2022-2023学年上学期淮安市八年级数学期中全真模拟卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上学期淮安市八年级数学期中全真模拟卷（含解析），共31页。

 2022-2023学年上学期淮安市八年级数学期中全真模拟卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 考试范围：第1章-第3章
姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分





评卷人
得 分


一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2019•重庆模拟）下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2019春•崂山区期末）如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为（　　）

A．60° B．63° C．67° D．70°
3．（3分）（2021春•锦江区校级期末）下列命题中正确的命题有（　　）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）（2019春•花都区期中）如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
5．（3分）（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
6．（3分）（2018秋•武威期中）如图，△OCA≌△OBD，∠1＝35°，∠B＝115°，则∠A＝（　　）

A．70° B．45° C．35° D．30°
7．（3分）（2019秋•通道县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若BC＝4cm，△PBC的周长为10cm，则AB的长是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（3分）（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N


评卷人
得 分


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2017秋•罗江区校级期中）小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上的普通时钟如图所示，则此时的时间是　 　．

10．（3分）（2002•湘西州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，则c＝　 　，斜边上的中线长为　 　．
11．（3分）（2020秋•无棣县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为　 　米．

12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝10，则b的值为 　 　．
13．（3分）（2016秋•正定县期中）如图，AC⊥BD，垂足为点B，点E为BD上一点，BC＝BE，∠C＝∠AEB，AB＝6cm，则图中长度为6cm的线段还有　 　．


14．（3分）（2020•新田县一模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，则△ABE的面积为　 　．

15．（3分）（2013秋•西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．
（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；
（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为　 　．

16．（3分）（2019•沙坪坝区模拟）如图，把一张矩形纸片折叠，点A与点C重合，折痕为EF，再将△CDF沿CF折叠，点D恰好落在EF上的点M处，若BC＝6厘米，则EF的长为　 　厘米．








评卷人
得 分


三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（8分）（2020秋•越秀区校级期中）点E、F在BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：AE∥DF．




18．（8分）（2011秋•双峰县期末）如图所示，E，F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AC与BD互相平分．











19．（8分）（2020秋•淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．




20．（10分）（2016秋•江门期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求证：∠CAD＝∠CBF；
（3）在（2）的条件下，连接CE，若∠BAC＝45°，判断△CFE的形状，并说明理由．






21．（8分）（2018秋•邗江区期末）已知：如图，方格纸中格点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（﹣3，2）．
（1）请在方格内画出平面直角坐标系；
（2）已知点A与点C关于y轴对称，点B与点D关于x轴对称，请描出点C、D的位置．
（3）若点P是y轴上的一个动点，则PA+PB的最小值为　 　．（直接写出结果）




22．（10分）（2021秋•亭湖区期末）一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面24m．
（1）这架云梯的底端距墙角有多远？
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向滑动了多少m？









23．（10分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝∠DBC＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？





24．（10分）（2020秋•中山市期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．




25．（10分）（2021春•普陀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）当AC＝30cm，BD＝34cm时，求MN的长．

26．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D是AC边上的一个动点，点E为BC延长线上的点，且CE＝AD，过点D作BC的垂线，交BC于点F
（1）观察发现
如图①，若点D是AC的中点，则DB与DE的数量关系为　 　，BF和EF的数量关系为　 　；
（2）探究证明
如图②，若点D是AC边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
如图③，若点G和点B关于AC对称，延接CG，DG，若＝4，请直接写出的值．















27．（10分）（2021秋•盱眙县期中）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是边CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系，请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为　 　，点E落在　 　，容易得出BE与DE之间的数量关系为　 　；
（2）当点D是BC上任意一点（不与点B，C重合）时，结合图1，研究（1）中线段BE与DE之间的数量关系是否与成立，并证明你的结论；
（3）如图3，在直线BC上有一点P，使△PAB为等腰三角形，请找出这样的点P，并直接写出∠APB的度数．


答案与解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2019•重庆模拟）下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．（3分）（2019春•崂山区期末）如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为（　　）

A．60° B．63° C．67° D．70°
解：∵在△ABE中，BA＝BE，F为AE中点，∠ABC＝34°，
∴∠DBC＝17°，
∵∠C＝50°，
∴∠ADB＝67°．
故选：C．
3．（3分）（2021春•锦江区校级期末）下列命题中正确的命题有（　　）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；
②错误；这是对线段垂直平分线的误解；
③有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA＝PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图
⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；
故选：A．

4．（3分）（2019春•花都区期中）如果a，b，c是直角三角形的三边长，那么2a，2b，2c为边长的三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
解：∵a，b，c是直角三角形的三边长，设c为斜边，
∴a2+b2＝c2，
又∵（2a）2+（2b）2＝4（a2+b2），（2c）2＝4c2，
∴（2a）2+（2b）2＝（2c）2，
即2a，2b，2c为边长的三角形是直角三角形，
故选：A．
5．（3分）（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS
解：在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：B．
6．（3分）（2018秋•武威期中）如图，△OCA≌△OBD，∠1＝35°，∠B＝115°，则∠A＝（　　）

A．70° B．45° C．35° D．30°
解：∵△OCA≌△OBD，∠1＝35°，∠B＝115°，
∴∠C＝∠B＝115°，
∴∠A＝180°﹣35°﹣115°＝30°．
故选：D．
7．（3分）（2019秋•通道县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点，若BC＝4cm，△PBC的周长为10cm，则AB的长是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
解：∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP＝BP，
∵△PBC的周长为10cm，
∴BP+PC+BC＝AP+PC+BC＝AC+BC＝10（cm），
∵BC＝4cm，
∴AB＝AC＝6（cm），
故选：D．
8．（3分）（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，

∵2022÷6＝337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）（2017秋•罗江区校级期中）小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上的普通时钟如图所示，则此时的时间是　11：55　．

解：由图中可以看出，此时的时间为：11：55．
故答案为：11：55．

10．（3分）（2002•湘西州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，则c＝　5　，斜边上的中线长为　2.5　．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4
∴c＝5
∴斜边上的中线长为2.5
11．（3分）（2020秋•无棣县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC＝CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为　20　米．

解：在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝20米．
故答案为：20．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝10，则b的值为 　　．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，c＝10，a2+b2＝c2，
b＝．
故答案为：．
13．（3分）（2016秋•正定县期中）如图，AC⊥BD，垂足为点B，点E为BD上一点，BC＝BE，∠C＝∠AEB，AB＝6cm，则图中长度为6cm的线段还有　BD　．

解：图中长度为6cm的线段还有BD，
理由：∵AC⊥BD，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在△ABE与△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB＝6cm．
故答案为：BD．
14．（3分）（2020•新田县一模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，则△ABE的面积为　4　．

解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝60°，BA＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4，
∴△ABE的面积＝×4×2＝4，
故答案为：4．
15．（3分）（2013秋•西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．
（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；
（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为　（5，0）　．

解：（1）如图所示；

（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6＝335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
∴点P的坐标为（5，0）．
故答案为（5，0）．

16．（3分）（2019•沙坪坝区模拟）如图，把一张矩形纸片折叠，点A与点C重合，折痕为EF，再将△CDF沿CF折叠，点D恰好落在EF上的点M处，若BC＝6厘米，则EF的长为　4　厘米．

解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝6cm，∠D＝90°，AD∥BC
∵把一张矩形纸片折叠，点A与点C重合，
∴AF＝CF，∠AFE＝∠EFC
∵将△CDF沿CF折叠，点D恰好落在EF上的点M处，
∴CD＝CM，∠D＝∠FMC＝90°，FD＝FM，∠DFC＝∠MFC
∴∠AFE＝∠EFC＝∠DFC，且∠AFE+∠EFC+∠DFC＝180°
∴∠AFE＝∠EFC＝∠DFC＝60°，
∴∠FCD＝30°
∴FC＝2FD，
∴AF＝2FD，
∴FD＝2cm，AF＝4cm＝FC，
∵AD∥BC
∴∠AFE＝∠FEC＝60°，且∠EFC＝60°
∴△EFC是等边三角形
∴EF＝FC＝4cm
故答案为：4

三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（8分）（2020秋•越秀区校级期中）点E、F在BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：AE∥DF．

证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥DF．
18．（8分）（2011秋•双峰县期末）如图所示，E，F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AC与BD互相平分．

解：（1）在△ABE和△CDF中，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
又∵AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠B＝∠D，
又∵∠AOB＝∠COD，
∠BAO＝180°﹣∠B﹣∠AOB，∠DCO＝180﹣∠D﹣∠COD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AO＝CO，BO＝DO，
故AC与BD互相平分．

19．（8分）（2020秋•淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于点F，试判断AE与BD的数量关系及位置关系，并证明你的结论．
（2）若△ECD绕顶点C顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（1）AE⊥BD，AE＝BD，
证明：在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；

（2）解：结论还成立，
理由是：∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AOC＝90°，
∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，
∴∠DBC+∠BOE＝90°，
∴∠BFO＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD．
20．（10分）（2016秋•江门期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求证：∠CAD＝∠CBF；
（3）在（2）的条件下，连接CE，若∠BAC＝45°，判断△CFE的形状，并说明理由．

证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；

（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠CBF；

（3）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴EF＝CF，
∵∠CFE＝90°，
∴△CFE为等腰直角三角形．
21．（8分）（2018秋•邗江区期末）已知：如图，方格纸中格点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（﹣3，2）．
（1）请在方格内画出平面直角坐标系；
（2）已知点A与点C关于y轴对称，点B与点D关于x轴对称，请描出点C、D的位置．
（3）若点P是y轴上的一个动点，则PA+PB的最小值为　　．（直接写出结果）

解：（1）如图所示：


（2）如图所示，点C与点D即为所求；

（3）连接BC，交y轴于点P，即为所求，
由轴对称的性质知PA＝PC，
则PB+PA＝PB+PC＝BC＝＝，
故答案为：．
22．（10分）（2021秋•亭湖区期末）一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面24m．
（1）这架云梯的底端距墙角有多远？
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向滑动了多少m？

解：（1）在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2＝AD2，
即DE2+242＝252，
∴DE＝＝7（m），
答：这架云梯的底端距墙角有7 m远；
（2）∵云梯的顶端A下滑了4m至点A′，
∴A′E＝AE﹣AA′＝24﹣4＝20（m），
在Rt△A′ED′中，由勾股定理得A′E2+D′E2＝A′D′2，
即202+D′E2＝252，
∴D′E＝＝15（m），
∴DD′＝ED′﹣ED＝15﹣7＝8（m），
答：梯子的底端在水平方向也滑动了8m．

23．（10分）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝∠DBC＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

解：在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
∴BD＝5，
∵∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝AD•AB+DB•BC
＝×4×3+×12×5＝36（m2）．
36×200＝7200（元），
答：学校需要投入7200元买草皮．
24．（10分）（2020秋•中山市期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．

解：（1）如图，BG即为所求；

（2）如图，∵BG平分∠ABC，
过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，
∴GD＝GE，
∵AB＝8，△ABG的面积为18，
∴GD＝，
∵BC＝12，GE＝GD＝，
∴△CBG的面积为12×＝27．
25．（10分）（2021春•普陀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）当AC＝30cm，BD＝34cm时，求MN的长．

解：（1）如图，连接AM，CM，
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，点M是BD的中点，
∴AM＝BD，CM＝BD，
∴AM＝CM，
∵点N是AC的中点，
∴MN⊥AC；
（2）∵BD＝34cm，
∴AM＝CM＝BD＝17cm，
∵AC＝30cm，
∴AN＝AC＝15cm，
由（1）知，MN⊥AC，
∴MN＝＝＝8．

26．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D是AC边上的一个动点，点E为BC延长线上的点，且CE＝AD，过点D作BC的垂线，交BC于点F
（1）观察发现
如图①，若点D是AC的中点，则DB与DE的数量关系为　DB＝DE　，BF和EF的数量关系为　BF＝EF　；
（2）探究证明
如图②，若点D是AC边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
如图③，若点G和点B关于AC对称，延接CG，DG，若＝4，请直接写出的值．
解：（1）如图①中，结论：BE＝DE，BF＝EF．
理由：如图①中，

∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，
∵AD＝CE，
∴CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE，
∵DF⊥BE，
∴BF＝EF．
故答案为BE＝DE，BF＝EF．

（2）结论仍然成立．
理由：如图②中，过D作DH∥BC，交AB于H，

则∠ADH＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AFH是等边三角形，
∴AD＝DH＝AH，∠AHD＝60°，
∴∠BHD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∵AB＝AC．AD＝AH，
∴BH＝CD，
∵DH＝AD＝CE，
∴△BHD≌△DCE（SAS），
∴DB＝DE，
∵DF⊥BE，
∴BF＝EF．

（3）如图③中，

∵B，G关于AC对称，
∴△BDC≌△GDC，
∴S△BDC＝S△GDC，
∵S△GDC＝4S△ABD，
∴S△BDC＝4S△ABD，
∴CD＝4AD，
∵AD＝CE，
∴BE＝6CE，
∴S△BDE＝6S△CDE，
∴＝．
27．（10分）（2021秋•盱眙县期中）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是边CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点E在∠ACB的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系，请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC的度数为　60°　，点E落在　AB中点处　，容易得出BE与DE之间的数量关系为　BE＝DE　；
（2）当点D是BC上任意一点（不与点B，C重合）时，结合图1，研究（1）中线段BE与DE之间的数量关系是否与成立，并证明你的结论；
（3）如图3，在直线BC上有一点P，使△PAB为等腰三角形，请找出这样的点P，并直接写出∠APB的度数．

解：（1）如图2，
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E落在AB的中点处；
∴AE＝CE＝BE＝DE，
故答案为：60°；AB的中点处；BE＝DE；

（2）如图3．
猜想：BE＝DE．
证明：取AB的中点F，连接EF．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1＝60°，CF＝AF＝AB，
∴△ACF是等边三角形．
∴AC＝AF　 ①
∵△ADE是等边三角形，
∴∠2＝60°，AD＝AE②
∴∠1＝∠2．
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．
即∠CAD＝∠FAE③
由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．
∴∠ACD＝∠AFE＝90°．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴BE＝DE；
（3）如图4，
∵△PAB为等腰三角形，
∴①当AP＝AB时，即：AP1＝AB，
∴∠AP1B＝∠ABP1＝30°，
②当BP＝AB时，
Ⅰ、BP2＝AB，
∴∠AP2B＝（180°﹣∠ABC）＝75°，
Ⅱ、BP4＝AB，
∴∠BAP4＝∠AP4B
∵∠ABC＝30°＝∠BAP4+∠AP4B
∴∠AP4B＝15°
③当AP＝BP时，即：AP3＝BP3，
∴∠BAP3＝∠ABC＝30°，
∴∠AP3B＝180°﹣∠ABC﹣∠BAP3＝120°，
即：∠APB的度数为15°，30°，75°，120°．