2023届河南省豫东南慕华优策高三1月第一次联考理科数学（解析版）

慕华·优策2022——2023学年高三年级第一次联考

理科数学试卷

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

2.已知命题：，使得 “1”且，则为

A. ，使得且   B. ，使得或

C. ，使得或    D. ，使得且

3.已知集合，，则

A.      B.

C.    D.

4.若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为

A.-960   B.960   C.448   D.-448

5.已知向量，向量满足，且，则与夹角为

A.0   B.    C.    D.

6.已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为

A.    B.    C.    D.

7.已知，，，则a，b，c的大小关系为

A.    B.    C.    D.

8.已知数列满足，且，，则

A.    B.    C.    D.

9.倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，且以AB为直径的圆与直线相切，则

A.4   B.    C.    D.

10.将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移单位得到图象，若函数图象关于y轴对称，则的最小值为

A.    B.    C.    D.

11.在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是

A.      B.三棱锥的体积为

C.线段最小值为  D. 的取值范围为

12.已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是

A.     B.

C.   D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知在点处的切线的斜率为2，则的最小值为_________.

14.写出同时满足下列条件①②的直线方程：_________（写出一个满足条件的答案即可）.

①在轴上的截距为2；②与双曲线只有一个交点.

15.学校高一年级从6个班各自选出2名同学参加市里组织的朗读比赛.若从这12名同学选出6人参加决赛，其中预赛成绩优秀的一（1）班甲和一（2）班乙两名同学必须参加，其余任选，则这6人恰好仅有两名同学来自相同班级的概率为_____________.

16.已知数列的前项和为，，，若数列满足，，则_____________.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

（1）求证：；

（2）若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.

18.（12分）某校本着“我运动我快乐我锻炼我健康"精神积极组织学生参加足球、篮球、排球、羽毛球等球类活动.为了解学生参与情况，随机抽取100名学生对是否参与情况进行问卷调查.所得数据制成下表：

若从这100人中任选1人恰好参与球类活动的概率为0.6.

（1）判断是否有95%的把握认为“参与球类活动”与性别有关；

（2）现从不参与球类活动的学生中按其性别比例采取分层抽样的方法选取8人，再在这8人中抽取3人参加游泳，设抽取的女生人数为，求的分布列与数学期望.

附：2×2列联表参考公式：，其中.

临界值表：

19.（12分）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.

（1）求证：为直角三角形；

（2）若，求二面角的正弦值.

20.（12分）已知过点的椭圆：上的点到焦点的最大距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆：上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆的两条切线MA，MB，A，B为切点，AB与（O为原点）交于点D，当最小时求四边形AOBM的面积.

21.（12分）已知函数.

（1）求函数在的单调性；

（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.【4-4坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，已知曲线：（为参数）.经伸缩变换后的曲线为，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）M，N是曲线上的两点，且，求面积的取值范围.

23.【4-5不等式选讲】

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，，且，求满足条件的整数的所有取值的和.

慕华·优策20232-2023年高三年级第一次联考

数学试题答案与评分说明（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.B

【解析】∵. ，故选B.

【命题意图】本题主要考查复数的概念与运算等必备的基础知识.

2.C

【解析】根据复合命题的否定知：改结论不改条件，“存在”改为“任意”，“且”改“或”.故选C.

【命题意图】本题主要考查复合命题的否定必备的基础知识.

3.C

【解析】，，，，故选C.

【命题意图】本题主要考察集合的运算与对数的定义域等必备基础知识.

4.D

【解析】依题意只有时第5项的二项式系数最大，项的系数为.

【命题意图】本题主要考查二项式定理与性质点等必备基础知识.

5.D

【解析】依题意有，∴，

又，即，∴，，，∴.故选D.

【命题意图】本题主要考查平面向量及运算等必备知识.

6.D

【解析】圆台轴截面如图，则，∴.

圆台高，

∴.故选D.

【命题意图】设置课程学习背景试题考查学生台体侧面积与体积公式与基本运算能力.

7.B

【解析】∵，∴，∴，

又∵，∴，∴，故.选B.

【命题意图】本题主要考查指数对数函数与不等式的应用及基本运算能力.

8.C

【解析】依题意，∴.

∴，∴，∴.故选C.

【命题意图】本题主要考查等差数列概念与通项公式及基本运算能力.

9.B

【解析】依题意直线即为抛物线的准线，∴.∴.设直线方程为，

∴，即，∴，∴.故选B.

【命题意图】本题主要考查抛物线概念与性质及数形结合思想.

10.C

【解析】依题意由诱导公式知，横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到，向左平移单位得到图象，而图象关于轴对称，∴，则的最小值为.故选C.

【命题意图】本题主要考查学生三角函数有关的必备知识与推理求解能力.

11.D.

【解析】取中点，连接，，，，则有平面平面，∴平面，即在线段上.

当在时夹角为45°，故A错；

.故B错.

线段的最小值为等腰三角形腰上的高，，故C错.

故选D.事实上，.

当为点时最大，的最小.

此时为最小，当最小值为直角三角形斜边的高，即，此时为最大.D正确.

【命题意图】本题主要考查空间图形的线面关系与综合应用能力.

12.B

【解析】令，，

∴当时，∴单调递增，当时，∴单调递减.

对于A：，即.故A错；

对于B：，又，∴，故B对；

对于C：，又，∴，故C错；

对于D：，又，∴，故D错.

故选B.

【命题意图】本题主要考查导数在同构不等式的应用与代数推理等关键能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2

【解析】，∴，∴.

当且仅当时等号成立.

【命题意图】本题主要考查导数的基本概念及基本不等式的应用.

14. 或或或.（填对一个给满分）

【解析】依题意可设直线为，当直线与双曲线渐近线平行时只有一个交点，∴，.当直线与双曲线相切时由判别式为0解得，∴.

【命题意图】本题主要考查双曲线定义性质等必备知识与基本能力.

15.

【解析】12名同学中选6人，其中2人必须参加，即在余下的10人中任选4人，所以基本事件总数为，余下4人中如有一人来自一（1）或一（2）选法有种，余下4人均来自余下的四个班选法有种，故所求概率为.

【命题意图】设置生活情境试题，考查学排列组合与概率的必备知识与阅读理解等关键能力.

16.5149

【解析】∵，∴.

当时，，

∴，

即.∴.……

，上式累加得，

∴.

当时也满足，故.又，，∴，

当时，，①

当时，，②

当时，，③

由①②得，由②③得，

∴

.

【命题意图】本题设置递推数列与不等式综合问题主要考查学生探索创新能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、323题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.【解析】（1）解法一：∵，由余弦定理有

，.

∴，∴.

又A，B，C为三角形内角，∴.

解法二：依正弦定理有，∴，

即，又，∴，

∴，∴或，

又，∴，，∴

（2）∵，∴，，∴.

又，.

∴，∴，

∴，∴，

∴.

∴，∴.

【命题意图】本题主要考查三角函数与解三角形等必备知识与推理运算能力.

18.【解析】依题意参与球类活动概率为60%，即有60人参与球类，可得下列联表

∴.

故有95%把握认为体育活动时间达标与性别有关.

（2）按不参与球类活动比例抽取的8名学生中有3名男生，5名女生，则

其期望为.

【命题意图】本题主要考查概率统计独立性检验的基本知识与数学建模等关键能力.

19.【解析】（1）在等腰梯形中，，，，

为垂足，∴，，∴，∴.

又∵，平面平面，又平面，平面，

∴，∴平面 ，

∴，∴，即为直角三角形.

（2）由（1）知，平面，∴，

∵，∴，，

过作于，则平面.

在为直角三角形中，，

以P为原点PC，PD分别为x，y轴建立如图坐标系，

则，，，，，

.

在平面PAB中，设其法向量为，

，，

则，取，

在平面中，设其法向量为，

，.

则，取，

令，

故求二面角的正弦值为.

【命题意图】本题主要考查空间几何体线面位置关系的必备知识与逻辑推理等关键能力.

20.【解析】（1）依题意有，，，

∴，，

椭圆的方程为.

（2）设，，，

依题意有

切线方程为，切线方程为，

又切线都过点，

∴，，

∴方程为：.

∴，.

设AB与x轴交于点E，

则有

∴.

此时，同理根据对称性可求得时

故方程为：或，∴.

根据对称性可以取，则，，，

联立，，得.

∴，.

∴.

∴.

故最小时求四边形的面积为.

【命题意图】本题主要考查圆锥曲线必备的综合知识与逻辑推理及运算求解等关键能力.

21.【解析】（1）∵，，

当时，在上单调递增；

当时令，，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；在上单调递增.

（2）依题意对成立，令，.

即对成立，设，

∴，又在上单调递增，则一定存在使得，

即，，，，.

当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，

∴.

令，，，，

∴在上单调递减，在上单调递增，而，，

∴.

又，而在为增函数，

又，∴，∴.

【命题意图】本题主要考查导数函数有关的综合知识与逻辑推理及创新应用等关键能力.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，令，，

变换后直角坐标方程为，即.

则曲线的极坐标方程为.

（2）如图，在极坐标系中，

设，，

则

.

∵，∴，∴.

∴.

【命题意图】本题主要考查坐标系与方程的基本知识与运算求解及代数证明等关键能力.

23.【解析】（1）当时，，

∴，∴，∴；

当时，，∴，，∴；

当时，.∴，，∴.

综上：不等式的解集为.

（2）依题意，∴为偶函数，

当时，，

当时，，

当时，.

作出函数图象如图所示.

若，则

①，∴；

②，∴或；

③，，∴.

综上整数的取值为0，1，2，3，故和为6.

【命题意图】本题主要考查分段函数与不等式的基本知识及分类讨论思想代数证明等关键能力