2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（六）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高二上学期期末调研（六）数学试题

一、单选题

1．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（    ）

A．4 B．3 C． D．1

【答案】D

【分析】由已知，，是斜率直线上的三个点，进而结合斜率公式，由，得到关于，的方程，解方程即可得答案.

【详解】因为，，是斜率直线上的三个点，

则，

所以，解得，．则1．

故选：D.

2．在等差数列中，，．则数列中正数项的个数为（    ）

A．14 B．13 C．12 D．11

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式可得，再求解即可.

【详解】，由可得，所以数列中正数项的个数为12．

故选：C．

3．已知抛物线C的焦点是直线与坐标轴的一个交点，则抛物线C的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出直线与轴和轴的交点，结合抛物线方程的性质求出相应的抛物线方程即可.

【详解】令，得，直线与轴的交于点，令，得，直线与轴的交于点，

若以点为焦点，则，，焦点在x轴的负半轴，抛物线的标准方程为．

若以点为焦点，则，，焦点在轴的正半轴，抛物线的标准方程为．

故选：D．

4．如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得直线的方程，然后利用弦长公式求得.

【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点，

所以直线AB的方程为：，即.

圆心到直线AB：的距离为，

则．

故选：B

5．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同,求出椭圆的焦点及,再根据双曲线的离心率求出,写出双曲线方程即可.

【详解】解:由题知在椭圆中,

焦点坐标为,

双曲线中,焦点坐标为,,

,

,,

故双曲线的方程为．

故选:A

6．已知函数，．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导后代入可求得，由可得结果.

【详解】，，即，

又，.

故选：D.

7．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（    ）

A．16 B．28 C．32 D．64

【答案】C

【分析】根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案．

【详解】由题意，设等比数列首项为，公比为，

可得且，所以，

解得，则，即第5个区域种植棵．

故选：C.

8．设函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】函数在上单调递增等价于在上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.

【详解】由题意在上恒成立，即，又在单增，，则．

故选：C．

二、多选题

9．若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程.

【详解】设圆心坐标为，半径，

到直线的距离，

所以，解得或.

当时，圆的方程为；

当时，圆的方程为.

故选：BD

10．设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．时，n的最小值为13

【答案】ACD

【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.

【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确；

又，所以，B错误；

而，A正确.

故选：ACD.

11．已知双曲线的左､右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．若直线与双曲线无交点，则

B．焦点到渐近线的距离为2

C．点到两条渐近线的距离之积为

D．当与不重合时，直线的斜率之积为2

【答案】BC

【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；

求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；

设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；

求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.

【详解】对A，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线无交点，则.A错误；

对B，由A渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离.B正确；

对C，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为.C正确；

对D，易得，由C点满足，所以直线的斜率之积为.D错误.

故选：BC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．过，两点的直线方程为

C．直线的倾斜角为

D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

【答案】AD

【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；

对于B，利用两点式方程判断；

对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；

对于D，求出三角形的面积即可判断．

【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；

对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确；

对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；

对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．两条平行直线＝与＝的距离是________.

【答案】

【解析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】可将直线＝化为，

所以两条平行直线间的距离为.

故答案为：.

【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题.

14．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________.

【答案】17.

【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.

【解析】双曲线的定义.

15．设是公比为正数的等比数列，，，求数列的前n项和________．

【答案】

【分析】根据等比数列的定义，列方程求出公比q即可.

【详解】设等比数列的公比为（），因为，，所以，

得，解得（舍去），或，

所以；

故答案为： .

16．生产某塑料管的利润函数为，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润的单位为元．若，则n的值是________．

【答案】

【分析】对求导,得，，解此方程，舍去负根即可得答案.

【详解】解：由已知可得，，

整理为，

解得或(舍).

所以

故答案为：

四、解答题

17．设是等差数列的前n项和，．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)当，时，求数列的前项和．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，写出其前n项和，得到判断；

（2）由，，求得，进而得到数列的首项和公差求解.

【详解】（1）解：设等差数列的首项为公差为d,

所以，

则 ，

所以 ， ，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列；

（2）由，，

得，

解得，

所以数列是以-2为首项，以为公差的等差数列，

所以数列的前项和为

18．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点.

(1)若为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率；

(2)如果存在点P，使得，且的面积等于9，求b的值和a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)，

【分析】（1）根据或或进行分类讨论，通过求来求得椭圆的离心率.

（2）根据已知条件列方程求得，判断出，结合求得的取值范围.

【详解】（1）为等腰直角三角形可知有三种情况．

当时，，，于是，

得；当时，同理求得；

当时，则P在椭圆短轴的端点，，

，解得，

所以椭圆的离心率为或.

（2）设，由的面积等于9，得，①

由，得，②

再由P在椭圆上，得，③

由②③及，得，又由①知，故，

由②③得，，从而，故，

，时存在满足条件的点P，

故，a的取值范围为

19．已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．

(1)求数列，的通项和；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）因为是与2的等差中项，

所以，即，

则，

当时，，

从而，

则等比数列的公比，

故；

因为，点在一次函数的图象上，

所以，即等差数列的公差为2，

从而.

（2）由，

得：...①

...②

①-②得，

，

从而.

20．已知

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)当时，若有两个零点，求k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.

（2）由构造函数，求得，对进行分类讨论，结合零点存在性定理求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，求导得：，

当时，，，在处的切点为，斜率，

对应的切线方程为，即.

（2）当时，，

令，则有两个零点等价于有两个零点，

对函数求导得：，

当时，在上恒成立，于是在上单调递增.

从而，因此在上没有零点；

即在上没有零点，不符合题意.

当时，在上，在上，

于是在上单调递减，在上单调递增，

则的最小值为，

由于在上有两个零点，

所以

因为，，

对于函数，，

所以函数在区间，函数单调递减；

在区间，函数单调递增.

所以，

所以，

于是由零点存在性定理得时，在上有两个零点，

综上，可得k的取值范围是.

【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面要利用导数研究函数的单调区间，另一方面，求得函数的单调区间后，要结合零点存在性定理来判断零点存在.

21．已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．

(1)若的倾斜角为且过点F，求；

(2)若线段AB的中点坐标为，求的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先可得直线的方程，设，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.

（2）利用点差法求出的斜率即可得答案.

【详解】（1）因为的倾斜角为，，

所以直线的方程为，

联立可得，

设，则，

所以；

（2）设，则，

所以，

因为线段AB的中点坐标为，所以，

所以，所以的斜率为，

所以的方程为，即.

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】(1)求导得，分四种情况：当时，当时，当时，当时，讨论的单调性；

(2)由(1)知，当时，，只需，解得；当时，

，矛盾，进而可得答案.

【详解】解：（1），

当时，在上单增，在上单减；

当时，或在和上单增，在上单减；

当时，在上单增；

当时，或在和上单增，在上单减；

（2）由（1）知，当时，，故只需，即；

当时，，矛盾；故，

即a的取值范围为