高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用获奖ppt课件

环节一  用空间向量研究距离问题

【引入新课】

问题1：立体几何中有哪些距离问题？

答案：两点间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间距离，点到平面距离，直线到平面距离，两个平行平面之间距离.

追问：你认为如何研究这些距离问题？

答案：两点问题是根本，点到直线的距离和点到平面的距离是基础，其他距离问题都可以转化为这两类问题.

【课堂探究】

1、用空间向量研究点到直线的距离.

已知一条直线l和直线l外一点P，求点P到直线l的距离.

问题2：问题中由哪些几何要素？如何用向量来表示这些几何要素？

答案：几何要素主要有点和直线；点用坐标P(x,y)表示，

直线用一个点和方向向量u表示.

问题3：点A是直线l上的定点，过点P做出点P到直线l

的距离PQ，向量与向量的关系是什么？

答案： .

问题4：你能借助直角三角形，用向量的方法求出点P到直线l的距离吗？

答案：由勾股定理得：

追问：

(1)、我们已知点A是直线l上的定点，若A点在直线l上的位置发生变化，距离PQ的向量表达式是否会随之发生改变？

(2)、在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P以及直线l，那么点A应该如何确定？

(3)、求解距离的过程中是否需要找出点在直线上的垂足以及垂线段？

答案：(1)不会；由于向量是向量的投影向量，无论点A在直线l上的任何位置，只要取定点A，向量，在中，距离因此，当点A在直线l上的位置发生变化时，距离PQ的向量表达式不会随之发生改变.

  (2)点A可以是直线l上的任意一点，但解决立体几何问题时，我们应该尽量选取能够使运算量更小的点A.

  (3)没有必要，只需求出参考向量的模的平方，投影向量的模的平方，再利用勾股定理就可以求出点到直线的距离.

2、用空间向量研究两平行线间的距离.

问题5：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？

答案：若直线l//m，求直线l与m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则直线l与m之间的距离就等于点P到直线m的距离.．

3、用空间向量研究点到平面的距离.

问题6：类似与直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？

答案：一个点和法向量.

问题7:你能做出点到面的距离，并从向量的角度解释一下吗？

答案：已知平面的法向量为n,A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作出平面的垂线l，交平面于点Q，点P到平面的距离即线段PQ的长，也可看作向量的模长.

追问：类比点到直线距离的研究过程，向量与向量的关系是什么？怎么表示？

答案：向量在平面的垂线l上的投影向量为，

问题8：点P到平面的距离应该怎样表示？

答案：

问题9：如果一条直线l与一个平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？

答案：将问题转化为求平面外一点到平面的距离. 

【知识应用】

例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.

(1)求点B到直线AC1的距离；

(2)求直线FC到平面AEC1的距离.

    分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离.

解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)，

（1）取a＝=(1，0，1)，u＝(1，1，1)则a2＝1，au＝．

所以，点B到直线AC1的距离为＝ ＝ ．

（2）因为=(-1，，0)，所以FC//EC1，所以FC//平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．

　　设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则

  所以，解得，

取z＝1，则x＝1，y＝2．所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．

又因为，所以点F到平面AEC1的距离为

，即直线FC到平面AEC1的距离为．

问题10:回顾用空间向量解决距离问题的过程，你能总结用向量解决立体几何问题的基本步骤吗？

答案：用向量法解决距离问题的 “三步曲”

（1）建立空间直角坐标系，求有关向量坐标——将几何问题转化为向量问题；

（2）使用距离的向量计算公式——向量的运算与求解；

（3）得到所求距离——回到几何图形，得到结论．

【小结】

  （1）点到直线的距离、点到平面的距离公式以及应用；

（2）求两平行直线间的距离、两平行平面间的距离的方法；

（3）用空间向量的方法解决立体几何问题的“三步曲”.