【备战2023高考】数学总复习——第01讲《椭圆》讲义（全国通用）

第01讲   椭圆

本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，

选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.

高频考点一  椭圆的定义及其应用

【例1】(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1　　　　　　　 B.＋＝1

C.－＝1   D.＋＝1

(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.

[答案]　(1)D　(2)3

[解析]　(1)设圆M的半径为r，

则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，

所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，

故所求的轨迹方程为＋＝1.

(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则

∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，

∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.

 【方法技巧】

椭圆定义的应用技巧

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．

【跟踪训练】

1．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】D

【解析】如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D.

2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

【答案】6＋　6－

【解析】椭圆方程化为＋＝1，

设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，

∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，

又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，

∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.

3．(一题多解)(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

【答案】(3，)

【解析】法一：不妨设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程＋＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，|F2M|＝4.设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，

则

解得x0＝3，y0＝，即M(3，)．

法二：依题意得|F1F2|＝|F1M|＝8，|F2M|＝4，

cos∠MF1F2＝＝，则sin∠MF1F2＝，

设M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，

∴y0＝|MF1|sin∠MF1F2＝8×＝.

又∵＋＝1，∴x0＝3，∴M点的坐标为(3，)．

高频考点二  椭圆的几何性质

【例2】(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

(2)(2020·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．

[答案]　(1)D　(2)

[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2c.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝c，|BF2|＝c，故|AB|＝a＋c＋c＝a＋2c，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4c，所以e＝＝.

(2)由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤ ，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.

 【方法技巧】

[解题技法]

求椭圆离心率的三种方法

1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．

考向(二)　与椭圆有关的范围(最值)问题

[例4]　(1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 (　　)

A．2  B．3

C．6  D．8

(2)P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　　)

A．[0,15]  B．[5,15]

C．[5,21]  D．(5,21)

[答案]　(1)C　(2)C

[解析]　(1)设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.

(2)由题意知圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5,21]．

 【方法技巧】

[解题技法]

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．

2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．

3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．

4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．

[跟踪训练]

【变式训练】

1.(2022·江西吉安一模)如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.

∵截面与底面成45°角，∴椭圆的长轴长为R，

∴椭圆的焦距为 ＝，

则e＝＝＝.

2．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．

答案：

解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3，所以b2＝3，即b＝.

 高频考点三   直线与椭圆的位置关系

【例3】 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1,5)  D．[1,5)∪(5，＋∞)

解析：选D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，

所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，

则0＜≤1且m≠5，

故m≥1且m≠5.

2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

 【方法技巧】

判断直线与椭圆位置关系的方法

(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

 高频考点四   弦长问题

【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

 【方法技巧】

1．弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|＝|x1－x2|；

②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；

③|AB|＝ ；

④|AB|＝ .

2．弦长公式的运用技巧

弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．

【变式训练】

1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)

A．±1　　　　　　　　 B．±

C.  D．±

解析：选A　由消去y并整理，

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意，得|AB|＝＝＝，

解得m＝±1.

2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．

解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，

所以b2＝22－1＝3，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，由得5x2＋8x＝0，

解得x1＝0，x2＝－，

所以y1＝，y2＝－.

所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.