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2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷(解析版)
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
3．（2分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6
4．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0
8．（2分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标 ．
10．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 ．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ．
12．（2分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 ．
13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： ．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．
（1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出△A1B1C1．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
22．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为y2＝mx+n，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
24．（5分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围 ．
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C．
3．（2分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6
【分析】常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
则x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
故选：D．
4．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°
故选：C．
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，
∴该函数开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵该函数图象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三点，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，
∴y2＞y3＞y1，
故选：B．
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x＝1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围．
【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；
B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；
C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x＝1的左边，∴，故正确；
D、从图象可以看出，当x＝1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．
故选：D．
8．（2分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；
3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；
函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；
当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；
当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；
当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；
当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；
当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标 （﹣2，﹣3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标：（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
10．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 y＝x2+x+1（答案不唯一） ．
【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c＝1．
【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为
y＝x2+x+1等，答案不唯一．
故本题答案为：y＝x2+x+1等．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．（2分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 26° ．
【分析】根据垂径定理，可得＝，∠OEB＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：连接AO，如图：
由OC⊥AB，得＝，∠OEB＝90°．
∴∠2＝∠3．
∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．
∴∠3＝64°，
在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，
故答案为；26°．
13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ 4 ，b＝ 2 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，
∴a＝b2，
当b＝2时，a＝4，
故b＝2，a＝4时满足条件．
故答案为：4，2．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： 将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位 ．
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，
故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①②正确，证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论．
③错误，证明AB＝MN，可得结论．
④正确，证明△OBN是等边三角形，可得结论．
【解答】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）利用求根公式法求解即可；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0；
∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0，
∴x＝＝＝3±5，
∴x1＝8，x2＝﹣2；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣（4x﹣10）＝0，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
则（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝2．
18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．
（1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点 O1 ．
（2）请在图中画出△A1B1C1．
【分析】（1）分别作AA1、BB1的中垂线m、n，两者的交点即为所求；
（2）作出点C绕点O1顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图，根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点O1，
故答案为：O1．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ 在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ 圆内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠AMB＝30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】解：（1）如下图即为所求，
（2）证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴∠AMB＝30°，
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ACB＝150°．
故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC（SAS）．
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
∵△EAB≌△DAC
∴∠AEB＝∠ADC＝105°．
∴∠BED＝45°．
21．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
【分析】先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．
∴∠ONC＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠OMA＝∠ONC＝90°．
∵AB＝1.6，CD＝1.2，
∴AM＝AB＝0.8，CN＝CD＝0.6，
在Rt△OAM中，
∵OA＝1，
∴OM＝＝0.6．
同理可得ON＝0.8，
∴MN＝ON﹣OM＝0.2（米）．
答：水面下降了0.2米．
22．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝（a+3）2．
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0．即Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0，
（3x﹣a）（x+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
∵方程有一个根大于2，
∴＞2．
∴a＞6．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为y2＝mx+n，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）根据图象抛物线在直线上方时x的取值范围求解．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（﹣1，3）代入y1＝x2+bx+c得，
解得，
∴y1＝x2+6x+8．
（2）∵y1＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，
∴抛物线顶点C的坐标为（﹣3，﹣1）．
（4）如图，
可得x＜﹣3或x＞﹣1时，y1＞y2．
24．（5分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 400 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 w＝﹣2x2+220x﹣5600 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意先求出当x＝50时的销售量，再求出利润即可；
（2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式；
（3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）当x＝50时，销售量为y＝﹣2×50+140＝40（件），
利润为：（50﹣40）×40＝400（元），
故答案为：400；
（2）由题意得：
w＝y•（x﹣40）
＝（﹣2x+140）（x﹣40）
＝﹣2x2+220x﹣5600，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40），
故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600；
（3）∵y≥38，
∴﹣2x+140≥38，
解得：x≤51．
∵w＝﹣2x2+220x﹣5600
＝﹣2（x﹣55）2+450，
∴对称轴为x＝55，抛物线开口向下，
∴当x≤55时，w随x的增大而增大，
∵x≤51，
∴当x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418．
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【分析】（1）根据对应点画图象即可；
（2）由图象可得答案；
（3）利用待定系数法可得关系式；
（4）设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，
（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；
（3）由图象可得，顶点（1，4），
设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，
把（2，3）代入可得a＝﹣1，
所以h＝﹣（d﹣1）2+4；
（4）设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，
当d＝1+2＝3时，h′＝﹣4+4+m＝m，
∴m≥2，
答：水枪高度至少向上调整2米．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的性质结合抛物线的顶点坐标在x轴上，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，联立直线OP与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，分点P，Q在y轴右侧及点P，Q在y轴左侧两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，由抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），可得出当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P使得∠POQ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围；（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），进而可得出当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P使得∠POQ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得：m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．
（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，如图1所示．
联立直线OP及抛物线的表达式成方程组，得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（1，1）或（4，4）．
②当y＝1时，x2﹣4x+4＝1，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（3，1）．
分两种情况考虑：
（i）当点P，Q在y轴右侧时，∵抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），
∴当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，
∴，解得：0≤n≤2；
（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），
∴当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，
∴，解得：2≤n≤4．
综上所述：若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，
∴∠ABE＝45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝α
∴∠FBE＝∠FEB＝45°．
（3）DE＝AF．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，
由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为 P2，P3 ；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围 a＞0或 ．
【分析】（1）①画出图形，根据点P为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可．
②分两种情形：m＞0，m＜0分别求解即可．
（2）观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，求出a的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
观察图象可知，P2，P3是△ABC的覆盖特征点．
故答案为：P2，P3．
②当m＞0时，结合函数图象可知符合题意．
当m＜0时，由题意得：当x≥3且y≥3时，点P（x，y）为△ABC的覆盖的特征点（图中的阴影部分）．
又∵点P在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上，
∴当直线y＝mx+5（m≠0）过点K（3，3）时，解得：，
∴结合函数图象可知，
综上所述：．
（2）如图3中，
观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，
∴5＝4a﹣10a+4，
解得a＝﹣，
观察图象可知，当a≤﹣时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
综上所述，满足条件的a的取值范围为：a＞0或．
故答案为：a＞0或．
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
3．（2分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6
4．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0
8．（2分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标 ．
10．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 ．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ．
12．（2分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 ．
13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： ．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．
（1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出△A1B1C1．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
22．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为y2＝mx+n，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
24．（5分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围 ．
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C．
3．（2分）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6
【分析】常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
则x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
故选：D．
4．（2分）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
5．（2分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°
故选：C．
6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，
∴该函数开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵该函数图象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三点，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，
∴y2＞y3＞y1，
故选：B．
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．0＜﹣＜1 D．a+b+c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判定a的取值范围，由抛物线于y轴的交点判定c的取值范围，根据对称轴的位置即可判定的取值范围，由抛物线中，x＝1时的函数值即可判定a+b+c的取值范围．
【解答】解：A、抛物线的开口向下，∴a＜0，故正确；
B、抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故正确；
C、抛物线的对称轴在y轴的右边，在直线x＝1的左边，∴，故正确；
D、从图象可以看出，当x＝1时，对应的函数值在x轴的上方，∴a+b+c＞0，故错误．
故选：D．
8．（2分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；
【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；
3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；
函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；
当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；
当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；
当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；
当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；
当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标 （﹣2，﹣3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
【解答】解：点A（2，3）与点B关于原点对称，则B点的坐标：（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
10．（2分）请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式 y＝x2+x+1（答案不唯一） ．
【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c＝1．
【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为
y＝x2+x+1等，答案不唯一．
故本题答案为：y＝x2+x+1等．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
12．（2分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 26° ．
【分析】根据垂径定理，可得＝，∠OEB＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：连接AO，如图：
由OC⊥AB，得＝，∠OEB＝90°．
∴∠2＝∠3．
∵∠2＝2∠1＝2×32°＝64°．
∴∠3＝64°，
在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°，
故答案为；26°．
13．（2分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ 4 ，b＝ 2 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，得到a＝b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，
∴a＝b2，
当b＝2时，a＝4，
故b＝2，a＝4时满足条件．
故答案为：4，2．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程： 将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位 ．
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位得到△CDE，
故答案为：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移一个单位
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①②正确，证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论．
③错误，证明AB＝MN，可得结论．
④正确，证明△OBN是等边三角形，可得结论．
【解答】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）利用求根公式法求解即可；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16＝0；
∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣16）＝36+64＝100＞0，
∴x＝＝＝3±5，
∴x1＝8，x2＝﹣2；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣（4x﹣10）＝0，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
则（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝2．
18．（4分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△A1B1C1，点A，B，C分别对应点A1，B1，C1．
（1）根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点 O1 ．
（2）请在图中画出△A1B1C1．
【分析】（1）分别作AA1、BB1的中垂线m、n，两者的交点即为所求；
（2）作出点C绕点O1顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图，根据点A1和B1的位置确定旋转中心是点O1，
故答案为：O1．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
19．（5分）已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB＝150°．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC．△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝60°．
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（ 在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠AMB＝30°．
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（ 圆内接四边形对角互补 ）（填推理的依据）．
∴∠ACB＝150°．
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°，根据圆周角定理得出∠AMB＝30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】解：（1）如下图即为所求，
（2）证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵A，B，M在⊙O上，
∴∠AMB＝∠AOB（在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴∠AMB＝30°，
∵四边形ACBM内接于⊙O，
∴∠AMB+∠ACB＝180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ACB＝150°．
故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．
20．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质知∠DAE＝60°，AE＝AD，从而得∠EAB＝∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；
（2）由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
∵，
∴△EAB≌△DAC（SAS）．
（2）如图，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
∵△EAB≌△DAC
∴∠AEB＝∠ADC＝105°．
∴∠BED＝45°．
21．（5分）一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，求水面下降的高度．
【分析】先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论．
【解答】解：如图，下降后的水面宽CD为1.2m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．
∴∠ONC＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠OMA＝∠ONC＝90°．
∵AB＝1.6，CD＝1.2，
∴AM＝AB＝0.8，CN＝CD＝0.6，
在Rt△OAM中，
∵OA＝1，
∴OM＝＝0.6．
同理可得ON＝0.8，
∴MN＝ON﹣OM＝0.2（米）．
答：水面下降了0.2米．
22．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝（a+3）2．
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0．即Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0，
（3x﹣a）（x+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
∵方程有一个根大于2，
∴＞2．
∴a＞6．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为y2＝mx+n，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）根据图象抛物线在直线上方时x的取值范围求解．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（﹣1，3）代入y1＝x2+bx+c得，
解得，
∴y1＝x2+6x+8．
（2）∵y1＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，
∴抛物线顶点C的坐标为（﹣3，﹣1）．
（4）如图，
可得x＜﹣3或x＞﹣1时，y1＞y2．
24．（5分）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．
（1）当x＝50时，总利润为 400 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 w＝﹣2x2+220x﹣5600 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意先求出当x＝50时的销售量，再求出利润即可；
（2）每件进价是40元，销售单价为x元，则每件利润为（x﹣40）元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得w关于x的函数关系式；
（3）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得x的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）当x＝50时，销售量为y＝﹣2×50+140＝40（件），
利润为：（50﹣40）×40＝400（元），
故答案为：400；
（2）由题意得：
w＝y•（x﹣40）
＝（﹣2x+140）（x﹣40）
＝﹣2x2+220x﹣5600，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40），
故答案为：w＝﹣2x2+220x﹣5600；
（3）∵y≥38，
∴﹣2x+140≥38，
解得：x≤51．
∵w＝﹣2x2+220x﹣5600
＝﹣2（x﹣55）2+450，
∴对称轴为x＝55，抛物线开口向下，
∴当x≤55时，w随x的增大而增大，
∵x≤51，
∴当x＝51时，w有最大值，最大值为：﹣2×512+220×51﹣5600＝418．
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
25．（6分）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【分析】（1）根据对应点画图象即可；
（2）由图象可得答案；
（3）利用待定系数法可得关系式；
（4）设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，
（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；
（3）由图象可得，顶点（1，4），
设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，
把（2，3）代入可得a＝﹣1，
所以h＝﹣（d﹣1）2+4；
（4）设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，
当d＝1+2＝3时，h′＝﹣4+4+m＝m，
∴m≥2，
答：水枪高度至少向上调整2米．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的性质结合抛物线的顶点坐标在x轴上，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，联立直线OP与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标；
②利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，分点P，Q在y轴右侧及点P，Q在y轴左侧两种情况考虑：（i）当点P，Q在y轴右侧时，由抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），可得出当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P使得∠POQ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围；（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），进而可得出当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P使得∠POQ＝45°，解不等式组即可求出n的取值范围．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得：m＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．
（2）①作直线y＝x，交抛物线y＝x2﹣4x+4于点P，如图1所示．
联立直线OP及抛物线的表达式成方程组，得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（1，1）或（4，4）．
②当y＝1时，x2﹣4x+4＝1，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴点E的坐标为（1，1），点F的坐标为（3，1）．
分两种情况考虑：
（i）当点P，Q在y轴右侧时，∵抛物线y＝x2﹣4x+4与直线y＝x交于点（1，1），
∴当1≤3﹣n≤3时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，
∴，解得：0≤n≤2；
（ii）当点P，Q在y轴左侧时，同①可得出，抛物线y＝x2+4x+4与直线y＝﹣x交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），
∴当﹣1≤3﹣n≤1时，图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，
∴，解得：2≤n≤4．
综上所述：若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，n的取值范围为0≤n≤4．
27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）∠FBE的度数为45°．由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，根据三角形内角和与互余关系分别推理即可；
（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，判定△HAB≌△FAD（ASA），可得HB＝FD，AH＝AF，HF＝DE，∠H＝45°，从而可得HF与AF的数量关系，则可得线段AF与DE的数量关系．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，
∴∠ABE＝45°﹣α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°．
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝α
∴∠FBE＝∠FEB＝45°．
（3）DE＝AF．
证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，
由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．
∴FB＝FE．
∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，
∴∠HAB＝∠FAD，
∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，
∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，
∴△HAB≌△FAD（ASA），
∴HB＝FD，AH＝AF，
∴HF＝DE，∠H＝45°．
∴HF＝AF．
∴DE＝AF．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：
过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点．
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是△ABC的覆盖特征点的为 P2，P3 ；
②若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a≠0）上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围 a＞0或 ．
【分析】（1）①画出图形，根据点P为这个覆盖的一个特征点的定义判断即可．
②分两种情形：m＞0，m＜0分别求解即可．
（2）观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，求出a的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
观察图象可知，P2，P3是△ABC的覆盖特征点．
故答案为：P2，P3．
②当m＞0时，结合函数图象可知符合题意．
当m＜0时，由题意得：当x≥3且y≥3时，点P（x，y）为△ABC的覆盖的特征点（图中的阴影部分）．
又∵点P在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上，
∴当直线y＝mx+5（m≠0）过点K（3，3）时，解得：，
∴结合函数图象可知，
综上所述：．
（2）如图3中，
观察图象可知，当a＞0时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
当a＜0时，抛物线经过（0，4），对称轴x＝，当抛物线经过（2，5）或（3，5）时，抛物线满足条件，
∴5＝4a﹣10a+4，
解得a＝﹣，
观察图象可知，当a≤﹣时，抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，
综上所述，满足条件的a的取值范围为：a＞0或．
故答案为：a＞0或．
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