2022-2023学年陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高二上学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.

【详解】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，

则，，故.

故选：B.

2．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【分析】设公比为，则由已知可得，从而可求出公比.

【详解】设公比为，

因为，，所以，

所以，即

两个方程左右两边分别相除，得，

因为数列是正项等比数列，所以，

故选：D.

3．已知数列的前n项和为，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.

【详解】当时，；当时，，且当时也满足.

故.

故选：D

4．在等比数列中，已知，，则（   ）

A．20 B．12 C．8 D．4

【答案】C

【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.

【详解】设的公比为q，则，

解得，所以，

故选：C．

5．记为等差数列的前项和.若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等差数列通项和求和公式可构造不等式组求得，由等差数列通项公式可求得结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

故选：D.

6．等差数列的前n项和为，若，则公差(    )

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．

【详解】由题可知．

故选：B．

7．已知等差数列的前n项和为．若，，则（    ）

A．35 B．42 C．24 D．63

【答案】C

【分析】根据等差数列的前n项和满足成等差数列求解即可.

【详解】因为等差数列的前n项和为，故成等差数列，即，解得.

故选：C

8．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，成等比数列

∴，

∴，

∴.

故选：A.

9．记等比数列{}的前n项和为.若，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据条件得到，，从而求出公比，利用求和公式求出答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以公比，

所以

故选：C

10．等差数列的前n项和为，，则（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项的性质和前项和公式求解.

【详解】因为，

又，

所以，

所以，

故选：B．

11．若数列{an}满足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（    ）

A．2×3n B． C．n3n D．

【答案】C

【分析】由递推关系求得，结合选项一一代入检验排除即可得结果．

【详解】由an＝3an﹣1+3n（n≥2），当时，

对于A，，故A错；

对于B，，，故B错；

对于C，，，

对于D，，故D错，

故选：C

12．已知数列的前n项和为，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先通过退位相减求出，再通过构造等比数列求出，进而得出答案.

【详解】当时，，，当时，，

，即，，

，是以为首项，以2为公比的等比数列.，

，.

故选：B.

二、填空题

13．等差数列的前n项和为，若，则______

【答案】

【解析】结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差，然后再由等差数列的通项公式，即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

所以.

故答案为：.

14．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则____________.

【答案】15．

【详解】由题意得

15．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为________

【答案】

【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，即可直接求解.

【详解】设等比数列的公比为，因为是方程的两个实数根，

所以＝＝2，，

所以，，则，所以．

故答案为：.

16．设是数列的前n项和，且，则的通项公式为________

【答案】

【分析】由与的关系求出通项公式即可.

【详解】当时，，则，∴，∴是公比为2的等比数列，

又，∴.

故答案为：

三、解答题

17．在等比数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，若，求.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）利用等比数列通项公式化简已知等式，可构造方程求得公比，由等比数列通项公式可得；

（2）分别在和的情况下，根据等比数列求和公式可构造方程求得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

由得：，即，解得：或，

或.

（2）当时，，解得：；

当时，，解得：；

综上所述：或.

18．在等差数列中，，，求的最小值．

【答案】

【分析】根据等差数列的基本量的运算，求得或，再根据二次函数的性质，或的正负，即可求得结果.

【详解】方法一：设等差数列的公差为．由，得，

解得，又解得．

所以，．

由二次函数的性质，知当时，有最小值．

方法二：设等差数列的公差为．由，得，

解得，又解得．所以，

故时，时．

所以当时，有最小值，．

19．在数列中，首项，且满足，其前n项和为.

(1)证明数列为等比数列；

(2)求数列的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？

【答案】(1)证明见解析；

(2)，n，，成等差数列.

【分析】（1）根据等比数列的定义，结合已知递推公式进行证明即可；

（2）结合（1）的结论，根据等比数列的通项公式、前n项和公式，利用等差数列的性质进行求解即可.

【详解】（1）∵，，

又，

∴是首项为，公比为2的等比数列；

（2）由（1）知，，∴，∴，

∴，∴.

即n，，成等差数列.

20．已知数列满足．

（1）证明是等差数列，并求的通项公式；

（2）求的前n项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解.

（2）由（1）得到 ，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）∵，

∴，

又∵，

∴数列是首项、公差均为1的等差数列；     

∴，    

（2）由（1）知，

所以，  

，   

两式相减得：     

，

∴

【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法

(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

21．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）

【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则

q3= = =8，∴q=2，

∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），

数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和为；

【解析】1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．

22．设数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

【答案】(1) ；(2).

【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.

（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.

【详解】（1）数列满足

时,

∴

∴

当时,,上式也成立

∴

（2）

∴数列的前n项和

【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.