2021-2022学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷（ word版，解析版）

这是一份2021-2022学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷（ word版，解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共16分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x2
3．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　）

A．95° B．90° C．85° D．80°
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

小聪作法正确的理由是（　　）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　）
A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6
8．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（　　）
①长方形ABCD的长宽之比可能为2；
②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）直接写出计算结果：（2ab2）3＝　 　．
10．（2分）点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 　 　．
11．（2分）如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　 　度．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝　 　．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　 　．

14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，则ab＝　 　．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．

16．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　 　；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是　 　．
三、解答题（17，18题每小题12分，19、20题每题4分，21题5分，22题4分，23题3分，24题5分，25题4分，26题6分，27题7分，共60分）
17．（12分）计算：
（1）6x2•3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
19．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．

20．（4分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
21．（5分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：（ 　 　），B′（ 　 　），C′（ 　 　）．
（3）点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有 　 　个．

22．（4分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

23．（3分）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．

25．（4分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝　 　对称；
（2）若关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝4对称，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）关于x＝　 　对称．
26．（6分）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．
求证：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　 　，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是　 　；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．


2021-2022学年北京市海淀区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共16分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2x）2＝4x2
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：A．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B．x2+x2＝2x2，故本选项不合题意；
C．x6÷x2＝x4，故本选项不合题意；
D．（﹣2x）2＝4x2，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　）

A．95° B．90° C．85° D．80°
【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故选：C．
4．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1+）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，
故选：B．
6．（3分）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

小聪作法正确的理由是（　　）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
7．（3分）如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　）
A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6
【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．
【解答】解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故选：A．
8．（3分）已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（　　）
①长方形ABCD的长宽之比可能为2；
②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．

A．②③ B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除①，根据正方形定义和长方形的周长公式判断②③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：如图：

①长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b），
解得a＝0．这与题意不符，故①的说法不正确；
②四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长，故②正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100，故④的说法不正确．
综上所述，正确的是：②③．
故选：A．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）直接写出计算结果：（2ab2）3＝　8a3b6　．
【分析】利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
【解答】解：（2ab2）3
＝23×a3（b2）3
＝8a3b6．
故答案为：8a3b6．
10．（2分）点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是 　（﹣1，3）　．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（﹣1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
11．（2分）如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　20　度．
【分析】由已知等腰三角形的一个底角是80°，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是80°，结合三角形内角和定理可求顶角的度数
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°，
∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故填20．
12．（2分）分解因式：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2　．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　2　．

【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．

14．（2分）已知（a+b）2＝32，a﹣b＝2，则ab＝　7　．
【分析】由a﹣b＝2，得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．由（a+b）2＝32，得a2+b2+2ab＝32，那么（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28，从而解决此题．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4．
∵（a+b）2＝32，
∴a2+b2+2ab＝32．
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝28．
∴ab＝7．
故答案为：7．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 　BD＝CD　（写出一个即可）．

【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
16．（2分）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…

（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是　△P1P2P3　；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是　18°≤α＜22.5°　．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．

（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
三、解答题（17，18题每小题12分，19、20题每题4分，21题5分，22题4分，23题3分，24题5分，25题4分，26题6分，27题7分，共60分）
17．（12分）计算：
（1）6x2•3xy．
（2）（3x+1）（x﹣2）．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2．
（4）（x+2y）2．
【分析】（1）利用单项式乘以单项式计算法则进行计算；
（2）利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可；
（3）多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）6x2•3xy＝18x3y．
（2）（3x+1）（x﹣2）
＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2．
（3）（6x4﹣9x3）÷3x2
＝6x4÷3x2﹣9x3÷3x2
＝2x2﹣3x．
（4）（x+2y）2
＝x2+4y2+4xy．
18．（6分）分解因式：
（1）12xyz﹣9x2y2；
（2）a2m﹣25m．
【分析】（1）直接提公因式3xy即可；
（2）先提公因式m，再应用平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝3xy（4z﹣3xy）；
（2）原式＝m（a2﹣25）＝m（a+5）（a﹣5）．
19．（4分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．

【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC＝EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
20．（4分）先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣3b），
＝4a2﹣b2﹣4a2+12ab
＝﹣b2+12ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝﹣22+12×（﹣1）×2
＝﹣4﹣24
＝﹣28．
21．（5分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：（ 　4，1　），B′（ 　2，4　），C′（ 　﹣1，﹣2　）．
（3）点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有 　10　个．

【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；
（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；
（3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．
【解答】解：（1）如图1：

（2）由图可知A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（1，﹣2），
∴A点关于y轴对称的点为（4，1），B点关于y轴对称的点为（2，4），C点关于y轴对称的点为（﹣1，﹣2），
故答案为：（4，1），（2，4），（﹣1，﹣2）；
（3）如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，
以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，
作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，
∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，
故答案为10．

22．（4分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．

23．（3分）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【分析】到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．
【解答】解：

则点P为所求．

24．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．

【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△CAE与Rt△ABD中，
，
∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），
∴CE＝AD．
（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，
∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．
由（1）得CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF．
∴∠CFE＝∠E，
∵∠CFE＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠E．
∵∠E＝∠ADB，
∴∠AFB＝∠ADB，
∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，
∴∠EAC＝∠DBC．
∵∠EAC＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
25．（4分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：
对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝　2　对称；
（2）若关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝4对称，求a的值；
（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣6x+9）关于x＝　﹣　对称．
【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴＝3即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
则多项式关于x＝2对称，
故答案为：2；
（2）∵x2+2ax+3＝（x+a）2+3﹣a2，
∴关于x的多项式x2+2ax+3关于x＝﹣a对称，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3；
（3）原式＝（x+4）2（x﹣3）2
＝[（x+4）（x﹣3）]2
＝（x2+x﹣12）2
＝[（x+）2﹣]2，
故关于x＝﹣对称，
故答案为：﹣．
26．（6分）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．
求证：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　BD　，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

【分析】（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明．
【解答】证明：（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB+BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB+BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB+BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．



27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是　A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）　；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．

【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），
∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），
∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），
∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），
∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），
∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），
∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；
故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，
∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），
∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵点P（a，1），
∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），
当P'Q'与EH有公共点时，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
当P'Q'与fg有公共点时，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，