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沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课堂检测
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这是一份沪科版九年级上册21.4 二次函数的应用精品课堂检测，文件包含专题2111二次函数的应用面积问题重难点培优解析版docx、专题2111二次函数的应用面积问题重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.11二次函数的应用：面积问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•吴兴区校级期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．6
【分析】直接根据题意表示出矩形面积，进而求出答案．
【解析】设垂直于墙体的围栏长为x，
则平行于墙体的围栏长为：22﹣（3x﹣1）＝23﹣3x．
∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，
∴饲养室的长为23﹣3x+1＝24﹣3x．
∴饲养室的面积可表示为：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∴当x=-b2a=-242×(-3)=4时，
饲养室的面积最大．
∴利用墙体的长度为：24﹣3x＝12．
故选：B．
2．（2018秋•柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
【解析】∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米．
则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．
由题意可知，m≥628-m≥15，
解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2．
故选：C．
3．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴对称轴为x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
4．（2021•南岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．
【解析】由题意得y＝πx2，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，
故选：D．
5．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设AB为x米，则BC＝12﹣2x，即可求面积
【解析】
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
6．（2019秋•河西区期中）用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．63m B．15m C．20m D．103m
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，配方求最值．
【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），
S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，
所以当L＝15时，S有最大值；
故选：B．
7．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
=12×12×6-12（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
8．（2018秋•周村区期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（ ）
A．43m2 B．83m2 C．3m2 D．259m2
【分析】设宽为x米，则长为8-3x2米，可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，即可求解．
【解析】设宽为x米，则长为8-3x2米，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（平方米），
故这个窗户的最大采光面积是83平方米，
故选：B．
9．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．183m2 C．243m2 D．4532m2
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，由直角三角形的，性质得出BE=12BC＝6-12x，得出AD＝CE=3BE＝63-32x，AB＝AE+BE＝x+6-12x=12x+6，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE=12BC＝6-12x，
∴AD＝CE=3BE＝63-32x，AB＝AE+BE＝x+6-12x=12x+6，
∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63-32x）=-338x2+33x+183=-338（x﹣4）2+243，
∴当x＝4时，S最大＝243．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；
故选：C．
10．（2018秋•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2 ，32m2
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．
【解析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，由题意可知：
y＝x（20﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+50，且20﹣2x≥8，即x≤6，
∵墙长为15m，
∴20﹣2x≤15，
∴2.5≤x≤6，
∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为50m2；
当x＝2.5时，y取得最小值，最小值为37.5m2．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021•大东区一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为 1050平方米 ．
【分析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，由含x代数式表示出菜园面积，再将解析式配方求解．
【解析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
12．（2020秋•涟源市期末）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是 25 cm2．
【分析】：设矩形的长为xcm，则宽为（20÷2﹣x）cm，令矩形面积为ycm2，由题意列出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的顶点纵坐标值即为函数的最大值，可得答案．
【解析】设矩形的长为xcm，则宽为（20÷2﹣x）cm，令矩形面积为ycm2，由题意得：
y＝x（20÷2﹣x）
＝x（10﹣x）
＝﹣x2+10x
＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，y有最大值为25，
∴该矩形面积的最大值是25cm2．
故答案为：25．
13．（2020秋•昆明期末）用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是 36 cm2．
【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，
由题意得：
S＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣6）2+36，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．
故答案为：36．
14．（2020秋•天津期末）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2．
【分析】设：AB＝x，则BC＝24﹣x，则S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，求面积的最大值即可．
【解析】设：AB＝x，则BC＝24﹣x，
S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，
此函数的对称轴为：x=-b2a=-24-2×1=12，
∵a＝﹣1，故函数有最大值，
当x＝12时，函数取得最大值，
则：S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，
故：答案是144．
15．（2020秋•垦利区期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 14 m．
【分析】设平行于墙的材料长为x米，则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），表示出总面积S=13x（28﹣x）=-13（x2﹣28x）=-13（x﹣14）2+1963，即可求得．
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），
总面积S=13x（28﹣x）
=-13（x2﹣28x）
=-13（x﹣14）2+1963，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14m．
16．（2020秋•岑溪市期中）用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为 83m2 ．
【分析】设宽为xm，则长为8-3x2m，可得面积S＝x•8-3x2，即可求解．
【解析】设宽为xm，则长为8-3x2m，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（m2）．
故答案为：83m2．
17．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ 2 m时，绿地AEFG的面积最大．
【分析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得y关于x的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE•AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
18．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 16 ．
【分析】首先设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：
S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共6小题）
19．（2021春•五华区校级月考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）如图1，怎么才能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为xm，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．
【分析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），进而求解；
（2）证明AE＝3BE，则AB＝24-65BC，进而求解．
【解析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），
则矩形花圃的面积＝AB•CD＝x（30-12x）=-12x2+30x（0＜x≤30），
即12x2﹣30x+432＝0，解得x＝36（舍去）或24，
∴x＝24（m），
即当BC长度为24m时，能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
∵篱笆总长为60m，
∴2AB+GH+3BC＝60，
即2AB+12AB+3BC＝60，
∴AB＝24-65BC，
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
y＝BC•AB＝x（24-65x）=-65x2+24x，
∵AB＝24-65x＞0，解得x＜20，
∵墙的长度30m，则x≤30，
∴0＜x＜20，
∴y=-65x2+24x（0＜x＜20）．
由函数表达式知，其对称轴为直线x＝10，
当x＝10时，y取得最大值为120（m2）．
即x的取值范围为0＜x＜20，矩形区域ABCD的面积的最大值为120m2．
20．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．
【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，3x＜24+2，
∴5≤x263，
∴S＝﹣3x2+26x（5≤x263）；
（2））解不等式组x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
21．（2021•临安区模拟）某校一面墙RS（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的栅栏（A﹣B﹣C﹣D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1m，设AB＝xm．
（1）用含x的代数式表示：BC＝ （32﹣2x） m；PQ＝ （30﹣2x） m．
（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花圃的宽AB的值．
【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；
（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；
（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质，可得出花圃宽的范围．
【解析】（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，
∴BC＝32﹣2x，
∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，
∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，
故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；
（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，
∵长方形EPQG的面积等于96m2，
∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），
解得x1＝7，x2＝9，
∴AB的长为7m或9m；
（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+30﹣2x＝28（m2），
乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；
设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，
∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，
当x＝8时，y有最大值7800，
所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花圃的宽AB是8m．
22．（2021春•越秀区校级月考）投资1万元围成一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm．
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）若菜园的面积为384m2，求x的值．
（3）求菜园的最大面积．
【分析】（1）根据“垂直于墙的长度=总费用-平行于墙的总费用垂直于墙的单价÷2”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解析】（1）根据题意知，y=10000-200x2×150=-23x+1003（0＜x≤24）；
（2）根据题意，得：（-23x+1003）x＝384，
解得：x＝18或x＝32，
∵墙的长度为24m，
∴x＝18；
（3）设菜园的面积是S，
则S＝（=-23x+1003）x
=-23x2+100xx
=-23（x﹣25）2+12503，
∵-23＜0，
∴当x＜25时，S随x的增大而增大，
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为416m2．
23．（2019春•鼓楼区校级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏（BC边留一个2米宽的门）．
（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，根据题意得方程即可得到结论；
（2）设AD＝xm，根据题意得函数解析式S=12x（46﹣x+2）=-12（x﹣24）2+288，当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；当0＜a＜24时，于是得到结论．
【解析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，
根据题意得x（46﹣2x+2）＝280，解得x1＝10，x2＝14，
当x＝10时，46﹣2x+2＝28＞26，不合题意舍去；
当x＝14时，46﹣2x+2＝20，
答：AD的长为20m；
（2）设AD＝xm，
∴S=12x（46﹣x+2）=-12（x﹣24）2+288，
当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；
当0＜a＜24时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为24a-12a2，
综上所述，当a≥24时，S的最大值为288m2；当0＜a＜24时，S的最大值为（24a-12a2）m2．
24．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W＝kx2（k≠0）．将x＝3时，W＝3代入，求出k=13，即可得出W与x的函数关系式；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，将（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；
②根据Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×13x2，求解即可．
【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题21.11二次函数的应用：面积问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•吴兴区校级期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．13 B．12 C．8 D．6
【分析】直接根据题意表示出矩形面积，进而求出答案．
【解析】设垂直于墙体的围栏长为x，
则平行于墙体的围栏长为：22﹣（3x﹣1）＝23﹣3x．
∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，
∴饲养室的长为23﹣3x+1＝24﹣3x．
∴饲养室的面积可表示为：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．
∴当x=-b2a=-242×(-3)=4时，
饲养室的面积最大．
∴利用墙体的长度为：24﹣3x＝12．
故选：B．
2．（2018秋•柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
【解析】∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米．
则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．
由题意可知，m≥628-m≥15，
解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2．
故选：C．
3．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴对称轴为x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
4．（2021•南岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．
【解析】由题意得y＝πx2，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，
故选：D．
5．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设AB为x米，则BC＝12﹣2x，即可求面积
【解析】
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
6．（2019秋•河西区期中）用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．63m B．15m C．20m D．103m
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，配方求最值．
【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），
S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，
所以当L＝15时，S有最大值；
故选：B．
7．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
=12×12×6-12（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
8．（2018秋•周村区期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（ ）
A．43m2 B．83m2 C．3m2 D．259m2
【分析】设宽为x米，则长为8-3x2米，可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，即可求解．
【解析】设宽为x米，则长为8-3x2米，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（平方米），
故这个窗户的最大采光面积是83平方米，
故选：B．
9．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．183m2 C．243m2 D．4532m2
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，由直角三角形的，性质得出BE=12BC＝6-12x，得出AD＝CE=3BE＝63-32x，AB＝AE+BE＝x+6-12x=12x+6，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，
则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，
∴BE=12BC＝6-12x，
∴AD＝CE=3BE＝63-32x，AB＝AE+BE＝x+6-12x=12x+6，
∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63-32x）=-338x2+33x+183=-338（x﹣4）2+243，
∴当x＝4时，S最大＝243．
即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；
故选：C．
10．（2018秋•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A．48m2，37.5m2 B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2 D．48m2 ，32m2
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．
【解析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，由题意可知：
y＝x（20﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+50，且20﹣2x≥8，即x≤6，
∵墙长为15m，
∴20﹣2x≤15，
∴2.5≤x≤6，
∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为50m2；
当x＝2.5时，y取得最小值，最小值为37.5m2．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021•大东区一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为 1050平方米 ．
【分析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，由含x代数式表示出菜园面积，再将解析式配方求解．
【解析】设AB为x米，则BC＝（100﹣2x）米，矩形菜园ABCD面积为y．
由题意得：y＝x（100﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+1250，
∵0＜100﹣2x≤30，
∴35≤x＜50
∴当x＝35时，y＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值，
故答案为：1050平方米．
12．（2020秋•涟源市期末）用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是 25 cm2．
【分析】：设矩形的长为xcm，则宽为（20÷2﹣x）cm，令矩形面积为ycm2，由题意列出y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的顶点纵坐标值即为函数的最大值，可得答案．
【解析】设矩形的长为xcm，则宽为（20÷2﹣x）cm，令矩形面积为ycm2，由题意得：
y＝x（20÷2﹣x）
＝x（10﹣x）
＝﹣x2+10x
＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，y有最大值为25，
∴该矩形面积的最大值是25cm2．
故答案为：25．
13．（2020秋•昆明期末）用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是 36 cm2．
【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，
由题意得：
S＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣6）2+36，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．
故答案为：36．
14．（2020秋•天津期末）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2．
【分析】设：AB＝x，则BC＝24﹣x，则S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，求面积的最大值即可．
【解析】设：AB＝x，则BC＝24﹣x，
S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x，
此函数的对称轴为：x=-b2a=-24-2×1=12，
∵a＝﹣1，故函数有最大值，
当x＝12时，函数取得最大值，
则：S矩形花园ABCD＝AB•BC＝x（24﹣x）＝﹣x2+24x＝﹣144+24×12＝144，
故：答案是144．
15．（2020秋•垦利区期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 14 m．
【分析】设平行于墙的材料长为x米，则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），表示出总面积S=13x（28﹣x）=-13（x2﹣28x）=-13（x﹣14）2+1963，即可求得．
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），
总面积S=13x（28﹣x）
=-13（x2﹣28x）
=-13（x﹣14）2+1963，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14m．
16．（2020秋•岑溪市期中）用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为 83m2 ．
【分析】设宽为xm，则长为8-3x2m，可得面积S＝x•8-3x2，即可求解．
【解析】设宽为xm，则长为8-3x2m，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（m2）．
故答案为：83m2．
17．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ 2 m时，绿地AEFG的面积最大．
【分析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得y关于x的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE•AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
18．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 16 ．
【分析】首先设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：
S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共6小题）
19．（2021春•五华区校级月考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）如图1，怎么才能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为xm，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．
【分析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），进而求解；
（2）证明AE＝3BE，则AB＝24-65BC，进而求解．
【解析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），
则矩形花圃的面积＝AB•CD＝x（30-12x）=-12x2+30x（0＜x≤30），
即12x2﹣30x+432＝0，解得x＝36（舍去）或24，
∴x＝24（m），
即当BC长度为24m时，能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
∵篱笆总长为60m，
∴2AB+GH+3BC＝60，
即2AB+12AB+3BC＝60，
∴AB＝24-65BC，
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
y＝BC•AB＝x（24-65x）=-65x2+24x，
∵AB＝24-65x＞0，解得x＜20，
∵墙的长度30m，则x≤30，
∴0＜x＜20，
∴y=-65x2+24x（0＜x＜20）．
由函数表达式知，其对称轴为直线x＝10，
当x＝10时，y取得最大值为120（m2）．
即x的取值范围为0＜x＜20，矩形区域ABCD的面积的最大值为120m2．
20．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．
【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，3x＜24+2，
∴5≤x263，
∴S＝﹣3x2+26x（5≤x263）；
（2））解不等式组x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
21．（2021•临安区模拟）某校一面墙RS（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的栅栏（A﹣B﹣C﹣D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1m，设AB＝xm．
（1）用含x的代数式表示：BC＝ （32﹣2x） m；PQ＝ （30﹣2x） m．
（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花圃的宽AB的值．
【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；
（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；
（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质，可得出花圃宽的范围．
【解析】（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，
∴BC＝32﹣2x，
∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，
∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，
故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；
（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，
∵长方形EPQG的面积等于96m2，
∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），
解得x1＝7，x2＝9，
∴AB的长为7m或9m；
（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+30﹣2x＝28（m2），
乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；
设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，
∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，
当x＝8时，y有最大值7800，
所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花圃的宽AB是8m．
22．（2021春•越秀区校级月考）投资1万元围成一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm．
（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）若菜园的面积为384m2，求x的值．
（3）求菜园的最大面积．
【分析】（1）根据“垂直于墙的长度=总费用-平行于墙的总费用垂直于墙的单价÷2”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解析】（1）根据题意知，y=10000-200x2×150=-23x+1003（0＜x≤24）；
（2）根据题意，得：（-23x+1003）x＝384，
解得：x＝18或x＝32，
∵墙的长度为24m，
∴x＝18；
（3）设菜园的面积是S，
则S＝（=-23x+1003）x
=-23x2+100xx
=-23（x﹣25）2+12503，
∵-23＜0，
∴当x＜25时，S随x的增大而增大，
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为416m2．
23．（2019春•鼓楼区校级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏（BC边留一个2米宽的门）．
（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，根据题意得方程即可得到结论；
（2）设AD＝xm，根据题意得函数解析式S=12x（46﹣x+2）=-12（x﹣24）2+288，当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；当0＜a＜24时，于是得到结论．
【解析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，
根据题意得x（46﹣2x+2）＝280，解得x1＝10，x2＝14，
当x＝10时，46﹣2x+2＝28＞26，不合题意舍去；
当x＝14时，46﹣2x+2＝20，
答：AD的长为20m；
（2）设AD＝xm，
∴S=12x（46﹣x+2）=-12（x﹣24）2+288，
当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；
当0＜a＜24时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为24a-12a2，
综上所述，当a≥24时，S的最大值为288m2；当0＜a＜24时，S的最大值为（24a-12a2）m2．
24．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W＝kx2（k≠0）．将x＝3时，W＝3代入，求出k=13，即可得出W与x的函数关系式；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，将（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；
②根据Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×13x2，求解即可．
【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
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