初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第2课时当堂检测题

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核心回顾
微点拨
1．正方形的判定除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
2．矩形判定条件＋菱形判定条件＝正方形判定条件．
基础必会
1．下列命题中，正确的是(D)
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(D)
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是正方形
3．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．36 D．40
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线AC与BD的关系，下列说法正确的是(C)
A．AC，BD相等且互相平分
B．AC，BD垂直且互相平分
C．AC，BD相等且互相垂直
D．AC，BD垂直且平分对角
5．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是(B)
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确
D．甲、乙都正确
6．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为____；所作的第n个四边形的周长为__4()n__．
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，△BEA旋转后能与△DFA重合，若AE＝5 cm，则四边形AECF的面积为__25__cm2__．
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE.
(2)若DE＝ eq \f(1,2) BC，求证：四边形BECF是正方形．
【证明】(1)∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，
∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA).
(2)∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，
∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，
∴平行四边形BECF是菱形，
∵DE＝ eq \f(1,2) BC，DE＝DF＝ eq \f(1,2) EF，
∴EF＝BC，∴菱形BECF是正方形，即四边形BECF是正方形．
9．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC.CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线．
(1)求证：四边形AECF是矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解析:(1)∵CE，CF分别是△ABC的内、外角平分线，
∴∠ACE＋∠ACF＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
(2)当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
能力提升
1．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为(C)
A．3 B．2 C．4 D．8
2．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(B)
A.n B. n－1 C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(n－1) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(n)
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°.点E，F分别在边AB，AD上，CE与BF相交于点G，BE＝AF.线段BG的垂直平分线交BE于点H，且∠EHG＝54°.若∠EGH＝m°，则m＝__63__．
5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
解析:(1)∵AB⊥AC，DC⊥AC，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵∠B＝∠D，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴BE＝ eq \f(1,2) BC，DF＝ eq \f(1,2) AD，∴BE＝DF，
在△ABE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,∠B＝∠D，,BE＝DF，))
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，
理由：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴EC＝ eq \f(1,2) BC，AF＝ eq \f(1,2) AD，
∴EC＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AE＝ eq \f(1,2) BC＝EC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
6．如图，已知菱形ABCD，点E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AF，CF，得四边形AECF.
(1)求证：四边形AECF是正方形；
(2)若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
解析:(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE＋OB＝DF＋DO，∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，∴菱形AECF是正方形；
(2)∵BD＝4，BE＝3，∴FD＝3，∴EF＝10，∴AC＝10，∴菱形ABCD的面积＝
eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×10×4＝20.