【期末·典型题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第1章 勾股定理（典型题专练）

第1章 勾股定理典型题专练

一、单选题

1．（2019·湖北八年级期中）如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,此时AO=2.4m,若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B外移了（      ）（参考数据取1.4,取1.7,取1.8）

A．0.8m B．1.5m C．0.9m D．0.4m

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．

【详解】解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，
∴OB= = =1m；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.6m，OC=2.4-0.5=1.9m，
∴OD= = =≈1.8m，
∴BD=OD-OB=1.8-1=0.8（m）．
故选A．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

2．（2019·全国八年级课时练习）如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（   ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【分析】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；
接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.

【详解】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴BC2 +AB2= AC2，
∴△ABC是直角三角形.故选B.

【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.

3．（2021·山西石楼中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）

A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2

【答案】C

【分析】根据P点坐标求出OP的长，再根据AO=PO即可求解.

【详解】解：由勾股定理得，OP＝，

由题意得，OA＝OP＝，

则点A的横坐标为﹣，

故选C．

【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质与运用.

4．（2019·深圳市光明区高级中学）如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC=2，下面四个结论：①BF=；②∠CBF=45°；③△BEC的面积=△FBC的面积；④△ECD的面积为，其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据旋转的性质得到△BCF为等腰直角三角形，故可判断①②，根据三角形的面积公式即可判断③，根据直线DF垂直平分AB可得EH是△ABC的中位线，各科求出EH的长，再根据三角形的面积公式求出△ECD的面积即可判断④.

【详解】∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，

∴CB=FC，∠BCF=90°，∴△BCF为等腰直角三角形，故∠CBF=45°，②正确；

∵BC=2，∴FC=2，∴BF==，①正确；

过点E作EH⊥BD，

∵△BEC和△FBC的底都为BC，高分别为EH和FC，且EH≠FC，

∴△BEC的面积≠△FBC的面积，③错误；

∵直线DF垂直平分AB，

∴AF=BF=，∴CD=AC=2+

∵直线DF垂直平分AB，

则E为AB中点，又AC⊥BC，EH⊥BC，∴EH是△ABC的中位线，

∴EH=AC=1+，

△ECD的面积为×CD×EH=，故④正确，

故选C.

【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知全等三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形中位线的判定与性质.

5．（2021·湖北咸宁·八年级期末）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．

【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=

=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm．
所以h的取值范围是11≤h≤12．

故选C

【点睛】考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键.

6．（2021·江苏八年级专题练习）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（    ）．

A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5

【答案】A

【分析】设，利用勾股定理用x表示出和的长，进而求出x的值，即可求出的长度．

【详解】解：设，依题意，得，，．

在中，根据勾股定理得

，

在中，根据勾股定理

，

，

解得，

，

答：梯子的长为．

故选．

【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为梯子长等量关系是解题的关键．

7．（2020·福州市第十中学）我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为9，小正方形面积为5，则每个直角三角形中勾和股的差值为（    ）

A．4 B．1 C．2 D．以上都不对

【答案】D

【分析】设勾为x，股为y，根据面积求出xy=2，根据勾股定理求出x2+y2=5，根据完全平方公式求出x-y即可．

【详解】设勾为，股为，

大正方形面积为9，小正方形面积为5，

，

，

，

，

，

故选．

【点睛】本题考查了勾股定理和完全平方公式，能根据已知和勾股定理得出算式xy=2和x2+y2=5是解此题的关键．

8．（2021·渝中·重庆巴蜀中学八年级月考）满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．

【详解】A. ,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；

B. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；

C.∠A：∠B：∠C=3：4：5，

设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x，

则3x+4x+5x=180°，

解得，x=15°，

则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，

△ABC不是直角三角形；故C选项错误，符合题意；

D. ∠A-∠B=∠C，则∠A=∠B+∠C，

∠A=90°，

△ABC是直角三角形，故D正确，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

9．（2020·鸡西实验中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（     ）  

A．10 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．

【详解】∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

 ∴BC==10，

 根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，

 ∴A′C=10-6=4．

设CD=x，则A′D=8-x，

 根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，

 解得x=5，

 故CD=5．

 故答案为：B．

【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．

10．（2020·江苏八年级期中）下列各组线段中，能作为直角三角形三边的是（    ）

A．3，4，6 B．5，12，15 C．9，12，16 D．6，8，10

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断即可求得．

【详解】A： ，不符合题意；

B： ，不符合题意；

C： ，不符合题意；

D： ，符合题意；

故选D

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题关键．

11．（2020·安徽合肥市五十中学新校八年级月考）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（　　）

A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）2014

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=()n−3”，依此规律即可得出结论．

【详解】解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，

∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，

∴S2+S2=S1．

观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，

∴Sn=()n−3．

当n=2016时，S2016=()2016−3=()2013．

故选：C．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=()n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．

12．（2021·湖南永州市·八年级期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ）

A．47 B．62 C．79 D．98

【答案】C

【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.

【详解】解：由题可得：……

当

故选C

【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.

13．（2020·河北八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（    ）

A．3 B． C． D．9

【答案】C

【分析】做点F做交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性质可得BE=DE=9-AE，在中应用勾股定理求得AE和BE，同理在中应用勾股定理求得BF，在中应用勾股定理即可求得EF．

【详解】过点F做交AD于点H．

∵四边形是四边形沿EF折叠所得，

∴ED=BE，CF=，

∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE

∴BE=9-AE

∵，AB=3，BE=9-AE

∴

∴AE=4

∴DE=5

∴

∴，,

∴

∴BF=5，EH=1

∵，HF=3，EH=1

∴

故选：C．

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

二、填空题

14．（2019·浙江八年级期末）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，已知正方形ABDE和正方形ACMN的面积分别是21和8，那么正方形BCFG的面积为_____．

【答案】13

【分析】由Rt△ABC得，AB2＝AC2﹣BC2，而正方形ABDE的面积＝AB2，正方形ACMN的面积＝AC2，正方形BCFG的面积＝BC2，代入即可求解．

【详解】正方形ABDE的面积＝AB2＝21，正方形ACMN的面积＝AC2＝8，正方形BCFG的面积＝BC2，

∵△ABC是直角三角形，

∴AB2＝AC2﹣BC2，

∴正方形BCFG的面积＝21﹣8＝13．

故答案为：13．

【点睛】本题考查了欧几里得法证明勾股定理，勾股定理是中考的必考考点，而勾股定理得证明是本节中较难的知识点，明确Rt△ABC的边长的平方分别为三个正方形的面积是本题的关键．

15．（2021·安徽八年级期中）如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为___________m．

【答案】3+3

【分析】由题意得，地毯的总长度为,根据含30°直角三角形的性质求出的长，再根据勾股定理可求出的长，进而求得地毯的长度．

【详解】解：如图，由题意得，地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，

即地毯的总长度为，

在中

∴（m）

∴（m）．

故答案为：．

【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角的直角边的和．

16．（2021·广西八年级期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则的长是___________．

【答案】7.5

【分析】设，求出的长度，根据勾股定理列出方程，解方程，即可得出答案．

【详解】设，则，

又

在中，

得：

解得：

故答案为:7.5．

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理的公式是解决本题的关键．

17．（2021·全国八年级）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=8，DE=5，则折痕AE的长为________．

【答案】

【分析】由折叠性质得出FE=DE=5，AF=AD，根据勾股定理求得CF=4，设AD=BC=AF=x，BF=x-4，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解得x=AD=10，在Rt△ADE中再次应用勾股定理可得出答案．

【详解】∵四边形ABCD是长方形，

∴∠C=90°，AB=CD，AD=BC，

由折叠的性质可得：EF=DE=5，AD=AF，

∴CE=CD-DE=3，

在Rt△CEF中，CF=．

∴设AD=BC=AF=x，则BF=x-4，

∴在Rt△ABF中， ，

解得：x=10，

∴在Rt△ADE中，AE=．

故答案为5．

【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系，逐步分析，注意数形结合思想的应用．

18．（2020·南靖县城关中学八年级月考）若一个直角三角形两边长为12和5，第三边长为______．

【答案】13或

【分析】根据勾股定理和分类讨论即可求得．

【详解】∵直角三角形中斜边长最长

∴当12为斜边时，第三边长为

当5和12为直角边时，第三边长为13

故答案为：13或．

【点睛】本题考查勾股定理，掌握分类讨论是解题的关键．

19．（2020·江苏八年级期中）等腰三角形腰长为10cm，底边上的高为8cm，则等腰三角形的面积是________．

【答案】48

【分析】根据等腰三角形三线合一金额勾股定理即可求得底边的高，从而求得三角形面积．

【详解】如图所示：

作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°

∵AB=AC，BD=CD

∴BD=（cm）

∴BC=2BD=12cm，

∴△ABC的面积=

故答案为：48．

【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题关键．

20．（2020·山东八年级期中）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到＇处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．

【答案】

【分析】连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．

【详解】解：如图

展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：

如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，

∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇==5（cm），

如图2，AC=4+2=6，CC＇=1

∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm），

如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，

∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇==（cm）

∵5<<，

∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，

故答案为：5cm．

【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．

21．（2020·江苏八年级期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是________．

【答案】13

【分析】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时，最小，即可求得．

【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1

当A、O、B1共线时，最小

C B1=9+9－6=12

根据勾股定理得

A B1==13

∴的最小值是13

故答案为：13

【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．

三、解答题

22．（2021·河南八年级期末）一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行170km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行210km到达C岛，已知A港到航线BM的最短距离是80km，若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

【答案】轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为4h

【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度．

【详解】解：由题意，得：AD＝80km，

Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得802+BD2＝1702．

∴BD＝150．

∴CD＝BC﹣BD＝210﹣150＝60（km）．

∴AC＝＝＝100（km）．

100÷25＝4（h）．

答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为4h．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，解题的关键是利用勾股定理求得AC线段的长度，比较简单．

23．（2021·河南八年级期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．

（1）判断△BDC的形状，并说明理由；

（2）求△ABC的周长．

【答案】（1）直角三角形，理由见解析；（2）

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；

（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可．

【详解】解：（1）△BDC是直角三角形，

理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，

∴BD2+CD2＝BC2，

∴∠D＝90°，

即△BDC是直角三角形；

（2）设AB＝AC＝xcm，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，

即（15﹣x）2+82＝x2，

解得：x＝，

∴AB＝AC＝（cm），

∵BC＝17cm，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．

24．（2019·全国八年级单元测试）勾股定理神秘而美妙，探索方法多样、巧妙，各有不同，其中的面积法给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或如图2摆放时，都可以用面积法来说明.下面是小聪利用图1说明勾股定理的过程：

如图1，其中，试说明.

解：连接，，过点作边上的高，则.

因为，

又因为，

所以.

所以.

请参照上述方法，利用图2说明勾股定理.

【分析】首先连结BD，BE,过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．

【详解】证明：连结BD，BE,过点B作DE边上的高BF，可得BF=b−a，

∵S=S+S+S =，

又∵S=S+S +S =ab+c+a(b−a)，

∴ab+b+ab=ab+c+a(b−a)，

∴a+b=c

【点睛】此题考查勾股定理的证明，解题关键在于作辅助线.

25．（2021·湖北鄂州·）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

【答案】最短路程是150cm．

【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．

【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，

由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，

答：最短路程是150cm．

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．

26．（2021·全国八年级专题练习）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．

【答案】5cm

【分析】先根据折叠求出AF＝10，进而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定理即可得出结论．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，

由折叠可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，

∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，

设EF＝xcm，则DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，

即82+BF2＝102，

∴BF＝6cm，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），

在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，

即x2＝（8﹣x）2+42，

∴x＝5

即：EF的长为5cm．

【点睛】本题考查勾股定理、图形的翻折变换、全等三角形，方程思想等知识点，关键是熟练掌握勾股定理，运用方程求解．

27．（2020·宁波市海曙区储能学校）如图，已知等边的边长为8，点是边上的一个动点（与点、不重合）.直线是经过点的一条直线，把沿直线折叠，点的对应点是点.

（1）如图1，当时，若点恰好在边上，则的长度为_________.

（2）如图2，当时，若直线，则的长度为______.

（3）如图3，点在边上运动过程中，若直线始终垂直于，的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积.

【答案】（1）4或0；（2）；（3）不变；；

【分析】（1）分类讨论，直线经过或不经过C，证明△APB′是等边三角形即可解决问题；

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；

（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．

【详解】解：（1）如图中，

∵是等边三角形，∴，

∵，∴

∵，∴是等边三角形，∴

当直线经过时，点与重合，此时

故答案为：4或0

（2）如图中，设直线交于点.连接交于

∵，∴，

∴是等边三角形

∵，∴，关于对称

∴，，

∴根据勾股定理，

∴

故答案为：

（3）如图中，

结论：面积不变

∵，关于直线对称，∴直线，

∵直线，∴，

∴.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

28．（2020·江苏八年级期中）如图，已知和中，，，，点C在线段BE上，连接DC交AE于点O．

（1）DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论；

（2）若，，求DE的长．

【答案】（1），见解析；（2）

【分析】（1）易证，再根据全等性质即可求得；

（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根据勾股定理即可求得；

【详解】（1）．

证明：

．

在和中，

．

（2）

，

．

．

【点睛】本题考查三角形全等和勾股定理，掌握三角形全等条件是解题的关键．