【备战2023高考】数学总复习——第02讲《概率》讲义（全国通用）

第2讲   概率

本讲为高考命题热点，分值17分，题型以解答题为主，选择题多出现于高考前六题选择题中，或多选题前两个题，填空题的第一二题，相对来说较为简单，但近几年概率统计也与数列，导数等其他知识点结合，提高了难度，或者与现实生活结合，主要考查抽样，分层抽样，古典概型，频率分布直方图，分布列，独立性检验与回归方程等内容，需要一定的逻辑推理能力与运算求解能力。

高频考点一  排列组合

【例1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．

(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．

[答案]　(1)60　(2)24

[解析]　(1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.

(2)根据题意，分两种情况讨论：

①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C×C×C＝12(种)乘坐方式；

②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．

【例2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．

【答案】720

【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)．

【例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．

(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种．

(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

【答案】(1)90　(2)36　(3)360

【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法．

(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案．

(3)将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．

再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，

故共有60×6＝360种不同的分法．

【方法技巧】

解排列、组合问题要遵循的两个原则

(1)按元素(位置)的性质进行分类；

(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．

解定序排列问题的方法

定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．

对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.

分组、分配问题的求解策略

1．对不同元素的分配问题

(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．

(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．

(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．

高频考点二  古典概型

【例4】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

(2)(2022·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】(1)A　(2)C

【解析】(1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．故所求概率P＝＝，故选A.

(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝＝，P(B)＝＝，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，故选C.

【方法技巧】

1．古典概型的概率求解步骤

(1)求出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.

(3)代入公式P(A)＝求解．

2．基本事件个数的确定方法

(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．

(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．

(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．

(4)运用排列组合知识计算．

【变式训练】

1．(2022·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，选B.

2．(2022·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　从5名干部中随机选取2人有C＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有C＝3(种)选法，只选中B没选中A有C＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝＝，故选D.

3．(2022·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　依题意，从口袋中任取3个球，共有C＝20(种)不同的取法，

①当取得三个球颜色相同，则有C＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有CCC＝6种取法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－＝.

 高频考点三   超几何分布

【例5】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．

[解]　(1)由已知，有P(A)＝＝.

所以事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

 【方法技巧】

1．随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．

2．求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列．

【变式训练】

1．某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．

解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.

(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

所以随机变量X的分布列是

2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝＝.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

因此X的分布列为

 高频考点四   二项分布

【例6】1．某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．

解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.

(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

所以随机变量X的分布列是

2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝＝.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

因此X的分布列为

 【方法技巧】

　独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略

(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．

【变式训练】

1．(2019·江西省五校协作体试题)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．

(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；

(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．

解：(1)记Ai(i＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”．

由题设知P(A1)＝1－＝，P(A2)＝1－＝，P(A3)＝，

所以P(A)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－××＝.

(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－800，

且P(X＝1 600)＝C×4×0＝，

P(X＝1 000)＝C×3×＝，

P(X＝400)＝C×2×2＝，

P(X＝－200)＝C×1×3＝，

P(X＝－800)＝C×0×4＝.

故X的分布列为

2.(2019·河北省九校第二次联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．

(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；

(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．

解：(1)该小组恰有两次失败的概率P＝C24－2＝＝.

(2)由题意可知X的取值集合为{0,2,4}，

则P(X＝0)＝C24－2＝＝，

P(X＝2)＝C14－1＋C34－3＝＝，

P(X＝4)＝C4＋C4＝＝.

故X的分布列为

E(X)＝0×＋2×＋4×＝，即所求数学期望为.

(3)由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有C＝20(个)基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A＝12(个)，从而由古典概型可得所求概率P＝＝.