2020届慕华优策高三第一次联考数学（文）试题（解析版）

2020届慕华优策高三第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足（是虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】将表达式变形，结合复数的除法运算及复数模的定义即可求解.

【详解】

将表达式化简可得，

由复数除法运算化简可得，

则，

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，复数模的定义及求法，属于基础题..

2．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解不等式可得集合A，由集合交集运算即可求解.

【详解】

集合，集合，

则，

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的概念与交集运算，属于基础题.

3．实数满足，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由对数函数性质可判断A，根据不等式性质可判断BC，利用分析法，证明D正确.

【详解】

对于A，当时，不等式不成立，所以A错误；

对于B，由不等式性质可知当时，所以B错误；

对于C，由不等式性质可知当时，所以C错误；

对于D，因为，则，，欲证，

即，

，

即，显然D成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查不等式性质与证明及推理的简单应用，属于基础题.

4．下列命题正确的是（    ）

A．若“命题为真命题”，则“命题为真命题”

B．命题“，”的否定为“，”

C．存在实数，使得

D．已知直线与圆没有公共点，则

【答案】D

【解析】根据复合命题真假关系可判断A；含全称量词命题的否定，条件不改变；根据辅助角公式，可得的最大值，进而可判断；由直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式即可判断D.

【详解】

对于A：“命题为真命题”，则至少有一个为真；而“命题为真命题”，则都为真，A错；

对于B：命题“，”的否定“，”，B错；

对于C：，C错；

对于D：圆，圆心到直线的距离，因为直线与圆没有公共点，所以，化简可得.

故选：D.

【点睛】

本题考查常用逻辑用语的简单应用，直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.

5．已知实数满足，令，则的最小值为（    ）

A．16 B．32 C．24 D．36

【答案】A

【解析】根据所给不等式组，画出可行域；将目标函数变形为，求得即可求得的最小值.

【详解】

根据不等式组，画出可行域如下图所示：

可得，，，

设，由图可知当经过时取得最小值，

则，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用，属于基础题.

6．为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：

（附：）

则下列说法正确的：（    ）

A．至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”

B．至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”

C．至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”

D．“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%

【答案】A

【解析】根据所给表格及公式，即可计算的观测值，对比临界值表即可作出判断.

【详解】

根据所给表格数据，结合计算公式可得其观测值为

，

所以至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”，

故选：A.

【点睛】

本题考查了独立性检验思想的简单应用，属于基础题.

7．公差不为零的等差数列的前n项和为，若是与的等比中项，且，则=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】根据等差数列通项公式及所给条件，可得关于和的方程组，进而求得等差数列的通项公式，即可求得的值.

【详解】

设公差为，依题意，

解得，，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查数列的通项与求和公式的简单应用，属于基础题.

8．已知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，，，则平行四边形的面积为（    ）

A．25 B．50 C．75 D．100

【答案】A

【解析】根据平面向量数量积定义可证明，可知行四边形对角线互相垂直，结合平面向量模的求法可得，即可求得平行四边形的面积.

【详解】

由题意可知，分别为直角坐标系的轴正上方上单位向量，，，

则，

∴，

则平行四边形ABCD对角线垂直，，，

所以面积为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算与几何意义，平面向量数量积的运算，属于基础题.

9．已知椭圆：的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据椭圆的几何性质及点关于直线的对称点可得点坐标，代入椭圆方程即可确定与的关系，进而得离心率.

【详解】

椭圆：的左焦点为F，

则椭圆焦点，

点关于直线的对称点在椭圆上，则，

因为在椭圆上，代入可得，

则，由可得，

所以，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查椭圆的几何性质及简单应用，点关于直线对称点问题，属于基础题.

10．一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（    ）

A．1m B． C． D．

【答案】B

【解析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.

【详解】

将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：

由最短路径为，即，

由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，

则圆锥底面圆的周长为，

则底面圆的半径为，

故选：B.

【点睛】

本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.

11．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，他研究了圆锥曲线许多性质，曾利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴之积.若椭圆C的两个焦点为，，P为椭圆上一点，的面积最大值为12，且椭圆离心率为，则椭圆C的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据的最大值、离心率及椭圆中关系，可列方程组求得的值，结合题意即可确定椭圆C的面积.

【详解】

设椭圆长半轴与短半轴分别为，的面积最大值为12，椭圆离心率为，

则，解得，，，

由题意可知，

所以椭圆C的面积为，

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆锥曲线性质的简单应用，借助古典文化考查理解能力，属于基础题.

12．将函数（）的图象向右平移（）个单位后得到奇函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据降幂公式化简函数表达性，根据相邻两个交点的距离可确定周期，即可确定；由平移后函数为奇函数可得的表达性，进而由即可求得的值.

【详解】

由降幂公式化简可得

，

向右平移个单位后的图象与直线相邻两个交点的距离为，即周期为，

所以，

所以平移后的解析式为，

因为向右平移后所得函数为奇函数，则，则，

由，可得，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查三角函数化简、三角函数图象平移变换与性质的综合应用，属于中档题.

二、填空题

13．函数，则________.

【答案】2020

【解析】根据分段函数解析式，先求得，再代入即可求解.

【详解】

函数，

则，

所以.

故答案为：2020.

【点睛】

本题考查了分段函数求值，对数函数与指数函数的性质及运算，属于基础题.

14．直线的倾斜角为，则________.

【答案】

【解析】根据直线方程可求得，结合齐次式的变形即可求解.

【详解】

直线的倾斜角为，

则，

所以

，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查三角函数化简与求值，齐次式形式的求值，属于基础题.

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的值为_______.

【答案】

【解析】将表达式借助正弦定理及同角三角函数关系式化简，由正弦和角公式变形，即可求得，进而得角的值.

【详解】

由题意，

由正弦定理、同角三角函数关系式及正弦和角公式化简可得

，

∴，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考正弦定理在边角转化中的应用，三角函数变换与求值，属于基础题.

16．已知函数，，若在上曲线与没有交点，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【解析】根据题意可知在上无实数根，分离参数后构造函数，由导函数判断的单调性，从而求得的最小值，即可确定的取值范围.

【详解】

曲线与在上没有交点，

即在上无实数根，

即，在上无实数根，

令，

则，

∴，即在时单调递增，

则，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数在证明函数单调性中的应用，由导函数单调性求参数的取值范围，分离参数法的应用，属于中档题.

三、解答题

17．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

频率分布表

（1）求的值；

（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.

（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】

（1）由频率分布表可得

内的频数为,

∴

∴内的频率为

∴

∵内的频率为0.04

∴

（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,

设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、

从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.

至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.

所以.

∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.

【点睛】

本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.

18．在三棱柱中，侧面为菱形，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，，，且.

（1）求证： 平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）由为等腰直角三角形，为中点可得

（2）根据三棱锥体积公式，且由即可由线段关系求得体积.

【详解】

（1）为等腰直角三角形，为的中点，

所以由等腰三角形三线合一可得

又侧面为菱形，，

所以，

由，可得，，，

∴由勾股定理逆定理可得，且，

所以由线面垂直的判定定理可得平面；

（2）由（1）知平面，为中点，

到底面的距离为，

所以

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，三棱锥体积公式的求法，属于基础题.

19．已知各项为正数的数列，前项和为，且，（）.

（1）证明：数列为等差数列，并求出数列通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）根据所给条件式，变形后由等差数列定义即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式即可求得，再根据即可求得数列通项公式；

（2）表示出数列的通项公式，结合裂项求合法即可求得数列的前项和.

【详解】

（1）证明：各项为正数的数列，，

所以，，

即数列为等差数列是首项为1，公差为1的等差数列.

所以，

即，符合，

所以.也符合该通项公式，

故.

（2）

.

【点睛】

本题考查了等差数列的定义及证明，由前n项和求等差数列通项公式的方法，裂项求和法的应用，属于基础题.

20．已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离为.

（1）求的值；

（2）已知点，若直线交抛物线于另一个点，且，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据抛物线定义，结合题意即可求得的值；

（2）设出直线方程，，联立直线与抛物线方程，表示出，.由平面向量数量积的坐标运算及即可求得斜率，进而求得直线的方程.

【详解】

（1）根据题意画出几何关系如下图所示，

抛物线上的点到轴的距离为,

由抛物线定义可得等于到的距离，

所以为抛物线准线方程，，

解得.

（2）由（1）知，可设方程为，，，

直线交抛物线于另一个点，即直线与抛物线有两个交点，因而存在；

所以，化简可得.

则，.

又，，

由于，

∴，

代入，化简可得

，

解得.

所以直线方程为

【点睛】

本题考查了抛物线的定义及性质简单应用，直线与抛物线位置关系的应用，平面向量垂直时的坐标关系及运算，属于基础题.

21．已知函数（）.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的极值点个数.

【答案】（1）（2）当时，只有一个极大值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点

【解析】（1）将点坐标代入函数解析式，求得参数的值，代入导函数即可求得切线的斜率，进而求得切线方程.

（2）求得导函数并化简变形，进而讨论、、三种情况，结合函数的单调性即可确定极值情况.

【详解】

（1）函数图象过点，

代入可得，

∴解得.

代入函数可得，

则，

所以，

由点斜式可得切线方程为.

所以函数在点处的切线方程为.

（2）函数（）.

则，，

令，.

（ⅰ）当时，代入可得，

令，解得，

当，，所以函数在内单调递增，

当时，，所以函数在时单调递减，

因而只有一个极大值点

（ⅱ）当时，令，

由两根之积为可知方程只有一个正根，

当时，，所以函数单调递增，

当时，，所以函数单调递减，

因而只有一个极大值点

（ⅲ）当时，令，有两个正根，

综上可知，当时，只有一个极大值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，由导函数确定函数的极值情况，含参数的单调性及分类讨论思想的综合应用，属于中档题.

22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.

【答案】（1）的普通方程为，；曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化，可消去得的普通方程；根据正弦差角公式展开，结合极坐标与直角坐标的转化公式，代入化简即可.

（2）根据两个函数的方程，联立后画出函数图像，结合图像即可求得的取值范围.

【详解】

（1），，

化简可得的普通方程为，；

.

曲线的直角坐标方程为

（2）由（1）知，曲线与曲线有两个公共点，

即方程在上有两个不同实根，

即与在上有两个不同交点，

的函数图像如下图所示：

结合图形知.

所以的取值范围为.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，数形结合求参数取值范围的应用，属于基础题.

23．已知，，.

（1）若恒成立，求实数x的取值范围；

（2）证明：.

【答案】（1）.（2）证明见解析.

【解析】（1）根据基本不等式，可先求得的最小值，再分类讨论即可去绝对值解不等式.

（2）先利用整式乘法公式展开化简，结合基本不等式即可证明不等式成立.

【详解】

（1），，.

所以

，

当且仅当时取等号，解得.

因为恒成立，

即恒成立，

当时，去绝对值化简可得，解得，即恒成立；

当时，去绝对值化简可得，解得，即；

当时，去绝对值化简可得，解得，即无解；

综上可知，满足的解集为.

（2）证明：

因为，代入上式可得

当且仅当时取等号，解得，

即成立.

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值和证明不等式成立中的应用，分类讨论解绝对值不等式，属于基础题.