得a=−2，
故答案为：−2.
利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．
本题考查了两条直线的位置关系的应用，解题的关键是掌握两条直线垂直的充要条件，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S10=113S5，
∴3(10a1+10×92d)=11(5a1+5×42d)，化简整理可得，a1=d，
∴a10a5=a1+9da1+4d=d+9dd+4d=2.
故答案为：2.
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，求出a1=d，再结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
16.【答案】43
【解析】解：∵F1(−4,0)、F2(4,0)是双曲线C：x2m−y24=1(m>0)的两个焦点，
∴m+4=16，
∴m=12，
设|MF1|=m′，|MF2|=n，
∵点M是双曲线上一点，且∠F1MF2=60∘，
∴|m′−n|=43①，m′2+n2−2m′ncs60∘=64②，
由②-① 2得m′n=16
∴△F1MF2的面积S=12m′nsin60∘=43，
故答案为：43.
先求出m，再设出|MF1|=m′，|MF2|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出m′n的值，最后求解三角形的面积．
本题考查双曲线的简单性质，双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力．
17.【答案】解：(1)直线l1：2x−y+6=0和l2：x−y+1=0的交点为P.
取立2x−y+6=0x−y+1=0，解得x=−5y=−4，∴P(−5,−4)，
∵直线l经过点P且与直线l3：4x−3y−5=0平行，
∴设直线l的方程为4x−3y+c=0.
把P(−5,−4)代入得c=8，
∴直线l的方程为4x−3y+8=0；
(2)由题意得直线m在两坐标轴上的截距均不为0，
设直线m的方程为y+4=k(x+5)，
当x=0时，y=5k−4，
当y=0时，x=4k−5，
∴12|5k−4|⋅|4k−5|=5，
解得k=25或k=85，
∴直线m的方程为y+4=25(x+5)或y+4=85(x+5)，即2x−5y−10=0或8x−5y+20=0.
【解析】(1)求出直线l1：2x−y+6=0和l2：x−y+1=0的交点P(−5,−4)，设直线l的方程为4x−3y+c=0.把P(−5,−4)代入得c=8，由此能求出直线l的方程；
(2)设直线m的方程为y+4=k(x+5)，当x=0时，y=5k−4，当y=0时，x=4k−5，从而12|5k−4|⋅|4k−5|=5，求出k，由此能求出直线m的方程．
本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线的截距、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，
则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，
即a2=5，
又(5−d+2)(5+d+13)=(a2+5)2=100，
解得d=2或d=−13(舍去)，
所以a1=a2−d=3，
∴an=a1+(n−1)×d=2n+1，
又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，
∴q=2，∴bn=5⋅2n−1.
(2)由(1)知，an+bn=2n+1+5×2n−1，
所以Tn=n(3+2n+1)2+5−5×2n1−2=5×2n+n2+2n−5.
【解析】(1)通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)分组求和即可．
本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．
19.【答案】解：(1)选①条件，
设所求圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=9，由题意得
(1−a)2+(−1−b)2=9b=2aa>0,b>0，解得a=1，b=2，
所求圆的方程是(x−1)2+(y−2)2=9.
选②条件，
设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=9，
因为圆C过点A，B，所以(1−a)2+(−1−b)2=9(1−a)2+(5−b)2=9，
解得a=1，b=2，
所以圆C的方程是(x−1)2+(y−2)2=9.
(2)因为P在圆C外，设过点P的切线斜率为k，则过点P的切线方程是y−3=k(x−4)，
即kx−y−4k+3=0，则圆心C(1,2)到切线的距离为d=r，
即|k−2−4k+3|k2+1=3，解得k=−43，所以切线方程为y−3=−43(x−4)，即为4x+3y−25=0；
当斜率不存在时，切线方程为x=4；
综上，所求的切线方程为x=4或4x+3y−25=0.
【解析】(1)选①条件，设出所求圆的方程，利用待定系数法求出即可．
选②条件，设出圆C的方程，利用待定系数法即可求出圆C的方程．
(2)判断点P在圆C外，设出过点P的切线斜率，写出过点P的切线方程，利用圆心到切线的距离d=r即可求出切线方程，再考虑斜率不存在的情况．
本题考查了直线和圆的方程应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)证明：侧棱SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥SA，由AD//BC，
AD⊥AB，所以BC⊥AB，
AB∩SA=A，
故BC⊥平面ABS，由BC⊂平面SBC，
故平面SBC⊥平面SAB；
(2)如图，以A为原点，BA为x轴，AD为y轴，AS为z轴，
则A(0,0,0)，S(0,0,2)，B(2,0,0)，
C(2,2,0)，D(0,1,0)，
DS=(0,−1,2)，DC=(2,1,0)，
设平面SDC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DS=−y+2z=0m⋅DC=2x+y=0，
x=−1，y=2，z=1，故m=(−1,2,1).
平面SAB的法向量为AD=(0,1,0)，
由cs=26=63，
所以平面SCD与平面SAB的夹角余弦值为63.
【解析】(1)利用面面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立如图空间直角坐标系，求出平面SDC的一个法向量，平面SAB的法向量为AD=(0,1,0)，利用法向量的夹角公式求出即可．
考查面面垂直的判定，向量法求二面角的余弦值，中档题．
21.【答案】解：(1)由Sn=2an−1，可得a1=S1=2a1−1，
解得a1=1；
当n≥2时，an=Sn=2an−1−(2an−1−1)，即为an=2an−1，
可得an=2n−1；
(2)bn=lg2anan=lg22n−12n−1=(n−1)⋅(12)n−1，
Tn=0⋅(12)0+1⋅(12)1+2⋅(12)2+...+(n−2)⋅(12)n−2+(n−1)⋅(12)n−1，
12Tn=0⋅(12)1+1⋅(12)2+2⋅(12)3+...+(n−2)⋅(12)n−1+(n−1)⋅(12)n，
上面两式相减可得12Tn=−1+1+(12)1+(12)2+...+(12)n−2+(12)n−1−(n−1)⋅(12)n
=−1+1−12n1−12−(n−1)⋅(12)n，
化简可得Tn=2−(n+1)⋅(12)n−1.
【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式可得所求；
(2)求得bn=(n−1)⋅(12)n−1，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】(1)解：设P(x,y)，
因为P与定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数233，
所以(x−2)2+y2|x−32|=233，
化简得x23−y2=1，
所以曲线E的方程为x23−y2=1.
(2)证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为y=x−3，y=−x+3，
分别联立x23−y2=1，解得M(23,3)，N(23,−3)，
此时直线MN的方程为x=23，过点(23,0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为y=kx+m，(k≠±33)
由x23−y2=1y=kx+m，消去y得(1−3k2)x2−6kmx−3m2−3=0，
所以Δ=(−6km)2−4(1−3k2)(−3m23)>0，即m2+1−3k2>0，
x1+x2=6km1−3k2，x1x2=−3m2−31−3k2，
因为AM⊥AN，
所以kAM⋅kAN=y1x1−3⋅y2x2−3=−1，即y1y2=−(x1−3)(x2−3)，
即(kx1+m)(kx2+m)=−(x1−3)(x2−3)，
即k2x1x2+km(x1+x2)+m2=x1x2+3(x1+x2)−3，
将x1+x2=6km1−3k2，x1x2=−3m2−31−3k2代入化简得：m2+33km+6k2=0，
所以m=−3k或m=−23k，
当m=−3k时，直线MN方程为y=kx−3k(不符合题意舍去)，
当m=−23k时，直线MN方程为y=k(x−23)，MN恒过定点(23,0)，
综上所述直线MN过定点(23,0).
【解析】(1)设P(x,y)，由P与定点F(2,0)的距离和它到定直线l：x=32的距离之比是常数233求解；
(2)直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为y=x−3，y=−x+3，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为y=kx+m，(k≠±33)，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线过定点问题等知识，属于中等题．