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初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后复习题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后复习题，共23页。
7.5多边形的内角和与外角和-课后补充习题分层练
【A夯实基础】
A1、（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝ 度．
（2）若∠A=∠B=∠C，则∠B＝ 度．
A2、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．
A3、若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
A4、一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．
A5、如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
A6、（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
A7、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
A8、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
A9、如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
A10、（2021·河南·许昌市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
【B培优综合】
B11、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是____．
B12、如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
B13、（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
B14、（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
B15、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F=25°,求证:BE∥DF.
B16、（2021·山东日照·八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
B17、（2021秋•赞皇县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边， 上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
C19、探究与发现：（1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．
①若，则 ．
②若，用含有α的式子表示为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
7.5多边形的内角和与外角和-课后补充习题分层练解析
【A夯实基础】
A1、（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝ 度．
（2）若∠A=∠B=∠C，则∠B＝ 度．
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度数；
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形内角和定理，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再将其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，
依题意得：4x+5x+6x＝180，
解得：x＝12，
∴∠C＝6x°＝72°．
故答案为：72．
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，
依题意得：y+2y+3y＝180，
解得：y＝30，
∴∠B＝2y°＝60°．
故答案为：60．
A2、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．
【答案】12
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得，
∴，
∴．
故答案为：12．
A3、若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
解：由题意得，设三角形的度数分别为：3x、4x、5x，
根据三角形的内角和定理得：3x+4x+5x=180°，
解得：x=15°，
即，三角形的内角分别为：45°、60°、75°；
综上所述：三角形为锐角三角形．
A4、一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．
【答案】五
【分析】
根据多边形的外角和等于360°进行解答即可得．
【详解】
解：，
故答案为：五．
A5、如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【答案】C
【解析】
解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
A6、（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
A7、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
【答案】C
【详解】
由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，
∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选C．
A8、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据角平分线的性质求出∠CBP与∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
A9、如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
【答案】110°
【分析】
过点E作EH∥AB，然后由AB∥CD，可得AB∥EH∥CD，然后根据两直线平行内错角相等可得∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，然后根据周角的定义可求∠ABE+∠CDE的度数；再根据角平分线的定义求出∠EBF+∠EDF的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求∠BFD的度数．
【详解】
解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
A10、（2021·河南·许昌市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
【答案】
【分析】此题考查了三角形内角和的性质，三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线求得的度数，利用三角形外角性质求得的度数，从而求得的度数．
【详解】
解：∵，，∴，
∵AD平分∠BAC，∴，∴，
∵PE⊥AD，∴，∴．
【B培优综合】
B11、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是____．
【答案】10，11，12
【分析】
先根据内角和公式求出剪完后多边形的边数，从而可得原来多边形的边数；
【详解】设剪去一个角后，形成的多边形的边数为
则
解得
因为一个多边形截去一个角后，其边数可以增加1条、不变、减少1条
所以原来多边形的边数为10或11或12
故答案为：10或11或12；
B12、如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
【答案】D
【解析】
解：在中，，
，
在中，，
四边形的内角和为，
，
即，
解得，
故选：D．
B13、（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C=×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故小题符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
B14、（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝135°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故选：B．
B15、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F=25°,求证:BE∥DF.
【答案】（1）∠CBE=65°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°-∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°-65°=25°，再根据∠F=25°，即可得出BE∥DF．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．
又∵∠F=25°，∴∠F=∠CEB=25°，
∴DF∥BE．
B16、（2021·山东日照·八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝（∠C−∠B）．
【分析】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°−∠C＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE−∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C−∠B的关系．
【详解】
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD＝50°−40°＝10°．
（2）∠DAE＝（∠C−∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD=．
＝=＝（∠C−∠B）．
B17、（2021秋•赞皇县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接AD，根据四边形的内角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，根据“8字形”的关系可得∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，然后即可得解．
【详解】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图3，
连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边， 上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°, 或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
C19、探究与发现：（1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．
①若，则 ．
②若，用含有α的式子表示为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）
（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°
【解析】
解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125°
故答案为：125°；
②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α
故答案为：∠P＝90°＋α；
（2）∠P＝（∠A＋∠B）
理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°
∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD）
∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B）
（3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°
∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD）
∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]
∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°
故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°．
7.5多边形的内角和与外角和-课后补充习题分层练
【A夯实基础】
A1、（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝ 度．
（2）若∠A=∠B=∠C，则∠B＝ 度．
A2、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．
A3、若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
A4、一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．
A5、如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
A6、（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
A7、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
A8、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
A9、如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
A10、（2021·河南·许昌市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
【B培优综合】
B11、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是____．
B12、如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
B13、（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
B14、（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
B15、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F=25°,求证:BE∥DF.
B16、（2021·山东日照·八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
B17、（2021秋•赞皇县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边， 上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
C19、探究与发现：（1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．
①若，则 ．
②若，用含有α的式子表示为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
7.5多边形的内角和与外角和-课后补充习题分层练解析
【A夯实基础】
A1、（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝ 度．
（2）若∠A=∠B=∠C，则∠B＝ 度．
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度数；
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形内角和定理，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再将其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度数．
【解答】解：（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，
依题意得：4x+5x+6x＝180，
解得：x＝12，
∴∠C＝6x°＝72°．
故答案为：72．
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，
依题意得：y+2y+3y＝180，
解得：y＝30，
∴∠B＝2y°＝60°．
故答案为：60．
A2、已知一个多边形内角和1800度，则这个多边形的边数_____．
【答案】12
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得，
∴，
∴．
故答案为：12．
A3、若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】
解：由题意得，设三角形的度数分别为：3x、4x、5x，
根据三角形的内角和定理得：3x+4x+5x=180°，
解得：x=15°，
即，三角形的内角分别为：45°、60°、75°；
综上所述：三角形为锐角三角形．
A4、一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．
【答案】五
【分析】
根据多边形的外角和等于360°进行解答即可得．
【详解】
解：，
故答案为：五．
A5、如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【答案】C
【解析】
解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m），
故选：C．
A6、（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
A7、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数为( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
【答案】C
【详解】
由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，
∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选C．
A8、BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据角平分线的性质求出∠CBP与∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故选：A．
A9、如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数_____．
【答案】110°
【分析】
过点E作EH∥AB，然后由AB∥CD，可得AB∥EH∥CD，然后根据两直线平行内错角相等可得∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，然后根据周角的定义可求∠ABE+∠CDE的度数；再根据角平分线的定义求出∠EBF+∠EDF的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求∠BFD的度数．
【详解】
解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
A10、（2021·河南·许昌市第二中学八年级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度数．
【答案】
【分析】此题考查了三角形内角和的性质，三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线求得的度数，利用三角形外角性质求得的度数，从而求得的度数．
【详解】
解：∵，，∴，
∵AD平分∠BAC，∴，∴，
∵PE⊥AD，∴，∴．
【B培优综合】
B11、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是____．
【答案】10，11，12
【分析】
先根据内角和公式求出剪完后多边形的边数，从而可得原来多边形的边数；
【详解】设剪去一个角后，形成的多边形的边数为
则
解得
因为一个多边形截去一个角后，其边数可以增加1条、不变、减少1条
所以原来多边形的边数为10或11或12
故答案为：10或11或12；
B12、如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．60°
【答案】D
【解析】
解：在中，，
，
在中，，
四边形的内角和为，
，
即，
解得，
故选：D．
B13、（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C=×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故小题符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
B14、（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝135°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故选：B．
B15、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F=25°,求证:BE∥DF.
【答案】（1）∠CBE=65°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°-∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°-65°=25°，再根据∠F=25°，即可得出BE∥DF．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．
又∵∠F=25°，∴∠F=∠CEB=25°，
∴DF∥BE．
B16、（2021·山东日照·八年级期中）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝（∠C−∠B）．
【分析】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，则∠CAD＝90°−∠C＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE−∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C−∠B的关系．
【详解】
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°−∠B−∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°−∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD＝50°−40°＝10°．
（2）∠DAE＝（∠C−∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAE−∠CAD=．
＝=＝（∠C−∠B）．
B17、（2021秋•赞皇县期末）已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根据“8字形”的结构特点，连接AD，根据四边形的内角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，根据“8字形”的关系可得∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，然后即可得解．
【详解】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图3，
连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陕西宝鸡市凤翔区八上期末)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边， 上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，证明见解析；（3）结论不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根据三角形内角和定理进行等量转换，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同样的方法进行等量转换，求解即可判定.
【详解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°, 或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
C19、探究与发现：（1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD．
①若，则 ．
②若，用含有α的式子表示为 ．
（2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： ．
【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）
（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°
【解析】
解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125°
故答案为：125°；
②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α
故答案为：∠P＝90°＋α；
（2）∠P＝（∠A＋∠B）
理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°
∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD）
∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B）
（3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°
∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD）
∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]
∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°
故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°．
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