(全国版)高考物理一轮复习讲义第10章 专题强化19 动态圆问题(含解析)

专题强化十九　动态圆问题

目标要求　1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”“磁聚焦”等模型的适用条件及解决方法．

1．临界条件

带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．

2．解题步骤

分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形

3．常见的几种临界情况

(1)直线边界

最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．

最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．

如图1，P为入射点，M为出射点．

图1

(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：

当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．

当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大．

题型一　“平移圆”模型

例1　(多选)如图2所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　)

图2

A．粒子在磁场中的运动半径为

B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域

C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为

D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为

答案　CD

解析　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确．

题型二　“旋转圆”模型

例2　如图3所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为m、电荷量均为＋q的粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为(　　)

图3

A．1∶1  B．2∶3  C.∶2  D.∶3

答案　C

解析　粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿逆时针方向偏转，做匀速圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L1＝＝d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L2＝＝d，所以粒子在PQ边界射出的区域长度为L＝L1＋L2＝d，因为R<d，所以粒子在MN边界射出区域的长度为L′＝2R＝d，故两区域长度之比为L∶L′＝d∶d＝∶2，故C正确，A、B、D错误．

题型三　“放缩圆”模型

例3　(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图4中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)

图4

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C.

例4　(2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图5所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)

图5

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立解得B＝，故选C.

题型四　“磁聚焦”模型

1．带电粒子的会聚

如图6甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)

证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．

2．带电粒子的发散

如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．

图6

例5　(多选)(2020·山东泰安市一模)如图7所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是(　　)

图7

A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短

B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长

C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上

D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于

答案　ACD

解析　对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t<T＝，故选项C、D正确．

1.(“旋转圆”模型)(2017·全国卷Ⅱ·18)如图8，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为(　　)

图8

A.∶2   B.∶1

C.∶1   D．3∶

答案　C

解析　根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位置距P点最远，则当粒子射入的速率为v1，轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r1＝Rcos 60°＝R；若粒子射入的速率为v2，轨迹如图乙所示，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为r2＝Rcos 30°＝R；根据轨道半径公式r＝可知，v2∶v1＝r2∶r1＝∶1，故选项C正确．

甲　　　　　　　　乙

2．(“放缩圆”模型)(2020·湖北武汉市高三调考)如图9所示，等腰直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三个相同的带电粒子从b点沿bc方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1.直角边bc的长度为L，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是   (　　)

图9

A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3

B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3

C．粒子的比荷＝

D．粒子的比荷＝

答案　B

解析　由于t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为R2<R3，R1<R3＝2L，由于v1、v2大小关系未知，R1、R2大小无法确定，由qvB＝m得v＝，可知三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3，故A错误，B正确；粒子运动周期T＝＝，则t1＝T＝，解得＝，故C错误；由qv3B＝m及R3＝2L，解得粒子的比荷＝，故D错误．

3．(“磁聚焦”模型)(多选)如图10所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量为－q、速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其中B0＝，A、C、D选项中曲线均为半径为L的圆弧，B选项中曲线为半径为的圆)(　　)

图10

答案　AB

课时精练

1.(2019·山东省实验中学第二次模拟)如图1所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域．若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(　　)

图1

A.≤v≤   B.≤v≤

C.≤v≤   D.≤v≤

答案　C

解析　根据洛伦兹力充当向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与AD边相切时速度最大，如图，则有AO′·sin 45°＝O′E，

即(R＋L)sin 45°＝R，

解得满足题目要求的最大半径为R＝(＋1)L，

故最大速度为v1＝；当粒子从C点出射时，满足题目要求的半径最小，为r2＝，故最小速度应为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误．

2.(2020·陕西西安地区八校高三上第一次联考)如图2所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)

图2

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；如图所示，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故选C.

3.(2021·河北邯郸市大名一中半月考)如图3所示，MN的右侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN右侧到MN的距离为L的O处有一个粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力及粒子间的相互作用)，速度均为，则粒子在磁场中运动的最短时间为(　　)

图3

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由于v＝，所以粒子在磁场中运动的半径为r＝＝L，粒子在磁场中运动时间最短，对应的弧长最短、弦长最短，由几何关系得，当弦长等于L时最短，此时弦切角为30°，圆心角为60°，运动的最短时间为tmin＝T＝×＝，故B正确．

4.如图4所示，在直角三角形 abc 区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)(　　)

图4

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由左手定则和题意知，沿ba方向射出的粒子在三角形磁场区域内转半周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径：r＝ab·tan 30°＝L，由洛伦兹力提供向心力得qvmB＝m，从而求得最大速度：vm＝，选项A、B、C错误，D正确．

5．(多选)如图5所示，长方形abcd的长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心，eb为半径的圆弧和以O为圆心，Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T．一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝2×10－3C的带正电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，粒子间的相互作用不计，则下列判断正确的是(　　)

图5

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

B．从aO边射入的粒子，出射时全部通过b点

C．从Od边射入的粒子，出射时全部通过b点

D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边

答案　BC

解析　粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得到：r＝＝0.3 m，因ab＝0.3 m，从Od边射入的粒子，形成以r为半径的圆弧，从点O射入的粒子从b点射出；从Od之间射入的粒子，因边界上无磁场，粒子到达bc后应做直线运动，即全部通过b点，故A错误，C正确；从aO边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为O′，如图所示，根据几何关系可得：虚线的四边形O′Meb是菱形，则粒子的出射点一定是从b点射出．同理可知，从aO边射入的粒子，出射时全部从b点射出，即“磁聚焦”，故B正确，D错误．

6.如图6，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T．磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行．在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg.现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度．

图6

答案　20 cm

解析　α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动．用R表示轨迹半径，有qvB＝m，

由此得R＝，

代入数据解得R＝10 cm，可见R<l<2R.

因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某圆轨迹在如图所示中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点．为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作圆弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.从图中几何关系得：NP1＝.

再考虑N的右侧．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆弧，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点．

从图中几何关系得

NP2＝，

所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，

代入数据解得P1P2＝20 cm.

7．(2019·广东模拟)如图7所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，正确的图是(　　)

图7

答案　D

解析　首先当粒子沿x轴负方向运动的时候，其轨迹如图所示，是一个完整的圆，随着粒子的出射角度向y轴正方向逐渐转动过程中，这个圆逐渐沿顺时针方向转动；当粒子沿y轴正方向的时候，其轨迹为一个半圆．根据分析在这个轨迹圆转动的过程中，图中完整的圆与半圆相交的部分不会有粒子经过，故D项正确．