初中人教版第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用第3课时教案设计

28.2  解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例（第3课时）

一、教学目标

【知识与技能】

1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念；

2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；

3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.

【过程与方法】

通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】

渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.

二、课型

新授课

三、课时

第3课时 共3课时

四、教学重难点

【教学重点】 

用三角函数有关知识解决方位角问题.

【教学难点】 

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、三角板等.

学生：直尺、三角板.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一

(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).

（二）探索新知

知识点1 方向角的有关问题（出示课件4）

方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.

教师强调：（出示课件5）

（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.

（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.

（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.

考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6）

例  如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？

学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7）

解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）

=80×cos25°

≈80×0.91

=72.505.

在Rt△BPC中，∠B=34°，

因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile．

教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（出示课件8）

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正.

考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10）

例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14）

解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.

∵BD∥CE∥AF，

∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，

∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.

又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，

∴BC=AC=12海里，

∴(海里)，

，

故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正.

知识点2 坡度、坡角有关的问题

解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15）

教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16）

学生思考后，师生共同总结：（出示课件17）

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，如图，坡度通常写成的形式.

教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡.

出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正.

考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题

例  如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)（出示课件19）

学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件20）

解：过点A作AF⊥BC于点F，

在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，

则AF=AB·sin60°=(m)，

在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).

故改造后的坡长AE为m.

出示课件21～22，学生独立解决，一生板演，教师订正.

考点2 利用坡度、坡角解答山坡问题

例 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？（出示课件23）

学生独立思考后，师生共同解答：（出示课件24）

解：用α表示坡角的大小，由题意可得

因此α≈26.57°.

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，

因此

从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．

答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．

出示课件25，学生独立解决，教师订正.

（三）课堂练习（出示课件26-36）

练习课件26-36页题目，巩固所学知识点，约用时20分钟。

（四）课堂小结（出示课件21）

本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）

师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：

1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角.

2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.

3.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示.

4.坡度越大，坡角越大，坡面越陡.

（五）课前预习

预习下节课（29.1（第1课时））的相关内容.

知道什么是投影、平行投影及中心投影.

七、课后作业

教材第77页练习第2题.

八、板书设计

28.2.2 应用举例（第3课时）

1.方向角的意义；

2.坡度、坡角的意义；

3.例题

九、教学反思

将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.