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2023年重庆市黔江区武陵初级中学等五校中考数学一模试卷
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2023年重庆市黔江区武陵初级中学等五校中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣5的相反数为（ ） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D． 2．（4分）下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 3．（4分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ） A．60° B．80° C．70° D．100° 4．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ） A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2 5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，若点B的坐标为（3，1），则点E的坐标是（ ） A．（9，3） B．（6，2） C．（6，3） D．（9，2） 6．（4分）估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（4分）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A． B． C． D． 8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB，则AC的长为（ ） A．6 B．2 C．3 D．9 9．（4分）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A．2π B．4π C．6π D．8π 10．（4分）若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（4分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（4分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}． 下列判断： ①P； ②max； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1； ④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1； ⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 13．（4分）计算 ． 14．（4分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 ． 16．（4分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”则客人的个数为 ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2； （2）解不等式：x﹣13． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ （3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ 21．（10分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 22．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 23．（10分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN， ∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 请解决以下问题： （1）将指数式34＝81转化为对数式 ； （2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ ． 24．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB． （1）证明：△EAC≌△DBC； （2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明． （3）在A的运动过程中，当，时，求△ACM的面积． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD． （1）求证：△ADP∼△EDQ； （2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长． 2023年重庆市黔江区武陵初级中学等五校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣5的相反数为（ ） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D． 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【解答】解：﹣5的相反数为5． 故选：A． 【点评】本题考查的是相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键，注意0的相反数是0． 2．（4分）下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称和中心对称图形的特征分析即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．轴对称图形：沿一条直线对折，能够重合的图形叫轴对称图形． 3．（4分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ） A．60° B．80° C．70° D．100° 【分析】根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键． 4．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ） A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案． 【解答】解：∵x﹣2≠0， ∴x≠2． 故选：D． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义． 5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，若点B的坐标为（3，1），则点E的坐标是（ ） A．（9，3） B．（6，2） C．（6，3） D．（9，2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合图形，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：∵△MBC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，点B的坐标为（3，1）， ∴点E的坐标是：（9，3）． 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6．（4分）估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】先进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数4的大小即可． 【解答】解：原式＝4， ∵23， ∴6＜47， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 7．（4分）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A． B． C． D． 【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可． 【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵， 由题意得，． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB，则AC的长为（ ） A．6 B．2 C．3 D．9 【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB， ∴BC＝AB•cosB＝96， ∴AC3， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．（4分）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可． 【解答】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积， 故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为π×22＝4π． 故选：B． 【点评】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识． 10．（4分）若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积． 【解答】解：将分式方程去分母得： a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1） 解得：x＝﹣2a﹣1 ∵解为负数 ∴﹣2a﹣1＜0 ∴a ∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0， ∴a，且a≠0； 将不等式组整理得： ∵不等式组无解 ∴a≤2 ∴a的取值范围为：a≤2，且a≠0 ∴满足条件的整数a的值为：1，2 ∴所有满足条件的整数a的值之积是2． 故选：C． 【点评】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键． 11．（4分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题． 【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b． ∵点A在y上， ∴A（，2m）， ∴AJ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DK∥BC， ∴， ∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b， ∵JF∥DE， ∴， ∴， ∴JF， ∴OF＝OJ﹣JF＝2m， ∴S△BFC•BC•OF3b•6， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 12．（4分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}． 下列判断： ①P； ②max； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1； ④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1； ⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 【分析】①计算出三个数的平均数即可判断； ②找出三个数中最大的数即可判断； ③根据题意列出不等式组，解不等式组即可判断； ④根据题意得出，解得x＝1，即可判断； ⑤建立函数则y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x作出三个函数的图象，利用图象即可判断． 【解答】解：①，0，的平均数是，故①错误； ②﹣3，，﹣π三个数中最大的数，故②正确； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误； ④P{2，x+1，2x}＝x+1， 若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1， 即，解得x＝1，故④正确； ⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象． 由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为，故⑤正确； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义是解题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 13．（4分）计算 ． 【分析】先根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义是关键． 14．（4分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ 8 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k5． 解得k＝8． 故答案是：8． 【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 ． 【分析】连接AE、DE，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，先证明四边形ABFE是矩形和△ADG是等边三角形，由图可知：S1AE×EG，S2＝S扇形AED﹣S△AED，S3＝S矩形ABFG﹣S扇形AEB﹣S1，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式计算即可求答案． 【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点， 在正方形ABCD中，有EF⊥AD， ∴四边形ABFE是矩形， ∵弧BD和弧AC的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2， ∴DG＝AD＝AG＝2， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠GAD＝∠ADG＝∠AGD＝60°， ∵EF⊥AD， ∴，EG平分∠AGD， ∴矩形ABFE的面积为：S矩形ABFE＝AB×AE＝2×1＝2， 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠BAG＝∠BAD﹣∠GAD＝30°， 在Rt△AGE中，有AE＝1，AG＝2， ∴， ∴△AEG的面积为：， 同理可求得：， ∵AD＝2，∠ADG＝60°， ∴扇形ADG的面积为：， ∴弓形AG的面积为：， ∵AB＝2，∠BAG＝30°， ∴扇形BAG的面积为：， ∴异形BGF的面积为：， 根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：S阴影＝（S1+S2+S3）×2， ∴， 即：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了求解特殊图形的面积的知识，掌握扇形的面积公式，并得出S2＝S扇形AGD﹣S△AGD，S3＝S矩形ABFE﹣S扇形AGB﹣S1，是解答本题的关键． 16．（4分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”则客人的个数为 72 ． 【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可． 【解答】解：设有x个客人，则78 解得，x＝72 答；有72个客人． 故答案是：72． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2； （2）解不等式：x﹣13． 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5； （2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6， 移项合并得：x≥6． 【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积． 【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论； （2）由含30°角的直角三角形的性质得出OEAO，则EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠AEF＝∠CFE， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OF＝OE， ∵AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形； ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形， ∴AC⊥EF，AO＝COAC＝1， ∴∠AOE＝90°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠AEO＝30°， ∴OEAO， ∴EF＝2OE＝2， ∴四边形AFCE的面积AC×EF2×22． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ （3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论； （2）用少于2h的人数乘“不喜欢”所占百分比即可； （3）根据中位数解答即可． 【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数， 故中位数落在第二组； （2）（1200﹣200）×（1−8.7%−43.2%−30.6%）＝175（人）， 答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人； （3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②； 由①，②得：a＝1，k＝1； （2）芳芳的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1， 则m0＞0，m0﹣1＜0， ∴当x＝m0时，p＝y20， 当x＝m0﹣1时，q＝y20， ∴q＞0＞p． ∴芳芳的说法不正确． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 21．（10分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价； （2）根据羊排的售价，羊排的利润率为25%，可得每斤羊排的利润；设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，根据题意，得： ， 解得， 答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元； （2）每斤羊排的进价为：40÷（1+25%）＝32（元）， 每斤羊排的利润为：32×25%＝8（元）， 设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元， 根据题意，得：x≥120， w＝6x+8（180﹣x）＝﹣2x+1440， ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝﹣2×120+1440＝1200， 此时，180﹣120＝60（斤）， 答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是1200元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 【分析】（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M，由题意可得MC＝MB，设MC＝MB＝x，则MA＝x+40，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可； （2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答． 【解答】解：（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M， 由题意得，AB＝40×1＝40海里， 由题意得，在Rt△BCM中，∠CBM＝45°， ∴MC＝MB， 设 MC＝MB＝x海里，则MA＝（x+40）海里， 在Rt△ACM中，， ∴， 解得， ∴海里， 在Rt△MBC中，MB2+MC2＝BC2， ∴海里； （2）∵海里， ∴海里， ∵AM∥CH， ∴∠1＝∠CAM＝30°， ∴， ∴海里， ∵CH∥DN，∠NDC＝37°， ∴∠2＝∠NDC＝37°， ∴， ∴海里， 货船从B到C用时：（小时）， ∵6分钟小时， ∴（小时）， ∴（海里）， ∵（海里）， ∴能在货船之前到达小岛C． 【点评】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23．（10分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN， ∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 请解决以下问题： （1）将指数式34＝81转化为对数式 4＝log381 ； （2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ 2 ． 【分析】（1）根据指数与对数的关系求解． （2）根据指数与对数的关系求证． （3）利用对数运算法则求解． 【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log381． 故答案为：4＝log381． （2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴am÷an＝am﹣n． ∴logalogaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣logaN． ∴logalogaM﹣logaN． （3）原式＝log6（9×8÷2） ＝log636 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键． 24．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB． （1）证明：△EAC≌△DBC； （2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明． （3）在A的运动过程中，当，时，求△ACM的面积． 【分析】（1）利用△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，证明∠BCD＝∠ECA，再利用（SAS）证明三角形全等即可； （2）作AF⊥EC交EC于点F，设AF＝EF＝a，设FC＝b，求出AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2，即可求出AD2+AE2＝2AC2； （3）作AF⊥EC交EC于点F，，，利用勾股定理求出，得到∠ACF＝30°，作MG⊥AC交AC于点G，设AG＝GM＝x，则GC＝AC﹣AG＝2﹣x，利用，解得：，所以． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD， 即∠BCD＝∠ECA 在△EAC和△DBC中， ， ∴△EAC≌△DBC（SAS）； （2）解：作AF⊥EC交EC于点F， ∵∠CED＝45°， 故设AF＝EF＝a，设FC＝b， 则EC＝a+b，， ∵△ECD是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵△AFC是直角三角形， ∴由勾股定理可得：， ∵AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2， ∴AD2+AE2＝2AC2； （3）解：作AF⊥EC交EC于点F， ∵，，△ECD是等腰直角三角形， ∴， ∵∠CED＝45°， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，即， ∴∠ACF＝30°， 作MG⊥AC交AC于点G， ∵∠ECD＝90°，∠ACF＝30°， ∴∠ACM＝60°， ∵∠CAB＝45°， ∴AG＝GM， 故设AG＝GM＝x，则GC＝AC﹣AG＝2﹣x， ∵∠ACM＝60°， ∴， 解得：， ∴． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，难度较大，考查学生对所学知识的综合运用能力． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD． （1）求证：△ADP∼△EDQ； （2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长． 【分析】（1）证∠A＝∠DEQ，∠EDQ＝∠ADP，即可得出△ADP∽△EDQ； （2）证△EDB∽△ACB，求出ED，EB，由（1）得：△ADP∽△EDQ，得，解得：EQx，进而得出结论； （3）证tan∠QPDtanB，得∠QPD＝∠B，再证△PDF∽△BDQ，得△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ＝BQ，②BQ＝BD，③DQ＝DB，分别求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵ED⊥AB， ∴∠EDB＝90°， ∴∠DEQ+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DEQ， 又∵PD⊥QD， ∴∠PDQ＝90°， ∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°， ∴∠EDQ＝∠ADP， ∴△ADP∽△EDQ； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵点D为斜边AB的中点， ∴AD＝BDAB＝5， ∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B， ∴△EDB∽△ACB， ∴， 即， 解得：ED，EB， 由（1）得：△ADP∽△EDQ， ∴， 即， 解得：EQx， ∴BQ＝BE﹣EQx， 即yx， ∵AP≥0， ∴x≥0， ∵BQ≥0， ∴x≥0， ∴x， ∴yx（0≤x）； （3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ， ∴， ∵PD⊥QD， ∴∠PDQ＝90°， ∴tan∠QPDtanB， ∴∠QPD＝∠B， 又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°， ∴∠PDF＝∠BDQ， ∴△PDF∽△BDQ， ∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形， ①若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G，如图所示： 则DG＝BGBD， ∵cosB， ∴， 解得：x， 即AP； ②若BQ＝BD，则x＝5， 解得：x， 即AP； ③若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB， ∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去； 综上所述，当△PDF为等腰三角形时，线段AP的长为或． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:46:32；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214 调查问卷（部分） 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h． 如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它调查问卷（部分） 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h． 如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它
2023年重庆市黔江区武陵初级中学等五校中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣5的相反数为（ ） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D． 2．（4分）下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 3．（4分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ） A．60° B．80° C．70° D．100° 4．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ） A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2 5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，若点B的坐标为（3，1），则点E的坐标是（ ） A．（9，3） B．（6，2） C．（6，3） D．（9，2） 6．（4分）估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（4分）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A． B． C． D． 8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB，则AC的长为（ ） A．6 B．2 C．3 D．9 9．（4分）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A．2π B．4π C．6π D．8π 10．（4分）若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（4分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（4分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}． 下列判断： ①P； ②max； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1； ④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1； ⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 13．（4分）计算 ． 14．（4分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 ． 16．（4分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”则客人的个数为 ． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2； （2）解不等式：x﹣13． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ （3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ 21．（10分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 22．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 23．（10分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN， ∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 请解决以下问题： （1）将指数式34＝81转化为对数式 ； （2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ ． 24．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB． （1）证明：△EAC≌△DBC； （2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明． （3）在A的运动过程中，当，时，求△ACM的面积． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD． （1）求证：△ADP∼△EDQ； （2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长． 2023年重庆市黔江区武陵初级中学等五校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）﹣5的相反数为（ ） A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D． 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【解答】解：﹣5的相反数为5． 故选：A． 【点评】本题考查的是相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键，注意0的相反数是0． 2．（4分）下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称和中心对称图形的特征分析即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．轴对称图形：沿一条直线对折，能够重合的图形叫轴对称图形． 3．（4分）如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（ ） A．60° B．80° C．70° D．100° 【分析】根据等边三角形的性质及外角性质可求∠3，再根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1＝50°， ∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，熟记等边三角形的性质和平行线的性质是解题的关键． 4．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ） A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案． 【解答】解：∵x﹣2≠0， ∴x≠2． 故选：D． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义． 5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，若点B的坐标为（3，1），则点E的坐标是（ ） A．（9，3） B．（6，2） C．（6，3） D．（9，2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合图形，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：∵△MBC以原点O为位似中心，放大3倍后得到△DEF，点B的坐标为（3，1）， ∴点E的坐标是：（9，3）． 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6．（4分）估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】先进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数4的大小即可． 【解答】解：原式＝4， ∵23， ∴6＜47， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 7．（4分）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ） A． B． C． D． 【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可． 【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵， 由题意得，． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB，则AC的长为（ ） A．6 B．2 C．3 D．9 【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB， ∴BC＝AB•cosB＝96， ∴AC3， 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．（4分）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可． 【解答】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积， 故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为π×22＝4π． 故选：B． 【点评】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识． 10．（4分）若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积． 【解答】解：将分式方程去分母得： a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1） 解得：x＝﹣2a﹣1 ∵解为负数 ∴﹣2a﹣1＜0 ∴a ∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0， ∴a，且a≠0； 将不等式组整理得： ∵不等式组无解 ∴a≤2 ∴a的取值范围为：a≤2，且a≠0 ∴满足条件的整数a的值为：1，2 ∴所有满足条件的整数a的值之积是2． 故选：C． 【点评】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键． 11．（4分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题． 【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b． ∵点A在y上， ∴A（，2m）， ∴AJ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DK∥BC， ∴， ∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b， ∵JF∥DE， ∴， ∴， ∴JF， ∴OF＝OJ﹣JF＝2m， ∴S△BFC•BC•OF3b•6， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 12．（4分）对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}． 下列判断： ①P； ②max； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则0＜x＜1； ④若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，仅有唯一解x＝1； ⑤max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为．其中正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 【分析】①计算出三个数的平均数即可判断； ②找出三个数中最大的数即可判断； ③根据题意列出不等式组，解不等式组即可判断； ④根据题意得出，解得x＝1，即可判断； ⑤建立函数则y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x作出三个函数的图象，利用图象即可判断． 【解答】解：①，0，的平均数是，故①错误； ②﹣3，，﹣π三个数中最大的数，故②正确； ③若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则，解得0≤x≤1，故③错误； ④P{2，x+1，2x}＝x+1， 若P{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，则min{2，x+1，2x}＝x+1， 即，解得x＝1，故④正确； ⑤作出y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象． 由图可知max{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最小值为，故⑤正确； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义是解题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 13．（4分）计算 ． 【分析】先根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义是关键． 14．（4分）如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ 8 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k5． 解得k＝8． 故答案是：8． 【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AD长为半径画．以D为圆心，DA长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 ． 【分析】连接AE、DE，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，先证明四边形ABFE是矩形和△ADG是等边三角形，由图可知：S1AE×EG，S2＝S扇形AED﹣S△AED，S3＝S矩形ABFG﹣S扇形AEB﹣S1，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式计算即可求答案． 【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点， 在正方形ABCD中，有EF⊥AD， ∴四边形ABFE是矩形， ∵弧BD和弧AC的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2， ∴DG＝AD＝AG＝2， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠GAD＝∠ADG＝∠AGD＝60°， ∵EF⊥AD， ∴，EG平分∠AGD， ∴矩形ABFE的面积为：S矩形ABFE＝AB×AE＝2×1＝2， 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠BAG＝∠BAD﹣∠GAD＝30°， 在Rt△AGE中，有AE＝1，AG＝2， ∴， ∴△AEG的面积为：， 同理可求得：， ∵AD＝2，∠ADG＝60°， ∴扇形ADG的面积为：， ∴弓形AG的面积为：， ∵AB＝2，∠BAG＝30°， ∴扇形BAG的面积为：， ∴异形BGF的面积为：， 根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：S阴影＝（S1+S2+S3）×2， ∴， 即：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了求解特殊图形的面积的知识，掌握扇形的面积公式，并得出S2＝S扇形AGD﹣S△AGD，S3＝S矩形ABFE﹣S扇形AGB﹣S1，是解答本题的关键． 16．（4分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”则客人的个数为 72 ． 【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可． 【解答】解：设有x个客人，则78 解得，x＝72 答；有72个客人． 故答案是：72． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．（8分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2； （2）解不等式：x﹣13． 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5； （2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6， 移项合并得：x≥6． 【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积． 【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形AFCE是平行四边形，再证CE＝CF，即可得出结论； （2）由含30°角的直角三角形的性质得出OEAO，则EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠AEF＝∠CFE， 在△AOE和△COF中，， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OF＝OE， ∵AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形； ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形， ∴AC⊥EF，AO＝COAC＝1， ∴∠AOE＝90°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠AEO＝30°， ∴OEAO， ∴EF＝2OE＝2， ∴四边形AFCE的面积AC×EF2×22． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下： 中小学生每周参加家庭劳动时间x（h） 分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ （3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h．请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论； （2）用少于2h的人数乘“不喜欢”所占百分比即可； （3）根据中位数解答即可． 【解答】解：（1）由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数， 故中位数落在第二组； （2）（1200﹣200）×（1−8.7%−43.2%−30.6%）＝175（人）， 答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人； （3）由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键． 20．（10分）设函数y1，y2（k＞0）． （1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值； （2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？ 【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值； （2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断． 【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2， ∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②； 由①，②得：a＝1，k＝1； （2）芳芳的说法不正确， 理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1， 则m0＞0，m0﹣1＜0， ∴当x＝m0时，p＝y20， 当x＝m0﹣1时，q＝y20， ∴q＞0＞p． ∴芳芳的说法不正确． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键． 21．（10分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元． （1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？ （2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以列出二元一次方程组，解方程组即可求出羊腿和羊排的售价； （2）根据羊排的售价，羊排的利润率为25%，可得每斤羊排的利润；设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，根据题意，得： ， 解得， 答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元； （2）每斤羊排的进价为：40÷（1+25%）＝32（元）， 每斤羊排的利润为：32×25%＝8（元）， 设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元， 根据题意，得：x≥120， w＝6x+8（180﹣x）＝﹣2x+1440， ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝﹣2×120+1440＝1200， 此时，180﹣120＝60（斤）， 答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是1200元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22．（10分）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （1）求BC的距离（结果保留整数）； （2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C． 【分析】（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M，由题意可得MC＝MB，设MC＝MB＝x，则MA＝x+40，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可； （2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答． 【解答】解：（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M， 由题意得，AB＝40×1＝40海里， 由题意得，在Rt△BCM中，∠CBM＝45°， ∴MC＝MB， 设 MC＝MB＝x海里，则MA＝（x+40）海里， 在Rt△ACM中，， ∴， 解得， ∴海里， 在Rt△MBC中，MB2+MC2＝BC2， ∴海里； （2）∵海里， ∴海里， ∵AM∥CH， ∴∠1＝∠CAM＝30°， ∴， ∴海里， ∵CH∥DN，∠NDC＝37°， ∴∠2＝∠NDC＝37°， ∴， ∴海里， 货船从B到C用时：（小时）， ∵6分钟小时， ∴（小时）， ∴（海里）， ∵（海里）， ∴能在货船之前到达小岛C． 【点评】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23．（10分）阅读以下材料： 指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN， ∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 请解决以下问题： （1）将指数式34＝81转化为对数式 4＝log381 ； （2）求证：logalogaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝ 2 ． 【分析】（1）根据指数与对数的关系求解． （2）根据指数与对数的关系求证． （3）利用对数运算法则求解． 【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log381． 故答案为：4＝log381． （2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴am÷an＝am﹣n． ∴logalogaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣logaN． ∴logalogaM﹣logaN． （3）原式＝log6（9×8÷2） ＝log636 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键． 24．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接DB． （1）证明：△EAC≌△DBC； （2）当点A在线段ED上运动时，猜想AE、AD和AC之间的关系，并证明． （3）在A的运动过程中，当，时，求△ACM的面积． 【分析】（1）利用△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，证明∠BCD＝∠ECA，再利用（SAS）证明三角形全等即可； （2）作AF⊥EC交EC于点F，设AF＝EF＝a，设FC＝b，求出AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2，即可求出AD2+AE2＝2AC2； （3）作AF⊥EC交EC于点F，，，利用勾股定理求出，得到∠ACF＝30°，作MG⊥AC交AC于点G，设AG＝GM＝x，则GC＝AC﹣AG＝2﹣x，利用，解得：，所以． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD， 即∠BCD＝∠ECA 在△EAC和△DBC中， ， ∴△EAC≌△DBC（SAS）； （2）解：作AF⊥EC交EC于点F， ∵∠CED＝45°， 故设AF＝EF＝a，设FC＝b， 则EC＝a+b，， ∵△ECD是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵△AFC是直角三角形， ∴由勾股定理可得：， ∵AD2＝2b2，AE＝2a2，AC2＝a2+b2， ∴AD2+AE2＝2AC2； （3）解：作AF⊥EC交EC于点F， ∵，，△ECD是等腰直角三角形， ∴， ∵∠CED＝45°， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，即， ∴∠ACF＝30°， 作MG⊥AC交AC于点G， ∵∠ECD＝90°，∠ACF＝30°， ∴∠ACM＝60°， ∵∠CAB＝45°， ∴AG＝GM， 故设AG＝GM＝x，则GC＝AC﹣AG＝2﹣x， ∵∠ACM＝60°， ∴， 解得：， ∴． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，难度较大，考查学生对所学知识的综合运用能力． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD． （1）求证：△ADP∼△EDQ； （2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长． 【分析】（1）证∠A＝∠DEQ，∠EDQ＝∠ADP，即可得出△ADP∽△EDQ； （2）证△EDB∽△ACB，求出ED，EB，由（1）得：△ADP∽△EDQ，得，解得：EQx，进而得出结论； （3）证tan∠QPDtanB，得∠QPD＝∠B，再证△PDF∽△BDQ，得△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ＝BQ，②BQ＝BD，③DQ＝DB，分别求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵ED⊥AB， ∴∠EDB＝90°， ∴∠DEQ+∠B＝90°， ∴∠A＝∠DEQ， 又∵PD⊥QD， ∴∠PDQ＝90°， ∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°， ∴∠EDQ＝∠ADP， ∴△ADP∽△EDQ； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵点D为斜边AB的中点， ∴AD＝BDAB＝5， ∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B， ∴△EDB∽△ACB， ∴， 即， 解得：ED，EB， 由（1）得：△ADP∽△EDQ， ∴， 即， 解得：EQx， ∴BQ＝BE﹣EQx， 即yx， ∵AP≥0， ∴x≥0， ∵BQ≥0， ∴x≥0， ∴x， ∴yx（0≤x）； （3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ， ∴， ∵PD⊥QD， ∴∠PDQ＝90°， ∴tan∠QPDtanB， ∴∠QPD＝∠B， 又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°， ∴∠PDF＝∠BDQ， ∴△PDF∽△BDQ， ∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形， ①若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G，如图所示： 则DG＝BGBD， ∵cosB， ∴， 解得：x， 即AP； ②若BQ＝BD，则x＝5， 解得：x， 即AP； ③若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB， ∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去； 综上所述，当△PDF为等腰三角形时，线段AP的长为或． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:46:32；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214 调查问卷（部分） 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h． 如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它调查问卷（部分） 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h． 如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它
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