11.3.3　平面与平面平行

知识点1　两个平面的位置关系

如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

[提示]　如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)没有公共点的两平面平行．  (　　)

(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． (　　)

(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．                             (　　)

[提示]　(1)由平面与平面平行的定义知正确．

(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．

(3)两平面可能相交．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

知识点2　平面与平面平行的判定定理与推论

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．

2．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

B．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

A　[如图，正方体EFGH­E1F1G1H1，EE1∥GG1，EE1＝GG1，

所以四边形EE1G1G是平行四边形，E1G1∥EG，

因为E1G1⊄平面EGH1，

EG⊂平面EGH1，所以E1G1∥平面EGH1，

同理G1F∥平面EGH1．

因为E1G1∩G1F＝G1，E1G1，G1F⊂平面E1FG1，

所以平面E1FG1∥平面EGH1．故选A．]

知识点3　平面与平面平行的性质定理

推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

[拓展]

两平面平行还有以下性质

(1)证明线面平行的常用方法：α∥β，a⊂β⇒a∥α．

(2)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等．

(3)经过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行．

(4)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．

3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是(　　)

A．两两相互平行

B．两两相交于一点

C．两两相交但不一定交于同一点

D．两两相互平行或交于同一点

A　[根据面面平行的性质，知四条直线两两互相平行．]

类型1　平面与平面平行的判定

【例1】　(对接教材P104例1)已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF．

[思路探究]　由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF．

[证明]　因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD．

因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，

所以BC∥平面ADF．

因为四边形ABEF是菱形，

所以BE∥AF．

因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

所以BE∥平面ADF．

因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，

所以平面BCE∥平面ADF．

常见面面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理法：转化为线面平行；

(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行；

(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论．

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．

[证明]　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

所以MQ∥AD，NQ∥BP．

又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

所以NQ∥平面PBC．

因为四边形ABCD为平行四边形．所以BC∥AD，所以MQ∥BC．又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC．

又因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC．

类型2　面面平行的性质定理的应用

1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？

[提示]　如图，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1．

∴直线EG∥平面BDD1B1．

2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1．

[提示]　连接SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1．又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．

【例2】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________．

[思路探究]　面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．

　[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝．所以BD＝．]

1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．

[解]　与本例同理，可证AB∥CD．

所以＝，即＝，所以BD＝24．

2．将本例改为：如图所示，平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F．

已知AB＝6，＝，求AC．

[解]　由题图可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15．

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

类型3　平行关系的综合应用

【例3】　已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，证明你的结论，并说出点F的位置．若不存在，请说明理由．

[解]　存在点F，当F为PC中点时，BF∥平面AEC，

证明如下：

如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF．因为BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BG∥平面AEC．同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G．所以平面BGF∥平面AEC．所以BF∥平面AEC．因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点．

又因为PE∶ED＝2∶1，所以G是PE的中点．而GF∥CE，所以F为PC的中点．综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC．

本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在，请找出E点位置；若不存在，请说明理由”，该如何解决？

[解]　如图，连接AC，BD交于点O，取PD的中点为E，连接OE，AE，CE，则在△PBD中，OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．此时E为PD中点，故当E为PD的中点时，能使PB∥平面ACE．

空间中线、面平行关系的转化

线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达．

2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF．

[解]　如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE．

因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF．所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF．又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF．又PQ∩PB＝P，PQ，PB⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF．又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF．故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF．

1．下列说法中正确的个数为(　　)

①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．

A．0　　　　B．1 　　　　C．2　　　　D．3

B　[一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，这两个平面可能相交，可能平行，①说法错误；一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，这两个平面可能相交，可能平行，②说法错误；易知③说法正确．]

2．已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．平行或相交

A　[如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，

因为a∥β，所以a∥c，又a⊂α，c⊄α，所以c∥α，

因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，c⊂β，b⊂β，

所以α∥β．]

3．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(　　)

A．若α与β相交，a⊂α，b⊂β，则a与b一定相交

B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

D　[A错误，a与b可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]

4．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_______．

平行　[由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC．又因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC．]

5．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

平行四边形　[因为平面ABFE∥平面CDHG，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面CDHG＝HG，

所以EF∥HG．同理EH∥FG，

所以四边形EFGH的形状是平行四边形．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？

[提示]　不一定，这无数条直线中可能任何两条都不相交，即全部平行．举反例如下图：

2．对平面与平面平行的判定定理你是怎样理解的？

[提示]　(1)定理作用：把判定面面平行问题转化为判定线面平行问题，即要证明面面平行，需证线面平行．

(2)面面平行判定定理的必备条件：

①平面内的两条直线与另一平面平行；

②这两条直线必须是相交直线．

3．两平面平行的相关性质有哪些？

[提示]　(1)若两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行．这条性质给我们提供了证明线面平行的另一种方法，也可以作为判定定理运用．

(2)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．

(3)平行平面具有传递性，即平行于同一个平面的两个平面平行．该性质同时也是面面平行的一种判定方法．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．