人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用教学设计

第一章  空间向量与立体几何

1.4  空间向量的应用

1.4.1  用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4.1.1  空间中点、直线和平面的向量表示

一、教学目标

1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；

2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联；

3、正确理解法向量，熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.

二、教学重点、难点

重点：空间中点、直线和平面的向量表示即关联.

难点：熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【引入问题】能否像平面向量一样，利用空间向量解决空间中的几何问题？

            如何研究空间中点、直线、平面的位置关系以及平行、垂直、三种角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）的问题.

（二）阅读精要，研讨新知

【课堂研修】阅读课本，理解记忆新概念.

【发现】1.空间中点、直线和平面的向量表示

【例题研讨】阅读领悟课本例1（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）

例1如图1.4-7， 在长方体中，，是的中点,以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）求平面的法向量；

（2）求平面的法向量.

解：（1）因为轴平面，所以是平面的一个法向量.

（2）由已知，

所以

设是平面的法向量，则

所以，

令，则，所以是平面的一个法向量.

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1．（多选）设是空间直线上的两点，则直线的一个方向向量的坐标可以是（    ）

A．    B．     C．     D．

解：由已知， 为空间直线的一个方向向量，也是空间直线的一个方向向量，故选AC

2. 如图，四面体中，是直角三角形，且，是边长为2的正三角形，

，为中点, 为中点.

（1）证明：⊥平面；

（2）求平面的法向量；

（3）求平面的法向量.

解：（1）因为是直角三角形，且，所以

又为中点，所以，

因为是边长为2的正三角形，所以，

因为，所以

又平面，平面，

所以平面

（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则

，.

所以.

设是平面的法向量，

由，

令，则是平面的一个法向量

（3）设是平面的法向量，

由，

令，则是平面的一个法向量.

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题1.4   1、2

2.预习1.4  空间向量的应用

五、教学反思：（课后补充，教学相长）