初中数学北师大版八年级上册3 轴对称与坐标变化导学案

专题3.5  轴对称与坐标变化（知识讲解）

【学习目标】

1. 在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系；
2. 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系，利用数形结合思想解决坐标与图形的关系。

【要点梳理】

要点一、用坐标表示地理位置

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

特别说明：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．

(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．

要点二、用坐标表示平移

1.点的平移：

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．

特别说明：：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．

2.图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

特别说明：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．

（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

要点三、平面直角坐标系内对称点坐标的特点：

平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.

1、基本知识点：

关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数；

关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数；

即：1、关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , y)

2、关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(x , - y)

3、关于原点对称的两个图形上点的坐标特征：(x , y)——(- x , -y)

口诀：关于哪轴对称哪不变，关于原点对称全部变

2、拓展知识点：

1、关于点（a,b）对称的点（x,y）→（2a-x,2b-y）；
2、关于直线x=a对称的点（x,y）→（2a-x,y）；
3、关于直线y=b对称的点（x,y）→（x,2b-y）；
4、关于直线y=x对称的点 （x,y）→（y,x）；
5、关于直线y=-x对称的点（x,y）→（-y，-x）；

【典型例题】

类型一、实际问题中坐标表示位置

1．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．

（1）图中A→C（______，_____），B→C（______，_____），D→_____（﹣4，﹣2）；

（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；

（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．

【答案】(1) （3，4）；（2，0）；A；（2）答案见解析；（3）10．

【分析】

（1）根据规定及实例可知A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）；

（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；

（3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．

【详解】

（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）；

（2）P点位置如图所示．

（3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；

该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．

故答案为（3，4）；（2，0）；A；

【点拨】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．

举一反三：

【变式1】这是一个动物园游览示意图，试设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法，并画图说明．

【答案】狮子（1，10）；马（2，2）；南门（5，5）；飞禽（8，9）；两栖动物

（9，6）．

【详解】适当建立平面直角坐标系，确定原点及各个景点位置坐标．

试题解析：如图：以左下角的点为原点建立平面直角坐标系，每格规定为一个单位长度，确定各景点的坐标：狮子（1，10）；马（2，2）；南门（5，5）；飞禽（8，9）；两栖动物（9，6）．

考点：适当建立平面直角坐标系并确定各点坐标．

【变式2】先阅读下列一段文字，再回答问题．

已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点间的距离P1P2＝.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2－x1|或|y2－y1|.

(1)已知点A(2，4)，B(－3，－8)，试求A，B两点间的距离；

(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为－1，试求A，B两点间的距离；

(3)已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(－3，2)，C(3，2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由．

【答案】(1) A，B两点间的距离是13；(2) A，B两点间的距离是6；(3)三角形ABC是等腰三角形．理由见解析.

【分析】

（1）根据两点间的距离公式P1P2＝来求A、B两点间的距离；

（2）根据两点间的距离公式|y2-y1|来求A、B两点间的距离；

（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．

【详解】

(1)∵A(2，4)，B(－3，－8)，

∴AB＝＝，

∵132＝169，

∴＝13，

即A，B两点间的距离是13；

(2)∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为－1，

∴AB＝|－1－5|＝6，

即A，B两点间的距离是6；

(3)三角形ABC是等腰三角形，

理由：∵一个三角形各顶点的坐标分别为A(0，6)，B(－3，2)，C(3，2)，

∴AB＝=5，BC＝=6，AC＝5，

∴AB＝AC，

∴三角形ABC是等腰三角形．

【点拨】本题考查了两点间的距离公式．解答该题时，先弄清两点在平面直角坐标系中的位置，然后选取合适的公式来求两点间的距离．

类型二、用方位角和距离确定物体位置

2．据某报社报道，某省4艘渔船(如图)在回港途中，遭遇9级强风，岛上边防战士接到命令后立即搜救．你能告诉边防战士这些渔船的位置吗？

【分析】根据所在方位的角度和距离两个因素确定渔船的位置即可．

解：航标灯在小岛的南偏西60°方向15km处；

渔船A在小岛的北偏东40°方向25km处；

渔船B在小岛的正南方向20km处；

渔船C在小岛的北偏西30°方向30km处；

渔船D在小岛的南偏东65°方向35km处．

【点拨】此题考查坐标确定位置，确定一个物体的位置，需要两个因素：方向与距离．

举一反三：

【变式1】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.

【答案】85°.

【分析】根据方向角，角的和差，可得∠ABC，∠BAC，根据三角形的内角和，可得答案．

【详解】

B岛在A岛的南偏西40°方向,C岛在A岛的南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向，

∴∠ABC=40°,∠BAC=55°，

由三角形的内角和，得

∠ACB=180°−∠ABC−∠ACB=180°−40°−55°=85°.

故答案为85°.

【点拨】此题考查方向角，解题关键在于利用三角形的内角和进行计算.

【变式2】（1）电影院在学校　　　　　　偏　　　　　　的方向上，距离是　　　　　　米．

（2）书店在学校　　　　　　偏　　　　　　的方向上，距离是　　　　　　米．

（3）图书馆在学校　　　　　　偏　　　　　　的方向上，距离是　　　　　　米．

（4）李老师骑自行车从学校到邮局发邮件，每分钟走250米，需要多少分钟到达？

【答案】（1）南，偏东70°，400；（2）北，偏西60°，800；（3）南，偏西15°，400；(4)4分钟.

 试题分析：（1）、（2）、（3）根据方向角的定义和图例即可做出判断；

（4）根据时间=路程÷速度计算即可．

试题解析：解：（1）电影院在学校南偏东70°的方向上，距离是400米．

（2）书店在学校北偏西60°的方向上，距离是800米．

（3）图书馆在学校南偏西15°的方向上，距离是400米．

（4）5×200÷250=4．

答：需要4分钟到达．

故答案为（1）南，偏东70°，400；（2）北，偏西60°，800；（3）南，偏西15°，400；（4）4分钟.

【点拨】：本题主要考查的是方向角的定义，掌握方向角的定义是解题的关键．

类型三、坐标与图形的变化-轴对称

3如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）写出点C1的坐标；

（3）求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；

【分析】

(1)从三角形的三边向y轴引垂线,并延长相同的距离找到三点的对称点,顺次连接.
(2)从图形中找出点C1,并写出它的坐标.

(3) 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．

【详解】（1）△A1B1C1如图所示．

(2)点C1的坐标为(4，3)．

(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.

【点拨】本题主要考查了轴对称图形的作法,注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键.

【变式1】在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三

角形)的顶点A、C的坐标分别是(-5，5)，(-2，3)．

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（3）请在x轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并直接写出点P的坐标．

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) P点坐标（，0）

 分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于轴的对称点B2，连接交轴于点P，则P点即为所求．

详解：（1）如图所示；       （2）如图所示；       （3）P点坐标（，0）

【点拨】 考查作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，注意最短路线问题的求法，是高频考点.

【变式2】已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）．

（1）请以y轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标；

（2）△ABC的面积是            ．

（3）点P（a+1，b-1）与点C关于x轴对称，则a=      ，b=     ．

【答案】（1）答案见解析，A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）；（2）6 ；（3）3，2．

 分析：（1）先得到△ABC关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可；

（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；

（3）由关于x轴对称两点横坐标相等，纵坐标互为相反，即可求得a，b的值.

试题解析：（1）如图所示：

A1（－1，－4）、B1（－5，－4）、C1（－4，－1）；

（2）S△ABC=4×3-×3×3-×3×1=6；

（3）∵P（a+1，b-1）与点C（4，-1）关于x轴对称，

∴，解得，

故答案为3，2.

【点拨】：本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题时注意：先找到图形的关键点，分别把这几个点轴对称，在顺次连接对应点即可得到所求图形.

【变式3】已知点A(2a-b,5＋a),B(2b－1,-a＋b).

(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；

（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值.

【答案】（1） ，（2）1.

【分析】

（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；

（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

 解：（1）∵点A，B关于x轴对称，

∴， 

解得； 

（2）∵A，B关于y轴对称，

 ∴， 

解得， 

所以（4a+b）2016=[4×（-1）+3]2016=1．

【点拨】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【变式4】图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．

(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)写出点A1，B1，C1的坐标；

(3)△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝______．

【答案】 (1)图形见解析．

(2)A1(0，－4)，B1(－2，－2)，C1(3，0)；(3)7

 试题分析：（1）根据网格结构找出点关于轴的对称点 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．

题解析：(1)如图即为所求．

(2) 

(3)

故答案为(0,−4);(−2,−2);(3,0)；7.