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【备战2023高考】数学考点全复习——第56讲《圆的方程》精选题（新高考专用）
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第56讲 圆的方程
【基础知识回顾】
1、 圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r＞0)
圆心C：(a，b)
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
2、 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A．1 C．m< D．m>1
【答案】 B
【解析】：方程可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1，由题意知，4m2－5m＋1＞0，解得m<或m>1，故选B．
2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3、圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 D
【解析】 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
【答案】 (－，)
【解析】 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，
解得－
【答案】：(x－2)2＋y2＝10
【解析】：设圆心坐标为(a，0)，易知＝，
解得a＝2，∴圆心为(2，0)，半径为，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
6、已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，则圆C的方程为_______．
【答案】：(x－3)2＋(y－5)2＝37
【解析】：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23．
又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－(x－)，即5x＋7y－50＝0上，
由解得圆心为(3，5)，所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37．
考向一 圆的方程
例1、 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
【答案】 x2＋y2－2x＝0
【解析】 法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为，则圆C的方程为________.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离
d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
变式1、 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
【答案】 C
【解析】 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立
解得
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
【答案】 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【解析】 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为
2x＋y＋4＝0，
联立
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
变式3、根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.
【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．
因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
则解得所以C(2,1)，
所以r＝|CA|＝＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36， ④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
变式4、在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
【解析】：(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0．
(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1．
则圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
考向二 与圆有关的最值问题
例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【解析】(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为，∴的最大值为＋1，最小值为－1.
变式1、 若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
【解析】 (1)(方法1)令＝k，则kx－y－4k＝0.
∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即≤2，解得－≤k≤0，
∴的最大值为0，最小值为－.
(方法2)令＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，
∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，解得－≤k≤0，∴的最大值为0，最小值为－.
(2)(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(方法2)设k＝3x－4y，即y＝x－，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d＝＝，根据几何意义，知x2＋y2的最大值为＝9＋4，最小值为＝9－4.
(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为(α∈R)，
x2＋y2＝＋＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4sin(α＋φ)∴x2＋y2的最大值为9＋4，最小值为9－4.
变式2、 (2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
【答案】 12
【解析】由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12
方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
例3、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解析】(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
变式1、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
变式2、设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解析】：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝．从而．
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
2、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
3、【2021年新高考2卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
4、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
【答案】(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,-1)，R=5，
⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5
5、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若过0,0，4,0，-1,1，则F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0，解得F=0D=-4E=-6，
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即x-22+y-32=13；
若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-4E=-2，
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5；
若过0,0，4,2，-1,1，则F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-83E=-143，
所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0，即x-432+y-732=659；
若过-1,1，4,0，4,2，则1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=-165D=-165E=-2，
所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0，即x-852+y-12=16925；
故答案为：x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；
6、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
【解析】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r．则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2．∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1．
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1．
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则＝，即|x0－y0|＝1．∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1．
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3．
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3．综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3．
第56讲 圆的方程
【基础知识回顾】
1、 圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(r＞0)
圆心C：(a，b)
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
圆心：
半径：r＝
2、 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A．
【答案】 B
【解析】：方程可化为(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1，由题意知，4m2－5m＋1＞0，解得m<或m>1，故选B．
2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3、圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
【答案】 D
【解析】 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
【答案】 (－，)
【解析】 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，
解得－
【答案】：(x－2)2＋y2＝10
【解析】：设圆心坐标为(a，0)，易知＝，
解得a＝2，∴圆心为(2，0)，半径为，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10．
6、已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，则圆C的方程为_______．
【答案】：(x－3)2＋(y－5)2＝37
【解析】：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23．
又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－(x－)，即5x＋7y－50＝0上，
由解得圆心为(3，5)，所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37．
考向一 圆的方程
例1、 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
【答案】 x2＋y2－2x＝0
【解析】 法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为，则圆C的方程为________.
【答案】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离
d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
变式1、 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
【答案】 C
【解析】 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立
解得
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
【答案】 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【解析】 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为
2x＋y＋4＝0，
联立
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
变式3、根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.
【解析】(1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．
因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
则解得所以C(2,1)，
所以r＝|CA|＝＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36， ④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
变式4、在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
【解析】：(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)，
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0．
(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1．
则圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
考向二 与圆有关的最值问题
例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【解析】(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为，∴的最大值为＋1，最小值为－1.
变式1、 若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
【解析】 (1)(方法1)令＝k，则kx－y－4k＝0.
∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即≤2，解得－≤k≤0，
∴的最大值为0，最小值为－.
(方法2)令＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，
∵上述方程有实数根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，解得－≤k≤0，∴的最大值为0，最小值为－.
(2)(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(方法2)设k＝3x－4y，即y＝x－，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，∵上述方程有实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(3)(方法1)先求出原点与圆心之间的距离d＝＝，根据几何意义，知x2＋y2的最大值为＝9＋4，最小值为＝9－4.
(方法2)由(1)的方法知，圆的方程中的x，y变为(α∈R)，
x2＋y2＝＋＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4sin(α＋φ)∴x2＋y2的最大值为9＋4，最小值为9－4.
变式2、 (2022·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________.
【答案】 12
【解析】由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12
方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
例3、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【解析】(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
变式1、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
变式2、设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解析】：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝．从而．
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
2、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
3、【2021年新高考2卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
4、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
【答案】(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,-1)，R=5，
⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5
5、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若过0,0，4,0，-1,1，则F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0，解得F=0D=-4E=-6，
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即x-22+y-32=13；
若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-4E=-2，
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5；
若过0,0，4,2，-1,1，则F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-83E=-143，
所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0，即x-432+y-732=659；
若过-1,1，4,0，4,2，则1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=-165D=-165E=-2，
所以圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0，即x-852+y-12=16925；
故答案为：x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；
6、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
【解析】 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r．则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2．∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1．
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1．
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则＝，即|x0－y0|＝1．∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1．
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3．
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1．∴∴r2＝3．
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3．综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3．
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