(全国版)高考物理一轮复习讲义第10章 专题强化21 带电粒子在组合场中的运动(含解析)

专题强化二十一　带电粒子在组合场中的运动

目标要求　1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题．

1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．

2．带电粒子在组合场中运动的分析思路

第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．

第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．

第3步：用规律

题型一　磁场与磁场的组合

磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．

例1　(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图1所示．甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：

图1

(1)Q到O的距离d；

(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；

(3)乙的比荷可能的最小值．

答案　(1)　(2)　(3)

解析　(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2

由qvB＝m可知r＝，

故r1＝，r2＝

且d＝2r1－2r2

解得d＝

(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2

由T＝＝得t1＝，t2＝

且Δt＝2t1＋3t2

解得Δt＝

(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动

若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)

相遇时，有n＝d，n＝t1＋t2

解得＝n

根据题意，n＝1舍去．

当n＝2时，有最小值，()min＝

若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇．

综上分析，乙的比荷的最小值为.

题型二　电场与磁场的组合

　　　　　 先电场后磁场

1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图2.

图2

2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图3.

图3

注意：进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度．

例2　(2018·全国卷Ⅰ·25)如图4，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求：

图4

(1)H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

(2)磁场的磁感应强度大小；

(3)H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．

答案　(1)h　(2)　(3)(－1)h

解析　(1)H在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设H在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1，它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1，由运动学公式有s1＝v1t1①

h＝a1t12②

由题给条件，H进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1＝60°.H进入磁场时速度沿y轴方向的分量的大小为

a1t1＝v1tan θ1③

联立以上各式得

s1＝h④

(2)H在电场中运动时，由牛顿第二定律有

qE＝ma1⑤

设H进入磁场时速度的大小为v1′，由速度合成法则有

v1′＝⑥

设磁感应强度大小为B，H在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有

qv1′B＝⑦

由几何关系得

s1＝2R1sin θ1⑧

联立以上各式得

B＝⑨

(3)设H在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得

(2m)v22＝mv12⑩

由牛顿第二定律有

qE＝2ma2⑪

设H第一次射入磁场时的速度大小为v2′，速度的方向与x轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s2，在电场中运动的时间为t2.由运动学公式有

s2＝v2t2⑫

h＝a2t22⑬

v2′＝⑭

sin θ2＝⑮

联立以上各式得s2＝s1，θ2＝θ1，v2′＝v1′⑯

设H在磁场中做圆周运动的半径为R2，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得

R2＝＝R1⑰

所以出射点在原点左侧．设H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s2′，由几何关系有

s2′＝2R2sin θ2⑱

联立④⑧⑯⑰⑱式得，H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为s2′－s2＝(－1)h.

　　　　　 先磁场后电场

(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图5甲所示)．

(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．

图5

例3　(2020·河南开封市模拟)如图6所示，真空中有一以O点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R＝0.5 m，磁场方向垂直纸面向里．在y>R的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度为E＝1.0×105 V/m.在M点有一正粒子以速率v＝1.0×106 m/s沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，最终又从磁场离开．已知粒子的比荷为＝1.0×107 C/kg，粒子重力不计．

图6

(1)求圆形磁场区域磁感应强度的大小；

(2)求沿＋x方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程．

答案　(1)0.2 T　(2)(0.5π＋1) m

解析　(1)沿＋x方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图所示的P点竖直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝R＝0.5 m，根据Bqv＝，得B＝，代入数据得B＝0.2 T.

(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N点射出磁场(如图所示)，MN的长度等于直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长，即s1＝πR，设粒子在电场中运动的路程为s2，根据动能定理得Eq·＝mv2，得s2＝，则总路程s＝s1＋s2＝πR＋.

代入数据得s＝(0.5π＋1) m.

1．(先电场后磁场)(2020·湖北宜昌市联考)如图7所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的倍．

图7

(1)求带电粒子到达B点时的速度大小；

(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；

(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值．

答案　(1)　(2)　(3)1.5B1

解析　(1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝＝，则θ＝30°

根据速度关系有：v＝＝；

(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得：qvB1＝m，轨迹如图甲所示：

由几何关系得：L＝r1

解得：L＝；

(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：

同理得：qvB2m＝m

根据几何关系有：L＝r2(1＋sin θ)

解得：B2m＝1.5B1.

2．(先磁场后电场)(2020·山东潍坊市3月五县联考)如图8所示的坐标系xOy中，第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度未知．一带正电粒子从A(d,0)点以初速度v0开始运动，初速度方向与x轴负方向夹角为53°，粒子到达y轴时速度方向与y轴垂直，粒子经过电场区域、x轴下方磁场区域恰好回到A点，且速度方向与初速度方向相同．粒子重力不计，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

图8

(1)粒子的比荷；

(2)匀强电场的电场强度大小；

(3)x轴下方磁场的磁感应强度大小．

答案　(1)　(2)　(3)B0

解析　(1)设粒子在第一象限内做圆周运动的半径为r1，则有qv0B0＝m

由图可知r1＝，解得＝

(2)设粒子类平抛过程竖直位移为Δy，

则Δy＝r1－r1cos 53°

由题意可知，粒子类平抛运动的末速度与x轴负方向夹角为θ＝53°，则vy＝v0tan θ，类平抛运动过程vy＝at，Δy＝at2，qE＝ma

联立解得t＝，E＝

(3)设粒子类平抛过程水平位移为Δx，则Δx＝v0t，设粒子在y轴下方磁场区域运动的半径为r2，则r2＝

粒子运动速度v＝，qvB＝m，解得B＝B0.

课时精练

1．如图1所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场．已知O、P之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为    (　　)

图1

A.   B.(2＋5π)

C.(2＋)   D.(2＋)

答案　D

解析　带电粒子的运动轨迹如图所示，

带电粒子出电场时，速度v＝v0，这一过程的时间t1＝＝，根据几何关系可得带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2d，带电粒子在第Ⅰ象限中运动的圆心角为，故带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间t2＝T＝·＝，带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间t3＝＝，故t总＝t1＋t2＋t3＝(2＋)，D正确．

2．(2018·全国卷Ⅲ·24)如图2，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求：

图2

(1)磁场的磁感应强度大小；

(2)甲、乙两种离子的比荷之比．

答案　(1)　(2)1∶4

解析　(1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝m1v12①

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q1v1B＝m1②

由几何关系知2R1＝l③

由①②③式得B＝④

(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有q2U＝m2v22⑤

q2v2B＝m2⑥

由题给条件有2R2＝⑦

由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为

∶＝1∶4.

3.如图3所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以初速度v0从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力．

图3

(1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间；

(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值．

答案　(1)　(2)

解析　(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．

设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m

T＝

联立解得T＝

依题意，粒子第一次到达x轴时，转过的角度为π

所需时间为t1＝T＝T

解得t1＝.

(2)粒子进入电场后，先做匀减速直线运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速直线运动，到达x轴时速度大小仍为v0，设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，有qE＝ma

v0＝a·

解得t2＝

根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足t2≥T0

得电场强度最大值Emax＝.

4.(2019·河南平顶山市一轮复习质检)如图4所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点沿与x轴正方向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力．求：

图4

(1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标；

(2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？

答案　(1)(0，L)　(2)　　(3)＋

解析　(1)粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动，

水平方向：L＝v0cos θ·t1，

竖直方向：y＝v0sin θ·t1，

解得：y＝L，

粒子从y轴上射出电场的位置坐标为：(0，L)；

(2)粒子在电场中的加速度大小：a＝，

竖直分位移：y＝at12，

解得：E＝；

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示，

由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°，

AD＝y＝L，

因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝L，

粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m，

其中，粒子的速度：v＝v0cos θ，

解得：B＝；

(3)粒子在电场中的运动时间：t1＝＝，

粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，位移：x＝L－L，

粒子做直线运动的时间：t2＝＝，

粒子在磁场中做圆周运动的时间：t3＝T＝×＝，

粒子总的运动时间：t＝t1＋t2＋t3＝＋.

5．(2020·山东等级考模拟卷)如图5所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ.一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限．不计粒子重力．求：

图5

(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0；

(2)电场强度的大小E；

(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1.

答案　(1)　(2)　(3)B0

解析　(1)粒子在第四象限中运动时，洛伦兹力提供向心力，

则qv0B0＝

解得v0＝

(2)由于粒子与y轴正方向成45°角离开电场，

则有vx＝vy＝v0

粒子在电场中做类平抛运动，在平行于x轴方向做匀加速直线运动，在平行于y轴方向做匀速直线运动，故在平行于x轴方向上qE＝ma

vx2－0＝2aR0

联立解得E＝

(3)粒子在电场中运动时

平行于x轴方向：vx＝at，R0＝at2

平行于y轴方向：y＝vyt

联立解得y＝2R0

如图，过N点作速度的垂线交x轴于P点，P即为粒子在第一象限做匀速圆周运动的圆心，PN为半径，因为ON＝y＝2R0，∠PNO＝45°，所以PN＝2R0.

由于洛伦兹力提供向心力，故qvB1＝，其中v为进入第一象限的速度，大小为v＝v0，

解得B1＝B0.