北师大版八年级上册2 求解二元一次方程组导学案

专题5.10 求解二元一次方程组题型分类专题（知识讲解）

类型一、已知二元一次方程组的解求参数

1．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．

（1）判断关于，的方程组是否是“奇妙方程组”，并说明理由；

（2）如果关于，的方程组是“奇妙方程组”，求的值．

【答案】（1）是，理由见解析；（2）4

【分析】

两个未知数的值互为相反数就是它们的和为0，

（1）只需判断x+y的值是否为0即可；

（2）变形用a的式子表示x+y，从而列出a的方程求解．

解：（1）

由①+②得：，

∴两个未知数的值互为相反数，

∴方程组是“奇妙方程组”．

（2）由，解得

是“奇妙方程组”，

，

．

【点拨】本题主要考查相反数和为0，表示出两个未知数的和列方程即可，没必要一定去表达出每个未知数．

举一反三：

【变式1】若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值．

【答案】

【分析】先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k的方程，解方程即可求解.

解：①-②，得5y＝10k-9，解答y＝2k ，

把y＝2k代入②，得

，解得x

把x，y＝2k代入方程2x+y＝3，得，

解得k=.

【点拨】本题主要考查含参数的二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握解含参数的二元一次方程组的方法.

【变式2】如下是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组．

方程组集合：，，，

对应方程组解的集合：，，，．

（1）方程组1的解为______；

（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出方程组为______，方程组的解______；

（3）若方程组的解是，求的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．

【答案】（1）；（2），；（3）a=5，符合

【分析】

（1）求出方程组1的解即可；

（2）观察一系列方程组的解特征，归纳总结得到一般性规律即可；

（3）利用加减消元法求出方程组的解，验证即可．

解：（1），

两式相加得：2x=2，解得：x=1，

两式相减得：2y=0，解得：y=0，

故方程组的解为：；

（2）通过观察分析，得方程组中第1个方程不变，只是第2个方程中的系数依次变为，，，，，第2个方程的常数规律是．

它们解的规律是，2，3，，．

相应的，，，，

根据以上规律，可得：

方程组n为，它的解是；

（3）因为是方程组的解，

所以有，

解得，

即原方程组为，

所以该方程组符合（2）中的规律．

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

类型二、二元一次方程组的特殊解法

2．阅读下列材料：

小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．

请你参考小明同学的做法解方程组：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．

解：（1）令，，

原方程组化为，

解得：，

，

解得：．

原方程组的解为．

（2）令，，

原方程组可化为：，

解得：，

，

经检验，是原方程的解．

原方程组的解为．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．

举一反三：

【变式1】阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法．

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；

把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，

把y＝﹣1代入①，得x＝4，

∴方程组的解为．

请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组．

【答案】

【分析】将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．

解：中将②变形，得③，

将①代入③得，2×6﹣y＝18，

∴y＝﹣6，

将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，

∴方程组的解为．

【点拨】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．

【变式2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：

解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：

②①得：，即．③

③17得：．④

①④得：，代入③得．

所以这个方程组的解是．

（1）请你运用小明的方法解方程组．

（2）猜想关于、的方程组（）的解是______；

（3）请你按照上面的规律写一个方程组，使它的解与（2）中方程组的解相同（所写方程组未知数的系数大于100）．

【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一） ．

【分析】

（1）先用② －①得到一个新方程即然后③ ×1997，然后用① －④进行求解即可得到答案；

（2）根据（1）的原理进行方程的求解即可得到答案；

（3）根据（2）中计算的结果写出一个满足题意的方程组即可.

解：（1）

②①得：，即．③

③1997得：④

①④得：，代入③得

所以这个方程组的解是

（2）猜想方程组的解为

把代入①中得，方程左右两边相等

把代入②中得，方程左右两边相等

故原方程组的解为；

（3）由（2）得方程组的解为

即只要写出一个方程组的解为所写方程组未知数的系数大于100即可

∴满足题意的方程组为（答案不唯一） ．

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于掌握题目所给的方程组解法进行正确的计算即可.

类型三、二元一次方程组的错题复原问题

3．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得，求原方程组的正确解．

【答案】

【分析】将小鑫解得的代入，将小童解得的代入中，建立方程组求解出的值，再代入原方程组中进行求解．

解：根据题意，可得，

解得，

将a，b代入原方程组，得，

由②可得③，

将③代入①，可得，

解得，

把代入③，解得．

故原方程组的正确解是．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本方法．

举一反三：

【变式1】甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试求出方程组正确的解．

【答案】

【分析】由于甲看错了a，将甲计算得到的解代入等式②，可求得b的值；同理，由于乙看错了b，将乙计算得到的解代入等式①，可计算得a的值．

解：将，代入②，得，．

将，代入①，得，．

∴原方程组为

①，得．③

②＋③，得，．

将代入①，得．

∴原方程组的解是．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求解的关键是熟练掌握求解方法从而准确计算得到答案．

【变式2】学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一元一次方程，去分母时-1项忘记乘以6，得该方程的解为，乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，试求的值．

【答案】．

【分析】甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6，则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的结果代入方程3x+2by=3求出b的值，即可求解．

解：甲同学在解方程，去分母时-1项忘记乘以6，

则所得方程是：3(x+3)-1=x+a，

把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2；

乙同学在解方程组时，看错了第一个方程，得该方程组的解为，

把代入3x+2by=3得：6+6b=3，

解得：，

则．

【点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及一元一次方程的解．注意：方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

类型四、构造二元一次方程组求解

4．在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即．

（1）点的“族衍生点”的坐标为                ；

（2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为                ；

（3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值．

【答案】（1） ；（2）；（3）

【分析】

（1）利用“m族衍生点”的定义可求解；

（2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解；

（3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解．

解：（1）点的“族衍生点”的坐标为 ，即 ，

故答案为：；

（2）设点坐标为 ，

由题意可得：

，

点坐标为 ，

故答案为：．

（3）点，

点的“族衍生点”为点，

，

，

，

．

【点拨】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键．

举一反三：

【变式1】对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．

（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝　      　．

（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；

（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）

【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据“f运算”的定义计算即可；

（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；

（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．

解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），

∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），

∴当m＝2，n＝2时，

2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，

f（2，2）＝（2，6）．

故答案为：（2，6）；

（2）由题意得 ，

解得：；

（3）由题意得 ，

解得：．

【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．

【变式2】在等式中，当时，；当时，．

（1）求，的值；

（2）求当时，的值．

【答案】（1）；（2）13

【分析】

（1）把x与y的值代入中，求出，的值；

（2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值．

解：（1）由题意得

解得，

；

（2）由（1）可得原等式为，

当时，,

时，的值为13．

【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

类型五、已知二元一次方程组解的情况求参数

5．在解关于x，y的方程组 时，可以用①×7-②×3消去未知数，也可以用①×2+②×5 消去未知数．

（1）求和的值：

（2）求原方程组的解

【答案】（1）m=2，n=5；（2）

【分析】（1）根据题意得出，求解即可；（2）将（1）中的解代回原方程求解即可．

解：（1）由题意可得方程组：

整理此方程组得：

，

①得，③，

②得，④，

③-④得，，

解之得，，

把代入②中，得，

所以；

（2）将代入原方程组即为，

①得：③，

②得，④，

③＋④得，

解得：，

把代入②中，得，

所以原方程的解为．

【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意求出的值是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知关于、的方程组．

（1）若，求实数a的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）根据方程组分别用a表示出、的值，代入求解即可；

（2）根据方程组分别用a表示出、的值，代入求解即可

解：（1）由方程组，

②-①得：，

将代入得：，

又∵，

∴，

解得：；

（2）由（1）可知，，

又∵，

∴，

整理得：，

解得：．

【点拨】此题考查了二元一次方程和不等式结合的含参数问题，，解题的关键是根据题意列出关于参数a的方程或不等式．

【变式2】已知关于x，y的方程组，给出下列结论：

①当时，方程组的解也是方程的解；

②当时，；

③不论t取什么实数，的值始终不变；

④若，则z的最小值为．

请判断以上结论是否正确，并说明理由．

【答案】②③④

【分析】利用二元一次方程组的解，以及二元一次方程解的定义判断即可．

解：①当时，方程组的解也是方程的解，错误；

理由：把代入方程组得：，

解得：，

把代入得：左边右边，不符合题意；

②当时，，正确；

理由：由，得到，

解得：，符合题意；

③不论取什么实数，的值始终不变，正确；

理由：，

①②得：，即，

①②得：，即，

，符合题意；

④若，则的最小值为，正确；

理由：，最小值为，符合题意．

∴正确的结论为：②③④．

【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

类型六、同解原理

6．已知关于，的方程组和的解相同，求的值．

【答案】-1

【分析】把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案.

解：根据题意得：

①②：

把代入①：

把代入得

解得：

【点拨】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键.

举一反三：

【变式1】若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值．

【答案】a的值为，b的值为l

【分析】根据方程组和同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可.

解：∵方程组和同解

∴可得

把① -②得：

把代入①，解得：

∴方程组的解为：

把，代入另外两方程得：

解得：

∴a的值为，b的值为l.

【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解.

【变式2】已知方程组和有相同的解．

（1）求，的值；

（2）若某三角形的三边长为，，，请求这个三角形的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）解方程组求解即可；（2）根据勾股定理判断三角形为直角三角形，在计算即可；

解：（1）解方程组，

得，

把代入第二个方程组得，

解得；

（2）∵，，

∴以，，为边的三角形是直角三角形，．

∴．

【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，结合勾股定理计算是解题的关键．