【备战2023高考】数学考点全复习——第52讲《空间向量在立体几何中的运用》精选题（新高考专用）

第52讲  空间向量在立体几何中的运用

【基础知识回顾】 

1. 直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

2. 空间位置关系的向量表示

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m,

l∥α,n⊥m⇔                 

l⊥α,n∥m⇔                

平面α，β的法向量分别为n，m,

α∥β,n∥m⇔                

α⊥β,n⊥m⇔                

3.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

4. 求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.

5. 求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉

①

　②

　③

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

|cos θ|＝                 |，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)

A．(－1，1，1)   B．(1，－1，1)

C.   D.

2、.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则(　　)

A．l∥α   B．l⊥α

C．l⊂α或l∥α   D．l与α斜交

3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)

A．45°   B．135°

C．45°或135°   D．90°

4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

考向一　 异面直线所成的角

　例1、（山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

变式1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B. 

变式2、如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥BD；

(3)求BD1与AC夹角的余弦值.

方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．

考向二 直线与平面所成的角

例2、（山东省临沂市高三上期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

变式1、（济南市历城第二中学高三月考）如图，在直四棱柱中，，，，，分别为的中点，

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

变式2、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3.

(1)证明：EF∥平面A1ADD1；

(2)求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．

变式3、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A为直二面角．

(1)若E为线段PC的中点，求证：DE⊥PB；

(2)若PC＝，求PC与平面PAB所成角的正弦值．

方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

考向三  二面角

 例3、（山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值.

变式1、（山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为的三棱柱中，平面平面，，为与的交点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

方法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

考向四  求空间距离

例4、如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．

变式1、在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．

(1)求点B到直线AC1的距离；

(2)求直线FC到平面AEC1的距离．

方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．

考向五 利用空间向量解决探索性问题

例5、（2021·福建厦门双十中学高三其他模拟）已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．

（1）求证：AE⊥BD；

（2）是否存在一点F，满足 (0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由．

变式、（2020·山东潍坊·高三月考）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．

（1）求证：；

（2）若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．

方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的方法：

(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论．

(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．

1、【新课标2卷理科】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

2、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（       ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

3、【2022年全国甲卷】在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

4、【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

5、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

6、【2022年新高考2卷】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．