数学九年级下册6 直线与圆的位置关系第2课时习题

这是一份数学九年级下册6 直线与圆的位置关系第2课时习题，共22页。

6　直线和圆的位置关系
第2课时

(打√或×)
1．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(√)
2．切线与圆有一个公共点，因此圆的切线只有一条．(×)
3．连接圆心和切点所得的线段就是圆心到切线的距离．(×)
4．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(×)
5．三角形的内心到三角形三边的距离相等．(√)

·知识点1　切线的判定定理
1．如图，△ABC是⊙O内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(A)

A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90° C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
2．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__∠ABC＝90°__．

3．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，直线BC与⊙O的位置关系为__相切__．

4．(2021·厦门模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2).
(1)请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；
(2)请找出一个点D，使得直线CD与⊙M相切，并写出点D的坐标．

【解析】见全解全析
·知识点2　三角形的内切圆和内心
5．⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的(D)
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线交点
6．直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则它的内切圆半径为__2__．
7．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__70°__．

8．如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于__55°__．

9.如图，在△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED.
(1)若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
(2)若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．

【解析】见全解全析

1．(2021·南平期末)已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为(D)
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(D)

A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
3．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C)

A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
4. (2020·衡阳中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.

(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
【解析】见全解全析
5. (2021·泉州质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F.

(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径．
【解析】(1)证明：连接OM，
∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM＝∠CBM，

∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠CBM＝∠OMB，∴OM∥BC.
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC＝12，AE是∠BAC的平分线，∴BE＝CE＝BC＝4.
∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，
∴＝，即＝，解得r＝3，即设⊙O的半径为3.
6. (2020·福建中考)如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝.

(1)求∠BED的大小；
(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．
【解析】(1)连接OB，如图1，
∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°.
∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°.
　　
(2)连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，
∵BF＝3，OB＝3，∴tan ∠BOF＝＝，∴∠BOF＝60°，
∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°.
在△BOF和△DOF中，
∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．

7．(2020·黔西南州中考)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC.

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【解析】见全解全析

·易错点　混淆内心、外心
【案例】
如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E.求证：DI＝DB.

【证明】连接BI.

∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI.
又∵∠DBI＝∠CBI＋∠DBC，∠DIB＝∠ABI＋∠BAI，∠DBC＝∠DAC＝∠BAI，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DI＝DB.
















第2课时
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．√　2.×　3.×　4.×　5.√　
【对点达标】
1．A　如图作直径AM，连接BM.

∵AM是直径，EF是切线，
∴∠EAM＝∠ABM＝90°，
∴∠EAB＋∠MAB＝90°，∠M＋∠MAB＝90°，
∴∠EAB＝∠M.
∵∠C＝∠M，
∴∠EAB＝∠C，∴当∠EAB＝∠C时，过点A的直线EF与⊙O相切于点A.
2．【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线(经过半径外端点，与半径垂直的直线是圆的切线).
答案：∠ABC＝90°
3．【解析】∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，
∴∠OBC＝180°－50°－40°＝90°.
∴直线BC与⊙O相切．
答案：相切
4．【解析】(1)如图1，连接AB，BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于点M，点M即为所求．
由图形可知：这点的坐标是(2，0)，
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是(2，0).
(2)如图2，连接MC，过C作CD⊥CM，交x轴于D，
则直线CD与⊙M相切．
过C作CE⊥MD于E，
∵MC⊥CD，CE⊥MD，∴∠MCD＝∠CED＝90°，
∵∠MCE＝∠EDC，∴△MCE∽△CDE，
∴＝.
∵点M的坐标为(2，0)，点C的坐标为(6，2)，
∴ME＝OE－OM＝6－2＝4，CE＝2，
∴＝，∴ED＝1，∴OD＝7，
∴点D的坐标为(7，0).

5．D　如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E，F，D，

连接OE，OD，OF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE＝OD＝OF，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点．
6．【解析】直角三角形的斜边＝＝13，
设它的内切圆半径为r，则×(5＋12＋13)r＝×5×12，解得r＝2.
答案：2
7．【解析】∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，
∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.
答案：70°
8．【解析】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝45°，∠C＝65°，
∴∠A＝70°.
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，
∴∠EDF＝∠EOF＝55°.
答案：55°
9．【解析】(1)∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB).
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝140°，
∴∠IBC＋∠ICB＝70°，
∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝110°.

连接IF，IE，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA＝∠IEA＝90°.
∵∠A＝40°，
∴∠FIE＝360°－∠IFA－∠IEA－∠A＝140°，
∴∠EDF＝∠EIF＝70°.
(2)α＝180°－β.
证明：由圆周角定理得：∠FIE＝2∠FDE，
由(1)知∠A＝180°－∠EIF，
∴∠A＝180°－2∠FDE＝180°－2β，
∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)，
＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A，
∴α＝90°＋(180°－2β)，
即α＝180°－β.
__关键能力·综合练
1．D　设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，
∴×12r＝6，
解得r＝1.
2．D　如图，

过格点A，B，C画圆弧，则点B与选项格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2).
3．C　连接OA，OB，

∵O是△ABC的内心，
∴OA，OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO.
∵EF∥AB，
∴∠AOE＝∠OAB，∠BOF＝∠ABO，
∴∠EAO＝∠AOE，∠FBO＝∠BOF，
∴AE＝OE，OF＝BF，
∴EF＝AE＋BF.
4．【解析】(1)BC与⊙O相切，理由如下：连接OD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.

∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC.
∵OD为半径，∴BC是⊙O切线．
(2)连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.
∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，
∴＝，＝，∴AC＝，
∴CD＝＝＝.
∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，
∴＝，∴＝，∴BD＝.
5．解析见正文
6．解析见正文
7．【解析】(1)连接OD，DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，

∴DB＝DO.
∵在⊙O中，DO＝OB，
∴DB＝DO＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO＝∠DBO＝60°.
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO.
∵∠DBO＝60°，
∴∠CDB＝30°.
∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)这个确定的值是.
证明：连接OP，如图：
由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE.

∴＝＝，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴＝＝.
【易错必究】
·易错点
【案例】解析见正文
阶段专项提升练四　直线与圆的位置关系
【典例1】【解析】解析见正文
【变式1】解析见正文
【变式2】【解析】(1)连接OC，如图1所示：
∵CD为圆O的切线，∴∠OCD＝90°，
∴∠D＋∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，
又OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB.
(2)四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC，BC，EO，过C点作CH⊥AB于H点，如图2所示，
由圆内接四边形对角互补可知∠B＋∠AEC＝180°，
又∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，
又∠B＋∠CAB＝90°，
∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠CAB＝∠DCE，
又∠CAB＝∠CAE，
∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC.
设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE＋DE＝3x，
∴＝，
∴CD2＝AD·DE＝3x2，∴CD＝x.
在Rt△ACD中，tan ∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，且OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
∠EOC＝2∠EAC＝60°，∴△EOC为等边三角形，
∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，
即EA＝AO＝OC＝CE，
∴四边形EAOC为菱形．

【典例2】【证明】(1)连接OC，
在△OAD和△OCD中，

∵
∴△OAD≌△OCD(SSS)，
∴∠ADO＝∠CDO.
又AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴DE⊥AC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC.
(2)∵tan ∠ABC＝＝2，
∴设BC＝a，则AC＝2a，
∴AD＝AB＝＝a.
∵OE∥BC，且AO＝BO，
∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a.
在△AED中，DE＝＝2a.
在△AOD中，AO2＋AD2＝()2＋(a)2＝a2，
OD2＝(OE＋DE)2＝(a＋2a)2＝a2，
∴AO2＋AD2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，则DA与⊙O相切．
【变式1】解析见正文
【变式2】【解析】(1)过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC.
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，即OH为⊙O的半径．
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为3x，
则OH＝OD＝OC＝3x.

在Rt△AOH中，∵tan A＝，
∴＝，∴＝，∴AH＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，∴AO＝OD＋AD＝3x＋2，
∴3x＋2＝5x，∴x＝1，
∴OA＝3x＋2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA＋OC＝5＋3＝8.
在Rt△ABC中，∵tan A＝，
∴BC＝AC·tan A＝8×＝6，
∴OB＝＝＝3.
拓展
　【解析】(1)如题图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，

则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；
在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．
答案：P1P2∥P3P4　P3
(2)如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，
设直线y＝x＋2交x轴于M，交y轴于N.则M(－2，0)，N(0，2)，过点E作EH⊥MN于H，
∵OM＝2，ON＝2，
根据直角三角形的性质∠NMO＝60°，EH＝，
观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为.
(3)如图2中，以A为圆心，1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，
当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA－OM＝－1＝，
当点B与N重合时，AA′的值最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H.
由题意A′H＝，AH＝＋＝3，
∴AA′的最大值＝＝，
∴≤d2≤.