北师大版九年级下册3 垂径定理教学设计及反思

教学目标

1.掌握垂径定理的内容，会利用垂径定理进行有关的计算．

2.通过观察实验理解圆的弦、弧、直径之间的关系，学会应用垂径定理

及其推论解决问题．

教学重难点

重点：垂径定理及其推论．

难点：运用垂径定理及其推论解决有关问题．

教学过程

知识回顾

多媒体展示图片

提出问题：

1.等腰三角形是轴对称图形吗？

2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？

3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是不是轴对称图形呢？

设计意图：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．

探究新知

一、预习新知

多媒体展示

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

师：该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按照轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系并总结．给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中指导．

生：这个图形是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线．

师：你能得出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

生：我们采用折叠的方法，方法如下：将这个图形沿着直径CD所在直线折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，与重合；与重合，所以等量关系有AM＝BM，∠CMA＝∠CMB＝90°，∠DMA＝∠DMB＝90°，＝，＝．

师生总结：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

教师点评：我们称上面的结论为垂径定理

教师强调：结论中的“弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．

上面我们是利用折叠的方法得出了垂径定理，你能不能证明垂径定理呢？

教师给学生留出足够的思考时间，可以利用轴对称的性质，通过三角形全等进行证明，学生独立解答，代表板演展示，最后教师课件出示解题过程，规范学生的解题步骤．

巩固练习

辨析：判断下列图形能否使用垂径定理．

答案：②可以使用垂径定理

设计意图：让学生在探究的过程中得出垂径定理,并能快速、准确地将该定理的语言进行转化.应鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法．

二、合作探究

多媒体展示教材想一想

如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

 (1)上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

 (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

让学生模仿垂径定理的证明过程，学生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表述定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

教师展示解题过程

如图，连接OA，OB，则OA＝OB.[

在等腰△OAB中，∵AM＝MB，

∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．

∵⊙O关于直径CD所在直线对称，

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合．

∴＝，＝．

师生总结：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

教师点拨：我们把“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”称为垂径定理的推论．

师：为什么上述条件要强调“弦不是直径”？

生：因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．

设计意图：在垂径定理的推论的环节处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量将时间留给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法．

拓展：垂径定理及其推论的运用方法为知二推二：在 “直径、垂直于弦、平分弦、平分弧” 四个结论中，已知其中的两个结论就可以推导出其他两个结论．

典型例题

【例】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m.求这段弯路的半径．

【问题探索】要求这段弯路的半径可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长．

【解】连接OC．

设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

∵OE⊥CD，

∴CF＝CD＝×600＝300(m)．[来源:学*科*网]

在Rt△OCF中，根据勾股定理，

得OC2＝CF2＋OF2，

即R2＝3002＋(R－90)2，

解个方程，得R＝545.

所以，这段弯路的半径为545 m.

【总结】常用辅助线：连接半径，由半径、半弦长、弦心距构造直角三角形．

X.X.K]

课堂练习

1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是(　　)

A.AE＝BE                 B.＝

C.OE＝DE                 D.∠AOD＝∠BOD

2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（　　）

A.5 cm       B.10 cm        C.6 cm       D.14 cm

3.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　）

A.（0，0）   B.（2，-1）   C.（0，1）   D.（2，1）

参考答案

1.C 　

2.B   

3.B

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.垂径定理.

2.垂径定理的推论.

3.常用作辅助线的方法：构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形．

板书设计

第三章　圆

*3　垂径定理

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

教学反思

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