专题水平面和竖直面内圆周运动的临界问题(课件+练习)-高一物理同步备课系列（鲁科版2019必修第二册）

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物体做圆周运动时需要什么力？谁来提供？
物体做匀速圆周运动时，所受合外力有何特点？
合外力全部提供向心力，合外力的大小不变，方向始终指向圆心
(1) 当 F＝mω2r 时，物体做匀速圆周运动；(2) 当 F＝0 时，物体沿切线方向飞出；(3) 当 F＜mω2r 时，物体逐渐远离圆心；(4) 当 F＞mω2r 时，物体逐渐靠近圆心。
（1）物体做离心运动，并不是受到“离心力”作用，更不是“离心力”大于向心力，而是外界提供的向心力不足或突然消失。
（2）离心运动不是沿着半径背离圆心的运动，而是沿着切线或曲线离心的运动。
（1）题型简述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧（或恰好拉直）、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。（2）方法突破——步骤：①判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。③选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。
（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。②三种临界情况：ⅰ．接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0。ⅱ．相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。ⅲ． 绳子断裂与松驰（或恰好拉直）的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛（或恰好拉直）的临界条件是：FT＝0。
（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类：一类是与摩擦力有关的临界问题；一类是与弹力有关的临界问题。第一、与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。①如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝ ，静摩擦力的方向一定指向圆心；
如图(a)所示：汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力
图(b)：绳两端连物体，其中一个在水平面内做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．图(c)：两个物体分处转动中心两侧时，临界条件为两物体同时发生相对滑动，且摩擦力方向同向．
②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体
例题1、小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求当圆台角速度为多大时，小物块脱离圆台轨道？
例题2、小物块放在旋转如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ（μ＜1）倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动。
第二、与弹力有关的临界极值问题①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【例1】如图所示，用一根长为 l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点）， 另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（sin37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示）。求：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【例2】如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问： （1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？ （2）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解：（1）当AC绳拉直但没有力时，即FT1=0时，由重力和绳BC的拉力FT2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： mgtan45°=mωmax2rωmax2r 其中：r=l•sin30°  解得：ωmax=3.16 rad/s 当BC恰好拉直时，FT2恰为零时，根据牛顿第二定律，有： mgtan30°=mωmin2rωmin2r 解得：ωmin=2.4 rad/s 所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧． （2）当ω=3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受FT1、FT2、mg三力作用，正交分解后可得： 水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°=mlsin30°ω2 竖直方向：FT1cs30°+FT2cs45°=mg  代入数据后解得： FT1=0.27 N FT2=1.09 N 故：（1）小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范围内两绳均张紧； （2）当ω=3rad/s时，AC绳拉力为0.27N，BC绳拉力1.09N．
另解：(1) 设BC恰好拉直时（F2=0 ），角速度为ω1 ， 则有F1cs30 °=mg F1sin 30 °=m ω12/sin30 °， 解得ω1=2.4rad/s.   当ω大到一定程度时，AC仍然拉直，但F1已为0，设此时的角速度为ω2， 则有F2 cs 45 °=mg F2sin45 °=m ω22/sin 30 °， 得ω2=3.16rad/s.    所以要使两绳始终拉紧，必须满足2.4rad/s ≤ω≤3.16 rad/s.   (2)  当ω=3rad/s 时，F1 ，F2 同时存在， 所以  F1sin30 °+F2sin45 °=m ω2 Lsin 30 ° F1cs 30 °+F2cs 45 °=mg， 解得F1=0.27 N F2 =1.09 N
思考：为什么在最高点时过山车没有掉下来？ 为什么杯子倒过来的时候水没有流出来？
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最高点是有条件的。
1、轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似）
★实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等。
（4）小球在最低点时：绳对小球产生竖直向上的拉力（若是内轨道则产生竖直向上的支持力）
思考：小球过最高点的最小速度是多少?
（5）在最高点的FN－v2图线
N=0时临界情况水恰好不掉出，
当 时，杯里的水做向心运动，没到最高点就会洒下来。
是“水流星”表演成功的关键.
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动。在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？
思考：过山车为什么过最高点时不会掉下来？
【例1】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求：（g=10m/s2） （1）在最高点水不流出的最小速率？ （2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
【例2】 如图所示，一个小球沿竖直固定的光滑圆形轨道的内侧做圆周运动，圆形轨道的半径为R，小球可看作质点，则关于小球的运动情况，下列说法正确的是（ ） A. 小球的线速度方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上B. 小球通过最高点的速度可以等于0C. 小球线速度的大小可以小于 D. 小球线速度的大小总大于或等于
2、轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）
注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。（管道约束类似）
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上，由牛顿第二定律得：
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的变化而变化。
（5）小球在最低点时：杆对小球产生竖直向上的拉力（若是管道则产生竖直向上的支持力）
（6）在最高点的FN－v2图线
【例 1】：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（　 　）
3、复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）（1）模型简述：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。（2）方法突破：①竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。②速度是联系前后两个过程的关键物理量。（3）解题关键①明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二 定律和向心力公式列方程。②平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。③速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
【例1】如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球。现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长 L＝1.0 m，B点离地高度 H＝1 .0 m，A、B两点的高度差 h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻 力，求：（1）地面上D、C两点间的距离s；（2）轻绳所受的最大拉力大小。
【例1】如图所示，一个质量为m的小球（可视为质点）以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧，经BCD从圆管的最高点D射出，恰好又落到B点。已知圆弧的半径为R且A与D在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ=60°，不计空气阻力。求：（1）小球从A点做平抛运动的初速度v0的大小；（2）小球在D点时的速度大小 ；（3）在D点处小球对管壁的作用力 的大小和方向；
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同，所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小合外力。
竖直平面内圆周运动的临界问题
Part three
1 ．在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同，下面列举三类题型。2．与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在 最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
解析：物体恰好滑动时，应在 A 点，如图 所示对物体受力分析．由牛顿第二定律得μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，C 正确．
【例2】如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一长L=0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，求：小球通过最高点A时的最小速度为多大；