2022-2023学年重庆市三峡名校联盟高二上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市三峡名校联盟高二上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据直线斜率的计算公式，结合已知条件，列出方程，即可求得参数值.

【详解】根据题意可得，解得.

故选：D.

2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.

【详解】解：设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且

又，

则

由于，所以

于是可得，，所以椭圆C的离心率.

故选：B.

3．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【分析】因为，所以有，由向量垂直的坐标运算即可求解.

【详解】若，则有，

即，解得.

故选：B

4．己知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴

，

故选：B

5．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.

【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．

又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.

故选：A.

6．5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，第一个工程队承建的基站数为（万），由等比数列前项和公式列式求解．

【详解】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．

故选：B．

7．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（    ）

A． B．4 C． D．3

【答案】A

【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．

【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为

，

又为直线外一点，且直线过点， ，

，

点到直线的距离为

故选：A．

8．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作，，垂足分别为，，且与轴交于点，

作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可

【详解】如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，

作，，垂足分别为，.

设，则，，故.

因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，则.

因为为的中点，且轴，

所以为的中点，即.

因为，

所以，

所以，

所以，

故.

故选：C

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

B．直线必过定点

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

【答案】ACD

【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B；由可判断C；计算出端点处的斜率结合图形可判断D

【详解】对于A：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，

可设直线方程为，又直线过点，则，即，

此时直线方程为，故A错误；

对于B：直线可变形为，由解得，

即直线必过定点，故B正确；

对于C：当倾斜角时，无意义，故C错误；

对于D：直线即，经过定点，

当直线经过点时，斜率为，

当直线经过点时，斜率为，

由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误；

故选：ACD

10．已知方程：，则下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则方程表示的图形是圆

B．若，则方程表示的图形是双曲线，且渐近线方程为

C．若且，则方程表示的图形是椭圆

D．若且，则方程表示的图形是离心率为的椭圆

【答案】BD

【分析】对于A，由题知方程为，再根据，时的情况判断A；

对于B，分和两种情况讨论判断B；

对于C，分和两种情况讨论判断C；

对于D，由题知方程表示焦点在轴上的椭圆，再求离心力判断D.

【详解】解：对于A选项，由于且得，故方程为，

所以，当时，方程表示的图形是圆；当时，方程不表示任何图形，故A选项错误；

对于B选项，若，则方程表示的图形是双曲线，

当时，焦点在轴上，，渐近线方程为；

当时，焦点在轴上，，渐近线方程为；

所以，B选项正确；

对于C选项，由于且，

所以当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程不表示任何图形；

所以，C选项错误；

对于D选项，若且，方程表示焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为，故D选项正确.

故选：BD

11．在数列中，其前的和是 ，下面正确的是（    ）

A．若 ，则其通项公式

B．若，则其通项公式

C．若，则其通项公式

D．若，，则其通项公式

【答案】BCD

【分析】A根据的关系讨论、求通项公式即可；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D应用数学归纳法求证通项公式即可.

【详解】A：时，，当时，，而，故错误；

B：由题设，，，，，…，则，故正确；

C：由题设，，而，则，即，故正确；

D：假设成立，当时，，即成立；

若时，成立，则时，，

此时，则也成立，故正确.

故选：BCD

12．如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（    ）

A．对任意的点N，一定存在点M，使得

B．向量，，共面

C．异面直线PM和所成角的最小值为

D．存在点M，使得直线PM与平面所成角为

【答案】BCD

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

故，设，，，

而，故即，

故，

若，则即，

当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误.

连接，则，由长方体可得，故，

故，，即，，共面，故B正确.

，故

，

当时，，此时；

当时，，

令，设，则，

故，

所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为，

故C正确.

平面的法向量为，

故，

若直线PM与平面所成角为，则，

故，所以或，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题.

三、填空题

13．已知直线与直线垂直，则实数的值为__________．

【答案】或

【分析】直接根据直线垂直的公式计算即可.

【详解】直线与直线垂直，

故，解得或.

故答案为：或

14．在等比数列中，，，成等差数列，则_______.

【答案】

【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.

【详解】，，成等差数列    

即：，解得：

本题正确结果：

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.

15．已知直三棱柱中,,,,为的中点,则点到平面的距离为______．

【答案】1

【分析】根据题意建立空间直角坐标系,找到点的坐标和平面的法向量,利用公式求出点到面的距离即可.

【详解】解:由题知,直三棱柱,且,

故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标系,

,,为的中点,

,

,

记平面法向量为,

即,

令,则,

到平面的距离为.

故答案为:1

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.

【答案】##

【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.

【详解】解：如图：设的中点为，连接，，

因为，所以，

因为为的中点，所以，

由，得，

所以，

在中，，

因为，所以，

在中，，

因为，

所以，即，

整理可得，即，

所以，

所以或（舍），

所以离心率，

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.

【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

（2）设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

18．已知圆经过原点且与直线相切，圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由可求得圆心和半径；

（2）分直线存在和不存在两种情况讨论.

【详解】（1）因为圆心在直线上，可设圆心为，

则点到直线的距离，

.

据题意，，则，

解得，

所以圆心为，半径，

则所求圆的方程是.

（2）当弦长为2，则圆心到直线的距离为.

当不存在时，直线符合题意；

当存在时，设直线方程为，

圆心到直线的距离，∴，

∴直线方程为.

综上所述，直线方程为或.

19．已知数列，其中前项和为，且满足，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式及其前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)，，．

【分析】（1）根据题意对两边同时加3，进一步推导即可发现数列是以8为首项，2为公比的等比数列；

（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前项和．

【详解】（1）证明：由题意，两边同时加3，

可得，

，

数列是以8为首项，2为公比的等比数列．

（2）解：由（1）可得，

则，，

故

．

20．如图，已知椭圆的左､右两个焦点分别为､，左､右顶点分别为A､B，离心率为，过的动直线与椭圆C交于M､N两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，记､的面积记分别为､，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率即的周长，结合椭圆定义即可求出椭圆C的标准方程；（2）由题意可知将､的面积､分别表示成其纵坐标的形式，再利用韦达定理即可求出的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，，

由的周长为8得，所以；

即；

所以，椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）知，，，所以

设直线的方程为，，

由消去并整理得，

则

而，

令，则①式平方除以②式可得，，则，

所以，，即

解得

所以，的取值范围是

21．如图，在四棱锥中，，．

（1）求证：平面平面；

（2）点为线段上异于的一点，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点的位置．

【答案】（1）证明见解析；（2）点为线段的中点．

【分析】（1）由已知得，利用余弦定理求得，由勾股定理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得结论；

（2）取的中点，连结，利用面面垂直的性质定理知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求出平面与平面所成锐二面角的余弦值，列出等式求出，即得解.

【详解】（1）证明：，，，

，，

在中，由余弦定理得，

．，．

又，，平面．

又平面，所以平面平面．

（2）取的中点，连结，，

由（1）知平面平面，面面，平面，

由，以为坐标原点，方向为轴，轴，以平行于的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．

，，即．

设，则，

不妨设，即，得，

．

设平面的法向量，则

即，令得．

又平面，为平面的法向量．

因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

所以，解得．

所以点为线段的中点．

【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

22．已知抛物线，直线与抛物线相交于两点.

(1)证明：为定值；

(2)当时，直线与抛物线相交于两点，其中，.是否存在实数，使得经过两点的直线斜率为2，若存在求线段的长度，若不存在说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，且

【分析】（1）抛物线与直线联立，利用根与系数的关系即可证明；

（2）由已知得抛物线的焦点为，且过定点，设直线，并与抛物线联立，利用根与系数的关系，结合向量垂直的坐标表示以及（1）的结论即可求解

【详解】（1）因为抛物线与直线相交于两点，

所以，

所以，

又，

所以，为定值；

（2）当时，抛物线，直线，直线，

所以抛物线的焦点为，且过定点，

假设存在实数，使得经过两点的直线斜率为2，

设直线，

由得，

因为，所以，

又，

因为，

所以，

即，

所以，

所以，

所以，

解得或（舍），

所以，，

由（1）可知可得，

所以，

所以，

所以