专题03 图形的相似（重点）-2022-2023学年九年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

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专题03图形的相似（重点）
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cm
C．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意；
B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意；
C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意；
D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．下列命题中，正确的是（     ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似 D．对角线相等的两个矩形都相似
【答案】A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．
【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
3．如图， 中， 是 边上一点， 添加下列条件， 不能判定 的是（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【解析】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，牢记定理的内容是解题的重点．
4．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，
∴选项A、C、D不正确，选项B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
5．如图，在中，DE∥BC，若，则的值为（  ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质得，由得到,从而得到＝，＝，则可对B、C进行判断；由 得,从而得到＝，则可对A进行判断；由于＝，利用BC＝AD，则可对D进行判断．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的性质，根据图形找见相似的条件是解题的切入点．
7．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（    ）

A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．
【解析】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（－1，1），
∴B'的坐标为（－，）或（，－）．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
8．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．如图，点G、F分别是的边、上的点，的延长线与的延长线相交于点A，交于点E，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
【解析】解：∵交GA于点E，
，，，，
所以，A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①先由余角的性质得出∠ADF=∠DCE，根据“AAS”可证△ADF≌△DCE．
②根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③根据，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④连接CF，再设=1，即可得出与的比值即可．
⑤延长DF与CB交于G，，得出△DEN与△MFB全等，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MB=BG=BC，进而得出结果．
【解析】解：①∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠EDC，
∵DF⊥CE，
∴∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠DCE=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，故正确；
②∵ABCD是正方形，
∴∠NAF=∠NAE，
∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，故错误；
③∵，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
∴，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=AB=DC，
∴，
∴CN=2AN，故正确；
④连接CF，

设=1，
△DCN∽△FAN，
∴，
∴，
则=3，=2，
∴=6，
∴=5，
∴∶=2：5，故正确；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，

在△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
∵DF⊥CE于M，
∴∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC，
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，综合运用各知识点是解题的关键．

二、填空题
11．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
【答案】
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为，则：
，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
12．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为____________．
【答案】6
【分析】由四条线段a，x，x，b成比例，根据成比例线段的定义解答即可．
【解析】解：设线段a，b的比例中项为c,c>0,
根据比例中项原则：c2＝ab，
∴c2＝4×9，
∴c＝6
故答案：6．
【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是_____（只需写出一个）．

【答案】∠ABD＝∠C
【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．
【解析】要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等．
故答案为∠ABD=∠C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
14．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，若AB=1，则AP的长为______．
【答案】##
【分析】根据P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，可得，即可求解．
【解析】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，根据题意得到是解题的关键．
15．如图，已知，它们依次交直线，于点A，D，F和点B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE＝______．

【答案】7.5
【分析】由平行线分线段成比例可得到，代入相关数据可求得CE，再根据线段的和可求得BE．
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴，
又AD＝6，DF＝3，BC＝5，
∴，
解得CE＝2.5，
∴BE＝BC＋CE＝5＋2.5＝7.5．
故答案为7.5
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．

【答案】3
【分析】过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
【解析】解：过E作EG∥BC，交AC于G，

∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，
∴DG=CG，，
∴EG=6，
又∵AD：DC=1：2，
∴AG：AC=2：3，
∵EG∥BC，
∴，
∴FC=9，
∵BC=12，
∴BF=BC-FC=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
17．如图，点G是的重心，，交于点F，则______，等于______．

【答案】     2：1     3：1：2
【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论．
【解析】解：∵点G为△ABC的重心，
∴E是AC的中点，D是BC的中点，
又∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴DG=2FG，
∵G为重心，
∴AG=2DG=4FG，
∴AF=3FG，
∴AF：FG：GD=3：1：2，
故答案为：2：1，3：1：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键．
18．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为 __________．

【答案】0.5或1.25
【分析】分两种情况：①∠BMG是直角，②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．
【解析】解：①∠BMG是直角，如图，

过O点作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴BH＝CH＝2，
∴CO＝2.5，
∴OH＝1.5，
由折叠的性质可得∠OMH＝45°，
∴MH＝OH＝1.5，
∴BM＝BH﹣MH＝4﹣2﹣1.5＝0.5；
②∠BGM是直角，如图，

由折叠的性质可得OE＝OC＝2.5，∠ACB＝∠E，
∵∠ABC＝∠EGO＝90°，
∴△OEG∽△ACB，
∴OG：OE＝AB：AC，即OG：2.5＝3：5，
解得OG＝1.5，
∴BG＝2.5﹣1.5＝1，
∵∠ACB＝∠MBG，
∠ABC＝∠MGB＝90°，
∴△ABC∽△MGB，
∴BM：BG＝CA：CB，即BM：1＝5：4，
解得BM＝1.25．
综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．
故答案为：0.5或1.25．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．

三、解答题
19．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【解析】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
20．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．
【分析】（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．
【解析】解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝＝；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．
21．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若＝，DE＝2，求EF的长．

【答案】1.5
【解析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后把有关数据代入计算即可．
解答：解：∵l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，
∴，
∵，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3.5，
∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．

(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．
(1)
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD＝7，
∵DH+HC＝DC＝7，
∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．
∵AH＝HC，
∴AH＝CH＝4，
∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，
∴AH2+DH2＝AD2，
∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，
∴AH⊥BC；
(2)
设AG＝x，
由勾股定理得AC＝＝4，
∴，
∵HG∥AD，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴AG的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．

(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2：1；
(2)在（1）的条件下，分别写出点A、B、C的对应点D、E、F的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)，，

【分析】（1）连接，延长至格点D，使，则D为A的对应点，同法确定的对应点E，C的对应点F，再顺次连接D，E，F即可；
（2）根据对应格点的位置可得答案．
【解析】（1）解：如图，即为所求作的三角形；

（2）根据对应格点的位置可得：
，，
【点睛】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，掌握位似图形的性质再确定位似图形对应点的坐标是解本题的关键．
24．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（用图中线段表示）落在地面上的影长．已知，，B、C、E在同一水平直线上．

(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子；
(2)若测得此刻旗杆落在地面上的影长，请求出旗杆的高度．
【答案】(1)图见解析
(2)

【分析】（1）连接，过D点作交于G点，则为所求；
（2）先证明，然后利用相似比计算的长．
【解析】（1）解：影子如图所示；

（2）解：根据题意得：，，
，
，
，且，
解得．
即旗杆的高度为．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质．
25．如图，在△ABC中， 点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．

(1)求证：；
(2)若，△EFC的面积为20， 求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】(1)由平行线的性质得出，，即可证得结论；
(2)由平行线的性质得出，易证△EFC∽△BAC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
（1）
证明：，
，

（2）
解：





【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．

（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，
∴，
又，AE=3，
∴，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴，
∴AD•AG=AF•AB．
27．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．

(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析

【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出结论；
（2）证明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性质可得出结论．
（1）
解：证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠CDN=90°，
∵∠ADN+∠ADM=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAD+∠DAC=90°，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠MAD=∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
（2）
解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD=∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，证明△AEM∽△ADN是解题的关键．
28．在中，在上，且．

(1)如图，若，，求的长度．
(2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论．
(3)如图，作于，，，探究与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析

【分析】（1）根据题意证明即可得到，再结合题意即可解答；
（2）连接，根据平行线的性质即可得证；
（3）根据题意证明四边形是平行四边形，可得，过点作于点，连接，证明，可得，进而证明即可得到解答．
【解析】（1），，
，
，
，
，，
，
；
（2），
证明：连接，

，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
过点作于点，连接，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中

，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
29．【感知】如图①，在四边形中，点E为边上的一点，连接，
可得到（不需要证明）．
【探索】如图②，有一矩形纸片，点E为边的中点，点F为边上的一点．连接，将矩形纸片分别沿折叠，使在处重合．
（1）求证：．
（2）若，则__________．
【应用】如图③，在边长为2的正方形中，点E为边的中点．连接，将沿DE折叠得到，交于点G，直接写出的长．

【答案】【探索】（1）见解析；（2）；【应用】CG＝ ．
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质得，，再利用等角的余角相等，可得，进而证明；
（2）利用，得到，代入数值计算即可求解；【应用】延长交于点H，连接，根据已知条件可证明，再证明，利用相似比即可求得的长，进而求出，再根据得到，以及对顶角相等得，即可证明，从而得出相似比，进而得以求解．
【解析】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将矩形沿着折叠，使在处重合，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
（2）解：点E为边的中点，，
，
，
，
即，
，
故答案为：．
【应用】解：延长交于点H，如图所示：

四边形是正方形，
，
由折叠的性质可知：，
点E为边的中点，
，
在和中，

，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是要能正确作出辅助线并能证明三角形全等．
30．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线与边AB交于点D．

(1)求点E的坐标；
(2)连结，将沿着翻折痕．
①当点B的对应点恰好落在线段上时，求点D的坐标；
②连接，，若与相似，求出此时抛物线二次项系数a的值．
【答案】(1)
(2)或；或
【分析】（1）过点B作轴，垂直为E，过点A作轴，垂直为F，由条件可得，，根据菱形的性质，求出B，C的坐标，则E点坐标可求出；
（2）①求出直线的解析式为，由求出的坐标，再设，由可得m的方程，则D点坐标可求出；
②分别根据点在的上方和下方两种情况进行讨论，当在的下方时，证明四边形是菱形即可求出点D的坐标；当在的上方时，证明三角形为等腰三角形求出点F的坐标，从而求出直线的表达式，根据求出点的坐标，再根据求出点D的坐标，根据抛物线过点A，E，D三点，由待定系数法可求出a的值．
【解析】（1）解：（1）如下图所示，过点B作轴，垂直为E，过点A作轴，垂直为F，

∵点
∴，,
∵四边形为菱形，
∴，，,
∴，，
∵点E是线段BC的中点
∴；
（2）①设，把点和代入，
解得：，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴或，
∵点D在上，
∴设点，
∵，
∴或
解得或，
∴或．
②当在下方时，如下图所示，连接，，

∵四边形是菱形，
∴
∵与相似，
∴，
∴与重合，点在OB上
∵
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴点，
∵抛物线过点，，，
∴
解得．
当当再AB上方时，如下图所示,延长交轴于点F，

∵与相似，
∴，
∵平行轴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线为，代入和得
，
解方程组得，，
∴直线为，  
设，
∵
∴，
解得或，
当时，点与点B重合，舍去，
当时，点，
设点，
∵，
∴，
解方程得，
∴，
抛物线过点，，，
∴
解得．
故答案为：或．
【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质，折叠的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，用方程的思想是解题的关键．