上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题及答案

上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设，则__________.

2．已知，（为虚数单位），则__________.

3．方程的两个实数根为，若，则实数__________.

4．已知等差数列中，，则的值等于__________.

5．己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于__________.

6．若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________.

7．在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.

8．下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.

岁未成年人的身高的主要百分位数

数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）.

9．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.

10．长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.

11．设且满足，则__________.

12．已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.

二、单选题

13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

14．紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（    ）

A． B． C． D．

15．下列结论不正确的是（    ）

A．若事件与互斥，则

B．若事件与相互独立，则

C．如果分别是两个独立的随机变量，那么

D．若随机变量的方差，则

16．已知，，，，满足，，，有以下个结论：

①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；

②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.

下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立

B．结论①不成立、②成立

C．结论①成立、②不成立

D．结论①、②都不成立

三、解答题

17．已知为奇函数，其中.

(1)求函数的最小正周期和的表达式；

(2)若，求的值.

18．如图，在四面体中，已知.点是中点.

(1)求证：平面；

(2)已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.

19．某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：

请根据上表所给的信息进行估计.

(1)如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？

(2)如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于

20．已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标；

(3)设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.

21．已知函数,其中.

(1)求函数在点的切线方程;

(2)函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;

(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.

参考答案：

1．##

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，集合的元素是整数，所以.

故答案为：

2．

【分析】两个复数相等，则实部和虚部分别相等.

【详解】因为，又,

所以，即.

故答案为：.

3．

【分析】根据韦达定理求解即可.

【详解】，，.

，解得.

故答案为：

4．14

【分析】利用等差数列的通项公式求出，，便可求得.

【详解】解：由题意得：

等差数列，所以设等差数列的首项为： ，公差为：

又，

故答案为：

5．

【分析】利用双曲线的性质和之间的关系即可求得离心率.

【详解】由已知双曲线的渐近线方程为

所以，故

所以，故

所以离心率

故答案为：

6．1

【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.

【详解】根据基本不等式可得，所以与的算数平均数的最小值为1.

故答案为：1.

7．462

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果.

【详解】二项式的展开式的通项公式为，

所以当或时，其系数最大，

则最大系数为，

故答案为：462.

8．

【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可.

【详解】小明今年岁，从表中可以得出，岁男性身高的主要百分位数中，，，小明的身高为，介于和之间，说明至少有的男性同龄人身高低于小明，

∵小明所在城市男性同龄人约有万人，

∴小明的身高至少高于（万人）.

故答案为：.

9．

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．

【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，

这个点在同一个平面的有个，

故所求概率．

故答案为：．

10．2

【分析】根据，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.

【详解】设

又因为，所以

即化简得，

即关于的方程有解，

当时，不符合题意，

当时，所以，

当且仅当，即时取得等号，

所以侧棱的长的最小值为2，

故答案为:2.

11．

【分析】令，则，根据即可求解．

【详解】令，则

所以，整理得

解得，所以

故答案为：

12．200

【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.

【详解】由题意可知，设利润为，则，而，当时，，时，，即在单调递增，单调递减，所以时，利润最大.

故答案为：

13．D

【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.

B选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.

C选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.

D选项，由于，所以与的定义域、值域都为，对应关系也相同，

所以与是相同函数.

故选：D

14．B

【分析】根据圆台的体积公式计算即可．

【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，

则，，，

，

故选：B．

15．A

【分析】由已知，选项A，根据事件与互斥，可知；选项B，根据事件与相互独立，可知；选项C，根据分别是两个独立的随机变量，可得；选项D，由，可得，即可作出判断.

【详解】由已知，

选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误；

选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确；

选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确；

选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；

故选：A.

16．B

【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.

【详解】对于结论①，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；

对于结论②，

方法一：

∵

又∵

∴

化简得，

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

方法二：（特值法）

当时，，

∴，∴.

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

故选：B.

【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.

17．(1)，

(2)

【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期；

（2）根据，求出，与然后再求解.

【详解】（1）因为为奇函数，

所以，

化简得到求出

，所以

，最小正周期是；

（2）若

所以

18．(1)证明见解析

(2)作图见解析，

【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可；

（2）取的中点，由，得，得是二面角的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.

【详解】（1）是中点，

又是中点，

面

所以面

（2）由题知，，，

取的中点，连接，

,

根据三角形全等证明方法,可以证明,

,

所以是二面角的平面角，

利用勾股定理计算出,

由余弦定理得，解得，

所以，，

所以，

所以中，.

19．(1)

(2)到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于

【分析】(1) 从增加数看, 数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列. 求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式, 首项可以选2002年的增加数. 列出经过n年后的沙漠面积, 再根据已知列出不等式.

（2）设在2002年的基础上, 再经过n年, 该地区的沙漠面积将小于 , 列出不等式能求出结果.

【详解】（1）从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约，

假设表示年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约

，

到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成.

（2）以2003年年底为第一年，设年年底后这个地区的沙漠面积小于,

,

化简得,

所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于.

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、就是可得答案；

（2）设，利用点在椭圆上和可求出点坐标；

（3）求出直线、直线的方程可得点坐标及，利用得到，再由可得，即，利用的范围可得答案.

【详解】（1），所以椭圆标准方程为；

（2）设，，

得到，所以；

（3）因为点是椭圆上在第一象限内的点，所以，

直线的方程为，

直线的方程为，

所以，

，，

，

，

，

，则，

.

21．(1)

(2),不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点

(3)

【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;

(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;

(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.

【详解】（1）解:由题知,

,

所以在点的切线方程为,

即;

（2）设,定义域,

,

当时,恒成立,

所以在单调递增,

所以不存在极值点,

当时,令，

当时,，

当时,，

所以在单调递减,在单调递增,

所以函数存在一个极小值点,无极大值点,

综上:时,不存在极值点,

时,存在一个极小值点,无极大值点;

（3）由题知原不等式,

可化为,

当时,恒成立,

当时,

即,

由(2)知在有最小值,

所以,

,

,

,

,

即,

,,

综上: .

【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:

(1)若，恒成立，则只需;

(2) 若，恒成立，则只需;

(3) 若，恒成立，则只需;

(4) 若，恒成立，则只需;

(5) 若，恒成立，则只需;

(6) 若，恒成立，则只需;

(7) 若，恒成立，则只需;

(8) 若，恒成立，则只需.