还剩23页未读，
继续阅读
2022-2023学年七年级数学上册第5章 走进图形世界（综合能力拔高卷）
展开
这是一份2022-2023学年七年级数学上册第5章 走进图形世界（综合能力拔高卷），共26页。
【单元测试】第5章 走进图形世界
（综合能力拔高卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，棱柱有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．用如图所示的平面去截圆柱体，得到的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
5．汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
6．如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变 B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变 D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
7．如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
8．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 __（请填入正确答案的序号）．
①点动成线；②线动成面；③面动成体．
10．用平面去截一个长方体,在下面4个图形中,可能得到的图形是__________；去截一个圆锥,可能得到的图形是__________(填序号).
11．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是 _____．
12．如图所示的是一组大家熟悉的骰子图案，每个骰子相对两面的点数之和均为7．若其中一个骰子的展开图如图所示，则其中一面上代表的点数是6的是______（填“A”、“B”或“C”）．
13．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是______立方分米（结果保留）．
14．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则____________．
15．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是________．
16．如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若平方米硬纸板价格为元，则制作个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边，．
将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______ 种大小不同的几何体？
分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？圆锥的体积，其中取
19．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图形
①
②
③
④
顶点数(V)
边数(E)
区域数(F)
(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．
20．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
21．将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是_______（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
22．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为的小立方块堆成一个几何体，如图所示．
(1)这个几何体由多少个小立方块组成？请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不包括底面）喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有多少个只有一个面是黄色？有多少个只有两个面是黄色？有多少个只有三个面是黄色？
(3)假设现在你手里还有一些相同的小立方块，保持从左面、上面看到的形状图不变，最多可以再添加几个小立方块？这时如果要重新给这个几何体表面（不包括底面）喷上红色的漆，需要喷漆的面积比原几何体增加了还是减少了？增加或减少的面积是多少？
23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
24．如图是某涌泉蜜桔长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．
（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是 与 ， 与 ， 与 ；
（2）若设长方体的宽为xcm，则长方体的长为 cm，高为 cm；(用含x的式子表示)
（3）求这种长方体包装盒的体积．
25．如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：
（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
26．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
⑴填空：
①正四面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
②正六面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
③正八面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
⑵若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：
⑶如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？
答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的特征进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项B中的几何体符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案．
【详解】三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项A与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．
故选B．
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，可以动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
3．下列几何体中，棱柱有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．
【详解】解：第一个图是四棱柱，第二个图是圆柱，第三个图是圆锥，第四个图是四棱柱，第五个图是球，第六个图是三棱柱，其中棱柱有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的概念．
4．用如图所示的平面去截圆柱体，得到的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用平面取截一个圆柱体，横着截时截面是圆（截面与上下底平行）．
【详解】解：由图可知：截面与上下底平行，
∴截面是圆，
故选B．
【点睛】此题考查用平面截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
5．汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
【答案】B
【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【详解】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
故选：B．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
6．如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变 B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变 D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
【答案】C
【分析】分别得到将正方体①移动前后的三视图，依此即可作出判断．
【详解】解：将小正方体①移到②的上方前的主视图正方形的个数为3，1，1；小正方体①移到②的上方后的主视图正方形的个数为2，1，2；发生改变．
将小正方体①移到②的上方前的左视图正方形的个数为1，3，1；小正方体①移到②的上方后的左视图正方形的个数为1，2，2；发生改变．
将小正方体①移到②的上方前的俯视图正方形的个数为3，1，2；小正方体①移到②的上方后的俯视图正方形的个数为3，1，2；没有发生改变．
故选：C．
【点睛】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
7．如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，再由翻转即可得出结果．
【详解】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，
翻转第①格时，“二”在下，
翻转第②格时，“六”在下，
翻转第③格时，“一”在下，
翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，
故选：D．
【点睛】题目主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题关键．
8．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点A．
故选C．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 __（请填入正确答案的序号）．
①点动成线；②线动成面；③面动成体．
【答案】②
【分析】根据“线动成面”的意义得出答案．
【详解】解：孙悟空的“金箍棒”可以看作是“线”，飞速旋转，形成一个圆面，这说明线动成面．
故答案为：②
【点睛】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解 “点动成线、线动成面，面动成体”是解决问题的关键．
10．用平面去截一个长方体,在下面4个图形中,可能得到的图形是__________；去截一个圆锥,可能得到的图形是__________(填序号).
【答案】 ②③④ ①④##④①
【分析】根据长方体和圆锥的特点，利用平面从不同的角度截图可得答案．
【详解】解：图形 ②③④可以用平面截长方体得到；图形①④可以用平面截圆锥得到．
故答案为：②③④；①④．
【点睛】本题主要考查了截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
11．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是 _____．
【答案】黄
【分析】根据正方体表面中“对面”“邻面”的关系进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，
“白”的邻面有“黑、绿、红、黄”，因此“白”的对面是“蓝”，
“绿”的邻面有“黑、白、红、蓝”，因此“绿”的对面是“黄”，
于是“红”的对面是“黑”，
故答案为：黄．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面中“对面”“邻面”的关系是正确判断的前提．
12．如图所示的是一组大家熟悉的骰子图案，每个骰子相对两面的点数之和均为7．若其中一个骰子的展开图如图所示，则其中一面上代表的点数是6的是______（填“A”、“B”或“C”）．
【答案】A
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可作答．
【详解】∵相对两个面的点数之和为7，
∴点数6所对的面是1点，
∴根据展开图可知，与1点相对的面是A面，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是______立方分米（结果保留）．
【答案】54π
【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果．
【详解】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，
∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），
∴圆柱的体积为：（立方分米），
故答案为：54π．
【点睛】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键．
14．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则____________．
【答案】21
【分析】根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
，，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了正方体的截面，熟练掌握正方体的面数和棱数是解题的关键．
15．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是________．
【答案】
【分析】根据三视图得出小正方体摆放的方式，进而计算表面积即可．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体每个位置的小正方体个数如图所示：
因为小正方体每个面的面积是1cm2，
所以这个几何体的表面积是：4+4+3+3+5+5＝24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了三视图，根据三视图还原出该几何体是解题的关键．
16．如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
【答案】或．
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【详解】若以为轴，旋转一周，
则为半径，
所以，
若以为轴，旋转一周，
则为半径，
所以，
故答案为或
【点睛】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若平方米硬纸板价格为元，则制作个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
【答案】（1）平方厘米；（2）花费元钱．
【分析】（1）根据长方体表面积公式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意得，
；
答：制作这样的包装盒需要平方厘米的硬纸板；
（2）平方米平方厘米，
（元），
答：制作个这的包装盒需花费元钱．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，正确的计算长方体的表面积是解题的关键．
18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边，．
将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______ 种大小不同的几何体？
分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？圆锥的体积，其中取
【答案】（1）3；（2）以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
【分析】将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线分别旋转一周即可．
如果以AB所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；如果以BC所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是4厘米，高是8厘米，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答．
【详解】（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体，
故答案为：3
以AB为轴：
立方厘米；
以BC为轴：
立方厘米．
答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
【点睛】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用．
19．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图形
①
②
③
④
顶点数(V)
边数(E)
区域数(F)
(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．
【答案】（1）见表格解析；（2）V＋F＝E＋1；（3）30.
【分析】（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果；
（2）根据表（1）数据总结出归律；
（3）根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数．
【详解】（1）结和图形我们可以得出：
图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域；
图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域；
图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域；
图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域．
（2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：V+F=E+1；
（3）把V=20，F=11代入上式得：E=V+F﹣1=20+11﹣1=30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
20．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
【答案】(1)8
(2)补全图形见解析
(3)长方体纸盒的体积是
【分析】(1)根据平面图形得出剪开棱的条数即可；
(2)根据长方体的展开图的情况可知有四种情况；
(3)根据长方体纸盒的体积=长×高×宽即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：小明共剪了8条棱，
故答案为：8；
（2）解：如图，四种情况.
（3）解：，
故这个长方体纸盒的体积是．
【点睛】本题主要考查了几何体展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
21．将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是_______（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【答案】（1）A；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）有“田”字格的展开图不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；
（2）作图方法很多，只要正确即可；
（3）根据裁剪线裁剪，再展开．
【详解】（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A
故答案为：A
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的11种展开图形式是解题的关键．
22．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为的小立方块堆成一个几何体，如图所示．
(1)这个几何体由多少个小立方块组成？请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不包括底面）喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有多少个只有一个面是黄色？有多少个只有两个面是黄色？有多少个只有三个面是黄色？
(3)假设现在你手里还有一些相同的小立方块，保持从左面、上面看到的形状图不变，最多可以再添加几个小立方块？这时如果要重新给这个几何体表面（不包括底面）喷上红色的漆，需要喷漆的面积比原几何体增加了还是减少了？增加或减少的面积是多少？
【答案】(1)10个，见解析
(2)1，2，3
(3)4个；增加，增加
【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；
（3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体，第3列后面的几何体上放1个小正方体，算出原来需喷漆的面积和现在需喷漆的面积，进行比较．
【详解】（1）这个几何体由 10个小正方体组成，如图所示：
（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共1个；
有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；
只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个；
（3）在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示：
其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，
因此最多可添加4块，
增加的面：（9+9+6+6+6）-（6+6+6+6+6+2）=36-32=4，
增加的面积：4×100=400（cm2）．
【点睛】考查了从不同方向看正方体；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意喷漆面积指组成几何体的外表面积．
23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；；
(2)12；
(3)14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-楼数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值．
【详解】（1）解：完成表格，如下：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得；
故答案为：12
（3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，解得，
．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
24．如图是某涌泉蜜桔长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．
（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是 与 ， 与 ， 与 ；
（2）若设长方体的宽为xcm，则长方体的长为 cm，高为 cm；(用含x的式子表示)
（3）求这种长方体包装盒的体积．
【答案】（1）①，⑤，②，④，③，⑥；（2）2x，；（3）这种长方体包装盒的体积是9
50cm3．
【分析】（1）根据长方体的展开图判断其相对面即可．
（2）根据长、宽、高的关系，用含x的式子表示长和高即可．
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是①与⑤，②与④，③与⑥．
故答案为：①，⑤，②，④，③，⑥；
（2）设长方体的宽为xcm，则长方体的长为2xcm，高为 cm．
故答案为：2x，；
（3）∵长是宽的2倍，
∴(96﹣x)2x，
解得：x=15，
∴这种长方体包装盒的体积=15×30×21=9450cm3，
答：这种长方体包装盒的体积是9450cm3．
【点睛】本题考查了长方体的展开图问题，掌握长方体的展开图、长方体的体积公式、解一元一次方程的方法是解题的关键．
25．如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：
（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
【答案】（1）2.5；（2）圆柱的体积是cm3
【分析】（1）利用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可；
（2）正方形的边长是圆柱的底面圆周长，代入圆柱的体积公式即可．
【详解】解：（1）设粗黑实线剪下4个边长为xcm的小正方形，
根据题意列方程2x＝10÷2
解得x＝2.5，
故答案为：2.5；
（2）∵正方形边长为10cm，
∴圆柱的底面半径是（cm），
∴圆柱的体积是（cm3）．
答：圆柱的体积是cm3．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．
26．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
⑴填空：
①正四面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
②正六面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
③正八面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
⑵若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：
⑶如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？
【答案】⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；⑵V+F-E=2;⑶它有12个面.
【详解】试题分析:(1)观察图形,结合多面体的顶点,面,棱的定义进行填空即可,(2)根据(1)中,多面体的顶点数,面数,棱数,总结规律可得V,F,E之间的数量关系,(3)根据(2)中,顶点数,面数,和棱数之间的关系式代入求解即可.
解：⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；
⑵V+F-E=2
⑶解：设面数为F，则20+F-30=2 解得F=12
答：它有12个面.
【单元测试】第5章 走进图形世界
（综合能力拔高卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，棱柱有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．用如图所示的平面去截圆柱体，得到的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
5．汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
6．如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变 B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变 D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
7．如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
8．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 __（请填入正确答案的序号）．
①点动成线；②线动成面；③面动成体．
10．用平面去截一个长方体,在下面4个图形中,可能得到的图形是__________；去截一个圆锥,可能得到的图形是__________(填序号).
11．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是 _____．
12．如图所示的是一组大家熟悉的骰子图案，每个骰子相对两面的点数之和均为7．若其中一个骰子的展开图如图所示，则其中一面上代表的点数是6的是______（填“A”、“B”或“C”）．
13．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是______立方分米（结果保留）．
14．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则____________．
15．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是________．
16．如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若平方米硬纸板价格为元，则制作个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边，．
将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______ 种大小不同的几何体？
分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？圆锥的体积，其中取
19．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图形
①
②
③
④
顶点数(V)
边数(E)
区域数(F)
(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．
20．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
21．将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是_______（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
22．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为的小立方块堆成一个几何体，如图所示．
(1)这个几何体由多少个小立方块组成？请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不包括底面）喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有多少个只有一个面是黄色？有多少个只有两个面是黄色？有多少个只有三个面是黄色？
(3)假设现在你手里还有一些相同的小立方块，保持从左面、上面看到的形状图不变，最多可以再添加几个小立方块？这时如果要重新给这个几何体表面（不包括底面）喷上红色的漆，需要喷漆的面积比原几何体增加了还是减少了？增加或减少的面积是多少？
23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
24．如图是某涌泉蜜桔长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．
（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是 与 ， 与 ， 与 ；
（2）若设长方体的宽为xcm，则长方体的长为 cm，高为 cm；(用含x的式子表示)
（3）求这种长方体包装盒的体积．
25．如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：
（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
26．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
⑴填空：
①正四面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
②正六面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
③正八面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
⑵若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：
⑶如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？
答案与解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的特征进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项B中的几何体符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案．
【详解】三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项A与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．
故选B．
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，可以动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
3．下列几何体中，棱柱有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．
【详解】解：第一个图是四棱柱，第二个图是圆柱，第三个图是圆锥，第四个图是四棱柱，第五个图是球，第六个图是三棱柱，其中棱柱有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的概念．
4．用如图所示的平面去截圆柱体，得到的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用平面取截一个圆柱体，横着截时截面是圆（截面与上下底平行）．
【详解】解：由图可知：截面与上下底平行，
∴截面是圆，
故选B．
【点睛】此题考查用平面截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
5．汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都正确
【答案】B
【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【详解】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
故选：B．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
6．如图是由几个同样大小的小正方体组成的几何体，若将小正方体①移到②的上方，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图都不变 B．主视图改变，左视图不变
C．左视图改变，俯视图不变 D．主视图、左视图、俯视图都发生改变
【答案】C
【分析】分别得到将正方体①移动前后的三视图，依此即可作出判断．
【详解】解：将小正方体①移到②的上方前的主视图正方形的个数为3，1，1；小正方体①移到②的上方后的主视图正方形的个数为2，1，2；发生改变．
将小正方体①移到②的上方前的左视图正方形的个数为1，3，1；小正方体①移到②的上方后的左视图正方形的个数为1，2，2；发生改变．
将小正方体①移到②的上方前的俯视图正方形的个数为3，1，2；小正方体①移到②的上方后的俯视图正方形的个数为3，1，2；没有发生改变．
故选：C．
【点睛】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
7．如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六 B．中 C．学 D．强
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，再由翻转即可得出结果．
【详解】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，
翻转第①格时，“二”在下，
翻转第②格时，“六”在下，
翻转第③格时，“一”在下，
翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，
故选：D．
【点睛】题目主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题关键．
8．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点A．
故选C．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）
9．电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 __（请填入正确答案的序号）．
①点动成线；②线动成面；③面动成体．
【答案】②
【分析】根据“线动成面”的意义得出答案．
【详解】解：孙悟空的“金箍棒”可以看作是“线”，飞速旋转，形成一个圆面，这说明线动成面．
故答案为：②
【点睛】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解 “点动成线、线动成面，面动成体”是解决问题的关键．
10．用平面去截一个长方体,在下面4个图形中,可能得到的图形是__________；去截一个圆锥,可能得到的图形是__________(填序号).
【答案】 ②③④ ①④##④①
【分析】根据长方体和圆锥的特点，利用平面从不同的角度截图可得答案．
【详解】解：图形 ②③④可以用平面截长方体得到；图形①④可以用平面截圆锥得到．
故答案为：②③④；①④．
【点睛】本题主要考查了截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
11．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是 _____．
【答案】黄
【分析】根据正方体表面中“对面”“邻面”的关系进行判断即可．
【详解】解：由题意可知，
“白”的邻面有“黑、绿、红、黄”，因此“白”的对面是“蓝”，
“绿”的邻面有“黑、白、红、蓝”，因此“绿”的对面是“黄”，
于是“红”的对面是“黑”，
故答案为：黄．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面中“对面”“邻面”的关系是正确判断的前提．
12．如图所示的是一组大家熟悉的骰子图案，每个骰子相对两面的点数之和均为7．若其中一个骰子的展开图如图所示，则其中一面上代表的点数是6的是______（填“A”、“B”或“C”）．
【答案】A
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可作答．
【详解】∵相对两个面的点数之和为7，
∴点数6所对的面是1点，
∴根据展开图可知，与1点相对的面是A面，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是______立方分米（结果保留）．
【答案】54π
【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果．
【详解】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，
∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），
∴圆柱的体积为：（立方分米），
故答案为：54π．
【点睛】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键．
14．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则____________．
【答案】21
【分析】根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
，，
∴．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了正方体的截面，熟练掌握正方体的面数和棱数是解题的关键．
15．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，如图所示分别是从它的正面、左面、上面看到的形状图，则这个几何体的表面积是________．
【答案】
【分析】根据三视图得出小正方体摆放的方式，进而计算表面积即可．
【详解】解：由三视图可知，这个几何体每个位置的小正方体个数如图所示：
因为小正方体每个面的面积是1cm2，
所以这个几何体的表面积是：4+4+3+3+5+5＝24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了三视图，根据三视图还原出该几何体是解题的关键．
16．如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
【答案】或．
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【详解】若以为轴，旋转一周，
则为半径，
所以，
若以为轴，旋转一周，
则为半径，
所以，
故答案为或
【点睛】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分；第17-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25-26每小题10分）
17．如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若平方米硬纸板价格为元，则制作个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
【答案】（1）平方厘米；（2）花费元钱．
【分析】（1）根据长方体表面积公式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意得，
；
答：制作这样的包装盒需要平方厘米的硬纸板；
（2）平方米平方厘米，
（元），
答：制作个这的包装盒需花费元钱．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，正确的计算长方体的表面积是解题的关键．
18．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边，．
将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______ 种大小不同的几何体？
分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？圆锥的体积，其中取
【答案】（1）3；（2）以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
【分析】将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线分别旋转一周即可．
如果以AB所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是8厘米，高是4厘米；如果以BC所在的直线旋转一周得到的圆锥的底面半径是4厘米，高是8厘米，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答．
【详解】（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体，
故答案为：3
以AB为轴：
立方厘米；
以BC为轴：
立方厘米．
答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
【点睛】此题考查了点、线、面、体，关键是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用．
19．如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图形
①
②
③
④
顶点数(V)
边数(E)
区域数(F)
(2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．
【答案】（1）见表格解析；（2）V＋F＝E＋1；（3）30.
【分析】（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果；
（2）根据表（1）数据总结出归律；
（3）根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数．
【详解】（1）结和图形我们可以得出：
图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域；
图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域；
图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域；
图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域．
（2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：V+F=E+1；
（3）把V=20，F=11代入上式得：E=V+F﹣1=20+11﹣1=30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．
20．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
【答案】(1)8
(2)补全图形见解析
(3)长方体纸盒的体积是
【分析】(1)根据平面图形得出剪开棱的条数即可；
(2)根据长方体的展开图的情况可知有四种情况；
(3)根据长方体纸盒的体积=长×高×宽即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：小明共剪了8条棱，
故答案为：8；
（2）解：如图，四种情况.
（3）解：，
故这个长方体纸盒的体积是．
【点睛】本题主要考查了几何体展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
21．将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是_______（填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【答案】（1）A；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）有“田”字格的展开图不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；
（2）作图方法很多，只要正确即可；
（3）根据裁剪线裁剪，再展开．
【详解】（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A
故答案为：A
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的11种展开图形式是解题的关键．
22．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为的小立方块堆成一个几何体，如图所示．
(1)这个几何体由多少个小立方块组成？请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不包括底面）喷上黄色的漆，则在所有的小立方块中，有多少个只有一个面是黄色？有多少个只有两个面是黄色？有多少个只有三个面是黄色？
(3)假设现在你手里还有一些相同的小立方块，保持从左面、上面看到的形状图不变，最多可以再添加几个小立方块？这时如果要重新给这个几何体表面（不包括底面）喷上红色的漆，需要喷漆的面积比原几何体增加了还是减少了？增加或减少的面积是多少？
【答案】(1)10个，见解析
(2)1，2，3
(3)4个；增加，增加
【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；
（3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体，第3列后面的几何体上放1个小正方体，算出原来需喷漆的面积和现在需喷漆的面积，进行比较．
【详解】（1）这个几何体由 10个小正方体组成，如图所示：
（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个，共1个；
有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；
只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个；
（3）在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示：
其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，
因此最多可添加4块，
增加的面：（9+9+6+6+6）-（6+6+6+6+6+2）=36-32=4，
增加的面积：4×100=400（cm2）．
【点睛】考查了从不同方向看正方体；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意喷漆面积指组成几何体的外表面积．
23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；；
(2)12；
(3)14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-楼数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值．
【详解】（1）解：完成表格，如下：
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得；
故答案为：12
（3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，解得，
．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
24．如图是某涌泉蜜桔长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．
（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是 与 ， 与 ， 与 ；
（2）若设长方体的宽为xcm，则长方体的长为 cm，高为 cm；(用含x的式子表示)
（3）求这种长方体包装盒的体积．
【答案】（1）①，⑤，②，④，③，⑥；（2）2x，；（3）这种长方体包装盒的体积是9
50cm3．
【分析】（1）根据长方体的展开图判断其相对面即可．
（2）根据长、宽、高的关系，用含x的式子表示长和高即可．
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是①与⑤，②与④，③与⑥．
故答案为：①，⑤，②，④，③，⑥；
（2）设长方体的宽为xcm，则长方体的长为2xcm，高为 cm．
故答案为：2x，；
（3）∵长是宽的2倍，
∴(96﹣x)2x，
解得：x=15，
∴这种长方体包装盒的体积=15×30×21=9450cm3，
答：这种长方体包装盒的体积是9450cm3．
【点睛】本题考查了长方体的展开图问题，掌握长方体的展开图、长方体的体积公式、解一元一次方程的方法是解题的关键．
25．如图①，是一个边长为10cm正方形，按要求解答下列问题：
（1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为 cm的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积；
（2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留π）
【答案】（1）2.5；（2）圆柱的体积是cm3
【分析】（1）利用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可；
（2）正方形的边长是圆柱的底面圆周长，代入圆柱的体积公式即可．
【详解】解：（1）设粗黑实线剪下4个边长为xcm的小正方形，
根据题意列方程2x＝10÷2
解得x＝2.5，
故答案为：2.5；
（2）∵正方形边长为10cm，
∴圆柱的底面半径是（cm），
∴圆柱的体积是（cm3）．
答：圆柱的体积是cm3．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．
26．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：
⑴填空：
①正四面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
②正六面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
③正八面体的顶点数V＝ ，面数F＝ ，棱数E＝ .
⑵若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：
⑶如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？
【答案】⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；⑵V+F-E=2;⑶它有12个面.
【详解】试题分析:(1)观察图形,结合多面体的顶点,面,棱的定义进行填空即可,(2)根据(1)中,多面体的顶点数,面数,棱数,总结规律可得V,F,E之间的数量关系,(3)根据(2)中,顶点数,面数,和棱数之间的关系式代入求解即可.
解：⑴①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；
⑵V+F-E=2
⑶解：设面数为F，则20+F-30=2 解得F=12
答：它有12个面.
相关资料
更多
