重庆市中考数学一轮复习-专题13 一次函数的图象及其性质（讲义）

2021年中考数学一轮专题复习
学案13 一次函数的图象及其性质

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一次函数的意义和函数表达式
理解正比例函数、一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数表达式.
常以选择题、填空题的形式考查一次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查.
2
一次函数的图象和性质
①会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和解析表达式y＝kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时， 图象的变化情况）；
②能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
一次函数的图象和性质是中考的重点内容，常以选择题、填空题和解答题的形式命题，部分地市以探究性问题的形式考查.

思维导图




知识点1： 一次函数的概念

知识点梳理

1.一次函数的概念：
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数．
2.正比例函数的概念：
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．
结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为0．
3. 一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式．
典型例题

【例1】（2019•梧州）下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y＝﹣8x B． C．y＝8x2 D．y＝8x﹣4
【分析】A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、，是反比例函数，不合题意；C、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意．故选A．
【答案】A．
知识点2： 一次函数的图象


知识点梳理

1.正比例函数的图象：
正比例函数y=kx（常数k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）与点（1，k）的直线．
2.一次函数的图象：
所有一次函数的图象都是一条直线；一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条与y轴交于点（0，b），与x轴交于点（，0）的直线．
【注意】（1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取（0，b），（，0）两点．（2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．
3.一次函数图象的平移：
直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
当b＞0时，将直线y=kx向上平移b个单位长度，得到直线y=kx+b；
当b＜0时，将直线y=kx向上平移|b|个单位长度，得到直线y=kx+b．
典型例题

【例2】（2020•陕西7/25）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题
【分析】根据方程或方程组得到A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，
解得：，
∴A（-3，0），B（-1，2），
∴△AOB的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了直线围成图形面积问题，其中涉及了一次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【例3】（2019•天津）直线y＝2x﹣1与x轴的交点坐标为_________．
【分析】根据题意知，当直线y＝2x﹣1与x轴相交时，y＝0．∴2x﹣1＝0，解得x＝．
∴直线y＝2x+1与x轴的交点坐标是（，0）．故答案为（，0）．
【答案】（，0）．
【例4】（2020•天津16/25）将直线y=-2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
【解答】解：将直线y=-2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y=-2x+1．
故答案为y=-2x+1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数y=kx+b，若函数图象向上平移m（m＞0）个单位，则平移的直线解析式为y=kx+b+m．
知识点3： 一次函数图象的性质


知识点梳理

1.正比例函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质：
（1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大．
（2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
2.一次函数的性质：
一般地，一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性质：
（1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大．
（2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
（3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小．
（4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
典型例题

【例5】（2020•上海9/25）已知正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【考点】正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
【例6】（2020•安徽7/23）已知一次函数y=kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
【解答】解：A、当点A的坐标为（-1，2）时，-k +3=2，
解得：k =1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（1，-2）时，k +3=-2，
解得：k =-5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当点A的坐标为（2，3）时，2k +3=3，
解得：k=0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k +3=4，
解得：，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
【例7】（2019•成都）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是_________．
【分析】y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，∴k﹣3＜0，∴k＜3．故答案为k＜3．
【答案】k＜3．
知识点4： 一次函数与方程（组）、一元一次不等式


知识点梳理

1. 一元一次方程：
关于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标．
2. 二元一次方程组：
关于x，y的二元一次方程组的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标．
3. 一元一次不等式：
关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围．
典型例题

【例8】（2019•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为_________．

【分析】点P（m，3）代入y＝x+2，得m＝1，∴P（1，3）．
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1．故答案为x≤1．
【答案】x≤1．
巩固训练

1．要使函数y=（m–2）xn–1+n是一次函数，应满足（　　）
A．m≠2，n≠2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=2 D．m=2，n=0
2.（2019•本溪）函数y＝5x的图象经过的象限是_________．
3．（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　 ）
A． B．
C． D．
5.（2019•包头）正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
6.（2019•陕西）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7.（2018·兴安盟·呼伦贝尔9/26）若式子有意义，则一次函数的图象可能　　
A． B．
C． D．
8.（2019•邵阳）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（　　）

A．k1＝k2 B．b1＜b2 C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
9.（2019•锦州）如图，一次函数y=2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

A． B． C．2 D．4
10.（2019•梧州）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
11.（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
12.（2019•大庆）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
13.（2019•广安）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
14.设正比例函数y = mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（　　）
　 A． 2 B． －2 C． 4 D．－4
15.（2019•潍坊）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是_________．
16.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是_________．

17.（2019•遵义）如图所示，直线l1：y=x+6与直线l2：y=x–2交于点P（–2，3），不等式x+6＞x–2的解集是（　　）

A．x＞–2 B．x≥–2 C．x＜–2 D．x≤–2
18.（2019•黔东南州）如图所示，一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a>0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b<1的解集为_________．
19．（2019•南京）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

巩固训练解析

1．要使函数y=（m–2）xn–1+n是一次函数，应满足（　　）
A．m≠2，n≠2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=2 D．m=2，n=0
【答案】C．
【解析】∵函数y=（m–2）xn–1+n是一次函数，∴m–2≠0，n–1=1．∴m≠2，n=2．故选C．
2.（2019•本溪）函数y＝5x的图象经过的象限是_________．
【答案】一、三．
【解析】函数y＝5x的图象经过第一、三象限．故答案为：一、三．
3．（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】∵ab＜0且a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选A．
4．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；
B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；
C、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选A．
5.（2019•包头）正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由图知，点（3，4）在函数y=kx上，∴3k=4，解得k=．故选B．
【答案】B．
6.（2019•陕西）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），
∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．故选A．
【答案】A．
7.（2018·兴安盟·呼伦贝尔9/26）若式子有意义，则一次函数的图象可能　　
A． B．
C． D．
【考点】零指数幂；一次函数的图象
【分析】根据非负性得出，，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：由题意可得，，
解得：，
，，
所以一次函数的图象经过一，三，四象限，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
8.（2019•邵阳）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（　　）

A．k1＝k2 B．b1＜b2 C．b1＞b2 D．当x＝5时，y1＞y2
【分析】∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1＝k2，
∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1＞b2，∴当x＝5时，y1＞y2，故选B．
【答案】B．
9.（2019•锦州）如图，一次函数y=2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

A． B． C．2 D．4
【答案】A．
【解析】∵在一次函数y=2x+1中，当x=0时，y=1，当y=0时，x=0.5，
∴OA=0.5，OB=1．∴△AOB的面积=0.5×1÷2=．故选A．
10.（2019•梧州）直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
【答案】D．
【解析】直线y＝3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y＝3x+1﹣2＝3x﹣1．故选D．
11.（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
【答案】B．
【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6．∵此时与x轴相交，则y＝0，∴3x+6＝0，即x＝﹣2，∴点坐标为（﹣2，0），故选B．
12.（2019•大庆）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交．故选A．
13.（2019•广安）一次函数y＝2x﹣3的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【分析】∵一次函数y＝2x﹣3，∴该函数经过第一、三、四象限．故选C．
【答案】C．
14.设正比例函数y = mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（　　）
　 A． 2 B． －2 C． 4 D．－4
【考点】正比例函数的性质．
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x=m，y=4代入y=mx中，
可得：m=±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m=﹣2，
故选B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．
15.（2019•潍坊）当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是_________．
【答案】1＜k＜3．
【解析】y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0．∴k＞1，k＜3．∴1＜k＜3．故答案为1＜k＜3．
16.（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是_________．

【答案】．
【解析】∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x，y的方程组的解是．故答案为．
17.（2019•遵义）如图所示，直线l1：y=x+6与直线l2：y=x–2交于点P（–2，3），不等式x+6＞x–2的解集是（　　）

A．x＞–2 B．x≥–2 C．x＜–2 D．x≤–2
【答案】A．
【解析】由图象可知，当x＞–2时，x+6＞x–2．∴不等式x+6＞x–2的解集是x＞–2．故选A．
18.（2019•黔东南州）如图所示，一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a>0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b<1的解集为_________．
【答案】x＜4．
【解析】∵一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a>0）的图象如图所示，经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，∴不等式ax+b<1的解集为x＜4．故答案为x＜4．
19．（2019•南京）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）x＜；（2）﹣4≤k＜0或0＜k≤1．
【解析】（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，
根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜；
（2）当x＝1时，y2＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，