北师大版数学九上 第四章 图形的相似（含答案） 试卷
展开特殊的平行四边形 测试题
（时间： 90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题1分，共12分）
1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
2.如图，为估算某河的宽度，在河对岸岸边选定一个目标点，在近岸取点B,C,D，使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于（ ）
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
第2题图 第3题图
3.如图，在△ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（ ）
A. B. C. D.
4.若，且，则的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
5.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③其中正确的有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.如图，//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（ ）
A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对
7.已知△如图所示，则下列4个三角形中，与△相似的是（ ）
8.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于（ ）
A.5∶8 B.3∶8
C.3∶5 D.2∶5
9.如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）
A． B． C. D.
10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，
则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及，那么的值（ ）
A.只有1个
B.可以有2个
C.可以有3个
D.有无数个
12.如图，是△的边上任一点，已知∠∠.若△的面积为，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题2分，共12分）
13.已知，且，则_______.
14.如图，为估计池塘两岸边A,B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M，N，测的MN=32 m，则A，B两点间的距离是___________m.
15.如图，在△中，∥，，则______．
16.如图，在△ABC中，DE∥BC, ,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为 .
17.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框在地面上的影长，窗户下沿到地面的距离 ，，那么窗户的高为________.
18.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的平分线上时，DE的长为 .
三、解答题（共76分）
19.（8分）已知线段成比例（），且a=6 cm， ，，求线段的长度.
20.（8分）如图，梯形中，∥，点在上，
连结并延长与的延长线交于点．
（1）求证：△∽△；
（2）当点是的中点时，过点作∥交于点，若，求 的长．
21.（8分）试判断如图所示的两个矩形是否相似.
22.（8分）已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．
求证：（1）△∽△；（2）
23．（12分）如图，在正方形中，分别是边上的点， 连结并延长交的延长线于点
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
24.（8分）已知：如图所示的一张矩形纸片，
将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交
边于点，交边于点，分别连结和．
（１）求证：四边形是菱形. h
（２）若AE=10，△的面积为24，求△的周长.
（３）在线段上是否存在一点，使得？
若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
25.（12分）如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋至位置，连接.
（1）求证：；（2）若，求证：四边形为正方形.
第25题图
26.(14分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.
第26题图
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
参考答案
1.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项中的两个图形都为相似图形，D项中的两个图形一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.
2.B 解析：∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ AB∥CD,∴ ∠A=∠D.又∠AEB=∠DEC，
∴ △BAE∽△CDE,∴ =.
∵ BE20 m，EC10 m，CD20 m，∴ =,∴ AB=40 m.
3.B 解析：∵ 在△ABC中，点M,N分别是边AB,AC的中点，∴ MN∥BC，MN=BC,
∴ △AMN∽△ABC, ∴ ==,∴ =.
4.D 解析：设，则所以15x-14x+8x=3,即x=,所以.
5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确.
6.C 解析：△∽△∽△∽△.
7.C 解析：由对照四个选项知，C项中的三角形与△相似.
8. A 解析：本题考查了相似三角形的判定和性质.∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B.
又∵ ∠A=∠A,∴ △ADE∽△ABC,∴ =.∵ =,∴ =,即=,∴ =.
设AE=3,则AC=8,∴ CE=AC-AE=5.∵ EF∥AB,∴ △CEF∽△CAB,
∴ .
9.D 解析：A项的点在第一象限；B项的点在第二象限；C项的点在第三象限；D项的点在第四象限.笑脸在第四象限，所以选D.
10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B正确.
11.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的三角形的两直角边长为3,4时，的值为5；当一个直角三角形的一直角边长为6，斜边长为8，另一直角边长为，且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时，的值为.故的值可以为5或.（其他情况均不成立）
12.C 解析：因为
所以
所以即
所以所以.
13.4 解析：因为，
所以设，
所以所以
14.64 解析：根据三角形中位线定理，得AB=2MN=2×32=64（m）.
15.9 解析：在△中，因为∥，所以∠∠∠ ∠，
所以△∽△，所以，所以，所以
16.18 解析：∵ DE∥BC,∴ △ABC∽△ADE，∴∵ △ADE的面积为8，∴解得=18.
17. 解析：∵ ∥，∴ △∽△，∴ ，即.又 ，，，∴
18.或 解析：如图，过点作直线于点M，交CD于点N，连接
∵平分∴
∴
∴
在中，设，则.
∵ ，在中，，
∴ ，
即，解得
∵
∴
∵
∴ ∴
∴ .
∵ ∴ ，
故当时，；当时，
19.分析:列比例式时，单位一定要统一，做题时要看仔细.
解：∵ 6 cm， ，，
∴ 即，解得.
20.（1）证明：∵ 在梯形中，∥，∴
∴ △∽△．
（2）解： 由（1）知，△∽△，又是的中点，∴
∴ △≌△ ∴
又∵ ∥∥，∴ ∥，得．
∴ BG=2EF-AB=2×4-6=2(cm)，∴ ．
21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都是直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.
解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.
从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，
于是两个矩形的长之比为=,宽之比为,
符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.
22.证明：（1）∵，∴ ∠．
∵∥，∴ ，．
∴ ．
又∵ ，∴ △∽△．
（2）由△∽△，得，∴ ．
由△∽△，得．
又∵∠∠，∴ △∽△．∴ ． ∴ ．
∴ ．
23.（1）证明：在正方形中，，.
∵ ∴ ，
∴ ，∴.
（2）解：∵ ∴ .
∵ △ABE∽△DEF，∴ ，
∴ ，∴ .
由∥，得，∴ △∽△，
∴，∴.
24.（１）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AC.
∵ ∥∴ ∠∠，∠＝∠ ∴ △≌△
∴ .又∥∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵，∴ 四边形AFCE是菱形.
（2）解：∵ 四边形AFCE是菱形，∴.
设，则a2+b2=100.∵ △ABF的面积为24，∴ ab=48，
∴，∴ a+b=14或a+b=-14(不合题意，舍去).
∴ △的周长为.
（３）解：存在，过点作的垂线，交于点，点就是符合条件的点.
证明如下：
∵ ∠∠90°，∠∠
∴ △∽△，∴ ，∴ .
∵ 四边形是菱形，∴ w
∴ ∴
25.证明：（1）∵ ，∴ .
在与中，
∵ ，
∴ ，∴ .
又，∴ ，
∴ ，∴ .
（2）∵ ，∴ .
又，∴ ，∴ .
又，∴ 四边形是矩形.
又，∴ 四边形是正方形.
26.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵ ∠ABD=∠CBE=90°，
∴ △BAD∽△BCE.∴ ，
∴ .∴ BD=13.6.
∴ 河宽BD是13.6米.
