2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县八年级（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县八年级（上）期中数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )
A. 5、12、13B. 3、4、6C. 4、5、6D. 5、7、9
3.如图，∠DAC=∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是( )
A. DC=BC
B. AB=AD
C. ∠D=∠B
D. ∠DCA=∠BCA
4.等腰三角形的底角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A. 50°B. 80°C. 100°D. 50°或80°
5.在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则该三角形为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
6.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，CAB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
8.已知△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE=CF.连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2.其中正确的结论是( )
A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则这个等腰三角形周长为______ cm．
10.已知△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠E=80°，则∠C= ______ °.
11.如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______米．
12.已知：如图，∠CAB=∠DBA，只需补充条件______ ，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD．
13.如图，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若△ABC的面积为10cm2，AC=4cm，BC=6cm，则DE的为______ cm．
14.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN/​/BC，分别交AB、AC于点M、N.若MN=5cm，CN=2cm，则BM=______cm．
15.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB=2，BC=4，则AF=______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，D、E分别是AB、AC边上的中点，且AB=AC.求证：∠B=∠C．
18.(本小题8分)
在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)△ABC的面积为______ ；
(2)在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等；
(3)画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
20.(本小题8分)
如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.求证：BC/​/EF．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.E是AB中点，DE⊥AB，垂足为E.若CD=ED，求∠B的度数．
22.(本小题10分)
如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD.现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=3m，AD=4m，BC=12m，AB=13m.若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
(1)求证：△ADC≌△CEB．
(2)AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
25.(本小题10分)
问题：如图1，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED=EC，回答下列问题：
(1)与AE相等的线段是______ ；
(2)请证明(1)中得到的结论．
26.(本小题10分)
如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
(1)判断AD与BE是否相等，请说明理由；
(2)如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；
(3)在第(2)小题的条件下，当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时．判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．
27.(本小题12分)
自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
(3)如图3，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、52+122=132，能构成直角三角形；
B、32+42≠62，不能构成直角三角形；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形；
D、52+72≠92，不能构成直角三角形．
故选：A．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】A
【解析】解：A、DC=BC，∠DAC=∠BAC，再加上公共边AC=AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；
B、AB=AD，∠DAC=∠BAC，再加上公共边AC=AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
C、∠B=∠D，∠DAC=∠BAC，再加上公共边AC=AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
D、∠DCA=∠BCA，∠DAC=∠BAC，再加上公共边AC=AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
故选：A．
利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4.【答案】B
【解析】解：因为三角形为等腰三角形，且底角为50°，
所以顶角=180°−50°×2=80°．
故选：B．
等腰三角形中，给出了底角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
5.【答案】B
【解析】【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出直角三角形的判定．
【解答】
解：∵在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，
∵BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F．
∵直尺的宽度相等，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB．
故选：B．
如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F.利用角平分线的判定定理解决问题即可．
本题考查角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：A.根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF=12BC=2．
∴EF= 2DF=2 2.故此选项错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF=S△ADE，
∴S四边形CEDF=S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB= 42+42=4 2，
∴AD=CD=2 2，
此时S△CEF=S四边形CEDF−S△DEF=S△ADC−S△DEF=12×2 2×2 2−12×2×2=4−2=2.故此选项正确；
故正确的有①②，
故选：B．
①由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF.所以△DFE是等腰直角三角形；
③△DEF是等腰直角三角形， 2DF=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值2 2，
②根据两三角形全等时面积也相等得：S△CDF=S△ADE，利用割补法知：S四边形CEDF=S△ADC，当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CEF=S四边形CEDF−S△DEF=S△ADC−S△DEF，代入即可．
本题是三角形的综合题，难度适中，此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定EF的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．
9.【答案】12
【解析】解：当腰长为2cm时，2+2=4<5，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为5cm时，符合三边关系，其周长为2+5+5=12(cm)，
故该三角形的周长为12cm．
故答案为：12．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键．
10.【答案】60
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∠E=80°，
∴∠B=∠E=80°，
在△ABC中，∠C=180°−40°−80°=60°，
故答案为：60．
根据全等三角形的性质求出∠B，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11.【答案】17
【解析】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为 132−52=12米，
则红地毯至少要12+5=17米长，
故答案为：17．
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
12.【答案】AC=BD
【解析】【分析】
此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.根据SAS的判定方法可得出答案．
【解答】
解：补充条件AC=BD．
理由：在△ABC和△BAD中，
AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，
△ABC≌△BAD(SAS)．
故答案为：AC=BD．
13.【答案】2
【解析】解：∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴DF=DE，
设DE=x，则DF=x，
∵S△DBC+S△DAC=S△ABC，
∴12×6⋅x+12×4⋅x=10，解得x=2，
即DE的长为2cm．
故答案为2．
先根据角平分线的性质得到DF=DE，设DE=x，则DF=x，利用三角形面积公式得到12×6⋅x+12×4⋅x=10，然后解方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．
14.【答案】3
【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN/​/BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，
∴BM=MO，ON=CN，
∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN，
∵MN=5cm，CN=2cm，
∴BM=5−2=3cm，
故答案为3cm．
只要证明MN=BM+CN即可解决问题；
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO，△CNO是等腰三角形．
15.【答案】52
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴∠FAC=∠ACB，
由翻转变换的性质可知，∠FCA=∠ACB，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
在Rt△CDF中，FC2=DF2+CD2，即FA2=(4−AF)2+22，
∴AF=52，
故答案为：52．
根据矩形的性质得到∠FAC=∠ACB，根据翻转变换的性质得到∠FCA=∠ACB，得到∠FAC=∠FCA，证明FA=FC，根据勾股定理计算即可．
本题考查了翻转变换，矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】245
【解析】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245．
故答案为：245．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=
12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
17.【答案】证明：∵AB=AC，D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴AD=AE，
在△ADC和△AEB中AD=AE∠A=∠AAC=AB，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠B=∠C．
【解析】根据已知条件可以证出AD=AE，再加上条件∠A=∠A.AB=AC，可利用SAS证明△ADC≌△AEB，再根据全等三角形对应角相等可得结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】4
【解析】解：(1)△ABC的面积为4×3−12×1×2−12×2×3−12×2×4=4，
故答案为：4；
(2)如图所示，点P即为所求；
(3)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(1)利用割补法求解可得；
(2)作∠ABC的平分线，与直线l的交点即为所求；
(3)先作出A、B、C三点关于直线l的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可．
本题主要考查作图−轴对称变换和平移变换
19.【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=65°，
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65°−50°=15°．
即∠DBC的度数是15°．
【解析】【试题解析】
已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，易求∠DBC．
本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20.【答案】证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ACB和△DFE中
AB=DE∠A=∠DAC=DF,
∴△ACB≌△DFE(ASA)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC/​/EF．
【解析】根据已知条件得出△ACB≌△DFE，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC/​/EF．
本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．
21.【答案】解：连接AD，如图，

在Rt△ACD与Rt△AED中，
DE=CDAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴∠DAC=∠DAE，
∵E是AB中点，
∴BE=AE，
∵DE⊥BC，
∴BD=AD，
∴∠B=∠DAE，
∵∠B+∠DAE+∠DAC=90°，
∴∠B=30°．
【解析】连接AD，根据HL证明Rt△ACD与Rt△AED全等，得∠DAE=∠DAC，再证明AD=BD，得∠DBA=∠DAB，利用三角形内角和解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接AC，如图：
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42=52(m2)，
在△ABC中，AB2=132(m2)，BC2=122(m2)，
∵52+122=132，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ACB−S△ACD=12⋅AC⋅BC−12AD⋅CD=12×5×12−12×3×4=24(m2)，
∵每平方米草皮需200元，
∴在该空地上种植草皮共需费用为：24×200=4800(元)．
【解析】连接AC，由勾股定理得AC2=52(m2)，再由勾股定理的逆定理证△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，然后求出S四边形ABCD=S△ACB−S△ACD=24(m2)，即可求解．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD(同角的余角相等)，
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)解：由(1)知，△ADC≌△CEB，
则AD=CE=5cm，CD=BE．
∵CD=CE−DE，
∴BE=AD−DE=5−3=2(cm)，
即BE的长度是2cm．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键．
(1)结合条件利用直角三角形的性质可得∠BCE=∠CAD，利用AAS和证得全等；
(2)由全等三角形的性质可求得CD=BE，AD=CE，利用线段的和差可求得BE的长度．
24.【答案】解：(1)DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°−90°=90°，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+(8−x)2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【解析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；
(2)连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
25.【答案】BD
【解析】解：(1)与AE相等的相等是BD，
故答案为：BD；
(2)证明：如图所示：过点作EF/​/BC，交AC与点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵EF/​/BC，
∴∠AFE=∠ACB=∠AEF=∠ABC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
∵EF/​/BC，
∴∠CFE+∠ACB=180°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=120°，
∵∠EBD=∠ACB+∠A=60°+60°=120°，
∴∠EFC=∠EBD，
∵ED=EC，
∴∠ECB=∠EDC，
∴∠FEC=∠EDC，
∴△CEF≌△EBD，
∴EF=BD，
∴AE=BD．
(1)过点E作EF/​/BC，交AC与点F，根据平行线的性质和已知条件证明△CEF≌△EBD，从而得出结论；
(2)过点E作EF/​/BC，交AC与点F，利用已知条件证明△AEF是等边三角形，得到AE=EF，再根据平行线的性质证明∠EFC=∠EBD，∠FEC=∠EDC，由已知条件ED=EC，从而证明△CEF≌△EBD，证明结论即可．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定与全等三角形的性质和判定．
26.【答案】解：(1)AD=BE.理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
(2)如图，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP=CQ，
∴PQ=2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴CM⊥AD，CM=12BC=12×8=4，
∴CN=CM=4(全等三角形对应边上的高相等)，
∵CP=CQ=5，
∴PN= CP2−CN2= 52−42=3，
∴PQ=2PN=2×3=6；
(3)PQ的长为定值6．
【解析】解：(1)(2)见答案；
(3)∵点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时，△ACD和△BCE全等，
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN=CM=4是定值，
∴PQ的长是定值．
(1)根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
(2)过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；
(3)根据(2)的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．
27.【答案】解：(1)不能，
理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
(2)如答图2，连接AE、DE，设BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S△AEF=S△DEF，
∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2=CE2+DC2，即32+x2=(8−x)2+52，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S△ABE=S△DCE，
∴S四边形ABEF=S△ABE+S△AEF，
S四边形DCEF=S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF=S四边形DCEF，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
(3)如答图3，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF=AC−FC=8−6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中，
AF=CG∠A=∠CAB=CF，
∴△ABF≌△CFG(SAS)，
∴S△ABF=S△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S△BFE=S△EFG，
∴S△EFC=S四边形ABEF，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM=2cm，AN=6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．(其实是同一条)，
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明)．
【解析】(1)若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC，得出AC≠BC，进而得出答案；
(2)根据勾股定理可得出：AB2+BE2=CE2+DC2，进而得出BE=5，CE=3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
(3)在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了三角形综合题，需要掌握应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．