4.5.3 函数模型的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数模型的应用

1 各种函数的增速

(1)一次函数的增长速度

一次函数在区间上是增函数，其增长的速度不变，越大，其增长得越快．

当时，越大，其增长得越快．

比如比增长得快.

(2) 幂函数的增长速度

幂函数在区间上是增函数，其增长速度较快，指数越大，增长速度越快．

如比的增长速度更快.当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。

(3) 对数函数的增长速度

对数函数在区间上是增函数，其增长的速度较慢，随着的增大，的图象类似于与轴平行一样，如图所示．

其底数越小，增长的速度越快．科网]

如比的增长速度更快.当时，的函数值比大；当时，的函数值比小，并且越来越小。

(4) 指数函数的增长速度

指数函数在区间上是增函数，其增长速度最快．

其底数越大，增长的速度越快．

如比的增长速度更快。当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。

(5) 几类不同增长的函数模型的比较

(1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较

如，

三个函数在上都是增函数，但它们的增速不一样，

我们列表看看，

在同一坐标系内，作出函数图象，如下图，

由图和表，易知对数函数增长得很慢，指数函数增长得很快，比幂函数更快.而当时，的函数值有些比小；当时，的函数值比大，且相差越来越大.

综上所述，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，总会存在一个，当，就有．

【例】当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)

A．     B．    C．       D．

解 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当越来越大时，函数增长速度最快．故选.

2 函数模型

(1)函数模型

(2)函数模型解决实际问题

通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：

第一步：收集数据．

第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图．

第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．

第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．

第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．

【题型1】不同函数模型的认识

【典题1】 某市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：

用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

        ．   

【解析】方法 由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有满足要求．故选．

方法 作出散点图，如图，

由函数拟合可知只有满足要求．故选．

方法 由表可知：是关于的增函数；故不适合；

对于：，，；故不接近；

对于：，

，．故接近；

对于：

，故不接近．

故选．

【点拨】

判断最佳函数模型，方法如下

① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；

② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；

③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除.

【巩固练习】

1.试探究下列三个函数，当足够大后，其增长速度最快的是　  　．

①   ②         ③．

答案  ③

解析 当足够大时，函数，是幂函数，其增长速度相比较不是最快的；

函数，是对数函数，其增长速度相比较是最慢的；

函数，是指数函数，且底数大于，其增长速度相比较是最快的．

故答案为：③．

2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：

则，的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中为待定系数)(　　)

A．       B．      C．    D．

答案 

解析  散点图如图所示：

由散点图可知，此函数图象不是直线，排除选项；此函数图象是“上升”的，

因此该函数为增函数，排除选项，故选择．

3.某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数(正常情况，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是(　　)

         ．

．      ．

答案 

解析 由题意知：

拟定函数应满足①是单调增函数，且先慢后快；

②在左右增长缓慢，最小值为；

中，是先递减后增加，不符合要求；

中，是指数函数类型，是增长越来越快的，不符合要求；

中，是的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求

中，是对数函数类型，增长速度越来越慢，不符合要求；

故选：．

【题型2】不同函数模型的应用

【典题1】牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时分钟，那么水温从降至，大约还需要　　(参考数据：)

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

【解析】由题意可得，，

，

，两边取常用对数得，

，

水温从降至，大约还需要分钟，

故选：．

【点拨】求解指数幂的方程，两边取对数是常用方法.

【典题2】假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的解析式；

(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．

【解析】(1)由题意可设，

当时，；当时，，

，解得：，

；

(2)由题意可设，

当时，，，，

；

(3)表中数据如下：

在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：

有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；

呈指数型增长，增长速度较快．

【典题3】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

求森林面积的年增长率；

到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？

(参考数据：

【解析】(1)设森林面积的年增长率为，则，解得，

森林面积的年增长率为1；

(2)设已经植树造林年，则由题意可知，

，，

已经植树造林年；

(3)设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则，

，，

，

故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年．

【巩固练习】

1.(多选)边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数 (单位：元)，其成本函数为 (单位，元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是　　

A．取得最大值时每月产量为台 

B．边际利润函数的表达式为 

C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 

D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少

答案 

解析 对于，，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

，

取得最大值时每月产量为台或台，故错误，

对于，，故正确，

对于，，

函数为减函数，则，故正确，

对于，因为函数为减函数，

说明边际函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故正确．

故选：．

2.(多选)为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒．当教室内每立方米药物含量超时能有效杀灭病毒．已知教室内每立方米空气中的含药量 (单位：随时间 (单位：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比：药物释放完毕后，与的函数关系式为：为常数)，则下列说法正确的是　　

A．当时， 

B．当时， 

C．教室内持续有效杀灭病毒时间为小时 

D．喷洒药物分钟后才开始有效灭杀病毒

答案 

解析 对于，在药物释放过程中，设，

将点代入，解得，

故当时，，故正确，

对于，药物释放完毕后，与的函数关系式为：为常数)，

将点代入为常数)，解得，

故时，，故正确，

对于，令，解得，故错误，

对于，令，解得小时，即分钟，故正确，

故选：．

3.某地野生微甘菊的面积与时间的函数关系的图象，如图所示假设其关系为指数函数，并给出下列说法

①此指数函数的底数为；

②在第个月时，野生微甘菊的面积就会超过；

③设野生微甘菊蔓延到所需的时间分别为，则有；

④野生微甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度

其中正确的说法有　    　 (请把正确说法的序号都填在横线上)．

答案  ①②③

解析  其关系为指数函数，图象过点，

指数函数的底数为，故①正确，

当时，，故②正确

，

有，故③正确，

根据图象的变化快慢不同知④不正确，

综上可知①②③正确．

4.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．

(1)求的值；   (2)你认为谁选择的模型好．

答案  (1) ，，， ，，．  (2) 乙模型

解析  (1)由甲模型：令，

可得：，，，

解得，，．

由乙模型：设，

可得：，，，

解得，，．

(2)由 (1)可得：，

，

，

；

由乙模型可得：，

，，．

可得：、、比、、更接近真实值．

5.某企业拟共用万元投资甲、乙两种商品．已知各投入万元，甲、乙两种商品可分别获得万元的利润，利润曲线如图，仔细观察图象，为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获最大利润．

答案  对甲产品投资万元，对乙产品投资万元时，可获最大利润万元

解析 投资为万元，

甲、乙两产品获得的利润分别为万元，

由题意，

又由图知，；

解得 甲，，

再设对甲产品投资万元，则对乙产品投资万元，

记企业获取的利润为万元，

则

设 ，则

，当也即时，取最大值

答：对甲产品投资万元，对乙产品投资万元时，可获最大利润万元．