（原创）北师大版（2019）数学-必修第二册-第一章 三角函数-§2 任意角PPT

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§2 任意角 当钟表慢了或快了时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确.在调整的过程中,你能分析出分针转动的角度有什么不同吗?在体操或跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,你知道运动员转体多少度吗? 在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的. 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？提示：不相等60°60°1.了解任意角的概念，理解象限角的概念．2.掌握终边相同的角的含义及其表示.1.通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2.借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养.课标要求素养要求 如图在生活中，拧紧螺丝时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，需要将扳手逆时针方向旋转.可以旋转一圈，也可以旋转多圈.为了描述这种现象，需要对角的概念进行推广.探究点1 角的概念推广1、角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转的终止位置OB形成角α，其中点O是角α的顶点.射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边.2、任意角 在数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. 这样零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α=0°.3、识别图中的角提示：图1-5中的角是750°的正角；图1-6中的正角α=210°，负角β=-150°，负角γ=-660°. 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角； 注意：如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限.探究点2 象限角的概念 说出图中的角是第几项象限角？提示：图1-7中，30°，390°和-690°角都是第一象限角；图1-8中，300°和-60°角都是第四象限角；图1-9中，585°角是第三象限角.探究点3 终边相同的角思考：图1-7中，30°，390°和-690°三个角有什么关系？提示：390°和-690°的角与30°的角终边相同.且390°=30°+360°-690°=30°+（-2）×360°都是30°+k×360°的形式，k∈Z 设集合S={β|β=30°+k×360°，k∈Z}.容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内都是集合S中的元素；反之，集合S中的任一元素的终边显然与30°角终边相同. 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}， 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.终边相同的角例1 判定下列各角是第几象限的角:(1)-60°；(2)945°；(3)-950°12′.解 (1)因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；(2)因为945°=225°+2×360°,所以945°与225°角终边相同，而225°角的终边在第三象限角,所以945°角是第三象限角；(3)因为-950°12′=129°48′+（-3）×360°,而129°48′角的终边在第二象限角,所以-950°12′角是第二象限角.例2 写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.解 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+k·180°，k∈Z}.解 S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素应满足-360°≤60°+k·360°<720°,解得又k∈Z,所以k=-1,0,1.所求元素分别是60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合-360°≤β<720°的元素β写出来.C【解题关键】由θ的4倍角与θ的终边相同列出方程 把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则断事是书生的怪癖.——培根