上海八年级上学期期中【压轴60题专练】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲(沪教版）

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上海八年级上学期期中【压轴60题专练】

一、单选题
1．（2021·上海·八年级期中）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据公式解答即可．
【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
其面积为

故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
2．（2019·上海·八年级期中）化简：的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式化简即可.
【详解】





故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

3．（2021·上海·八年级期中）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】



∴a的小数部分为，




∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
4．（2021·上海·八年级期中）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
5．（2021·上海·八年级期中）当时，的值为（    ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式=

将代入得，
原式



.
故选：A.
【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
6．（2021·上海·八年级期中）如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．（2021·上海·八年级期中）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
8．（2021·上海·八年级期中）化简二次根式 的结果是（     ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】

故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
9．（2021·上海·八年级期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
10．（2021·上海·八年级期中）设为正整数，，，，，…，….，已知，则(   ).
A．1806 B．2005 C．3612 D．4011
【答案】A
【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.
【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，
∴A1=
∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，
∴A2=
∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，
∴A3=
⋯⋯
依此类推，Ak=n+(2k-1)
∴A100=n+(2×100-1)=2005
解得，n=1806.
故选A.
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.
11．（2021·上海·八年级期中）已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（　　）
A．-2008 B．2008 C．-1 D．1
【答案】D
【详解】由（x-）（y- ）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变，
那么说明x=y是方程的一个解
由此可以解得x=y=，或者x=y=-，
则3x2-2y2+3x-3y-2007=1，
故选D.
12．（2021·上海·八年级期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．
13．（2021·上海·八年级期中）下列方程一定有实数解的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质逐项判定即可．
【详解】解：A. ,△=，故无实数解；
B. 由得，故无实数即；
C. ，故无实数即；
D. 由得，即x=．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了无理方程的解，掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式的有意义的条件和立方根的性质是解答本题的关键．
14．（2021·上海·八年级期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤ B．a≥4 C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4
【答案】C
【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
15．（2021·上海·八年级期中）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差即S△OAC－ S△BAD等于(      )

A．3 B．6 C．4 D．9
【答案】A
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则S△OAC－ S△BAD＝(a2﹣b2)，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标为(a+b，a﹣b)，根据反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6，由此即可得出结论．
【详解】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为(a+b，a﹣b)．
∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，
∴(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2＝6．
∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝(a2﹣b2)＝×6＝3．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是得出a2−b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
16．（2022·上海·八年级期中）甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法：
①乙的速度为千米/时；
②乙到终点时甲、乙相距千米；
③当乙追上甲时，两人距地千米；
④两地距离为千米．
其中错误的个数为（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；
②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程-甲走的路程就可以求出结论；
③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距A地的距离；
④求出乙到达终点的路程就是A，B两地距离．
【详解】解：①由题意，得
甲的速度为：12÷4=3千米/时；
设乙的速度为a千米/时，由题意，得
（7-4）a=3×7，
解得：a=7．
即乙的速度为7千米/时，
故①正确；
②乙到终点时甲、乙相距的距离为：
（9-4）×7-9×3=8千米，
故②正确；
③当乙追上甲时，两人距A地距离为：
7×3=21千米．
故③正确；
④A，B两地距离为：
7×（9-4）=35千米，
故④错误．
综上所述：错误的只有④．
故选：A．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键．
17．（2021·上海·八年级期中）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【   】

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确．
【详解】设正方形OABC的边长为a，
则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．
∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．
根据勾股定理，，，
∴ON和MN不一定相等．结论②错误．
∵，
∴．结论③正确．
如图，过点O作OH⊥MN于点H，则

∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．
∵∠MON=450，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．
∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．
∴．
由得，．
解得：（舍去负值）．
∴点C的坐标为．结论④正确．
∴结论正确的为①③④3个．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．

二、填空题
18．（2021·上海·八年级期中）化简： ___________
【答案】
【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可．

【详解】解：要使该二次根式有意义，则有
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
19．（2021·上海·八年级期中）使函数有意义的自变量x的取值范围为_____________
【答案】
【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】根据题意，
解得：

①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.
20．（2021·上海·八年级期中）已知，则_________
【答案】
【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.
【详解】


将代入得：
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简，熟练掌握相关知识点是解题关键.
21．（2021·上海·八年级期中）已知函数，那么_____．
【答案】
【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】因为函数，
所以当时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
22．（2021·上海·八年级期中）将化简的结果是___________________.
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
23．（2021·上海·八年级期中）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为_____．
【答案】
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。
24．（2021·上海·八年级期中）双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为_____．
【答案】0
【分析】设x2＝a，将方程变为一元二次方程，求出两根的和与积，得到a1＞0，a2＞0，再分两种情况x2＝a1、x2＝a2求出两根和即可.
【详解】设x2＝a，则原方程可化为：a2﹣2019a+4＝0，
∵△＝（﹣2019）2﹣4×4＞0，
∴方程有两个不相等的实根，
设方程a2﹣2019a+4＝0的两根为a1、a2，
∴a1+a2＝2019，a1a2＝4，
∴a1＞0，a2＞0，
当x2＝a1时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
当x2＝a2时，有两个不相等的实数根，两根和为0，
∴双二次方程x4﹣2019x2+4＝0的所有实根之和为0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查一元二次方程的根与系数的关系式，熟记两个关系式并熟练运用解题是关键.
25．（2021·上海·八年级期中）已知：(x2+y2)(x2+y2-4)-12=0,则x2+y2的值为_____________.
【答案】6
【分析】设x2+y2=t，且t≥0，然后代入方程，求出t的值即可.
【详解】解：设x2+y2=t，代入方程得：
t(t-4)-12=0
t2-4t-12=0
（t-6）（t+2）=0
t=6或t=-2（舍去）
故答案为6
【点睛】本题考查运用因式分解解复杂的二元一次方程的方法，运用整体换元法是解答本题的关键.
26．（2021·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²-3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=______.
【答案】4或
【分析】等腰三角形ABC中4可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①4是底时，关于x的方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出m,再根据三角形的边不能是零，舍去；②4是腰时，则方程有一个根是4，代入即可求得m的值.
【详解】当4是底边时，则关于x的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得，或

（舍去）
当4是腰时，则方程有一个根是4，把x=4代入方程得，
解得：
综上所述，m的值为4或
故答案为4或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
27．（2021·上海·八年级期中）在实数范围内因式分解3x²-4xy-2y2=______.
【答案】
【分析】令，用含y的代数式表示方程的解x；再写成因式分解即可.
【详解】解：


【点睛】本题考查实数内因式分解，难度较大，熟练掌握解方程以及因式分解是解题关键.
28．（2021·上海·八年级期中）在等腰△ABC中，已知a=3,b和c是关于x的方程的两个根，则△ABC的周长为_______
【答案】7或
【分析】等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，①a是底时，即b=c时，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，从而求出其周长；②a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解.
【详解】a是底边时，则b=c，关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得或（舍去）
当时，方程变形为
此时
所以此时△ABC的周长为3+4=7；
当a是腰时，则方程有一个根是3，把x=3代入方程得，
解得：
方程变形为：，则，解得：
所以此时△ABC的周长为；
综上所述，△ABC的周长为7或
故答案为7或
【点睛】本题考点涉及等腰三角形的性质、一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
29．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则=____________
【答案】±6
【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设，得： ；对于乙：设，得：，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为，求代数式的值即可.
【详解】对于甲：设
得：
对于乙：设
得：
分情况讨论：
①若乙看错了二次项系数的符号，那么

解得：，不符合题意，舍去
②若乙看错了常数项的符号，那么

解得：
则

③若乙看错了一次项项的符号，那么

解得：
则

故答案为±6
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键.
30．（2021·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是____________
【答案】
【分析】设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根可得出，，，由此可得出m的取值范围.
【详解】设一元二次方程的两个根分别为
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根
∴
∴
由①得：
由②得：
故m的取值范围是：
【点睛】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，还涉及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题关键.
31．（2021·上海·八年级期中）在实数范围内分解因式：_____________________
【答案】
【分析】令，求出方程的两个解，再写成因式分解性质即可.
【详解】令
解方程得：
∴
故答案为
【点睛】本题考查实属范围内的因式分解，利用一元二次方程求解可以很容易解决此类问题，熟练掌握一元二次方程求解是解题关键.
32．（2021·上海·八年级期中）已知是等腰的三条边，其中，如果 是关于 的一元二次方程 的两个根，则的值是__．
【答案】9
【分析】分为腰长及底长两种情况考虑：当为腰长时，代入求出值，进而可得出原方程为，解之可得出底边长度，由2、2、4不能围成三角形，可得出不符合题意；当为底长时，由根的判别式△可求出值，进而可得出原方程为，解之可得出腰长，由2、3、3能围成三角形，可得出符合题意．综上即可得出结论．
【详解】解：当为腰长时，将代入原方程，得：，
解得：，
此时原方程为，
解得：，．
、2、4不能围成三角形，
不符合题意；
当为底长时，方程有两个相等的实数根，
△，
，
此时原方程为，
解得：．
、3、3能围成三角形，
符合题意．
故答案为9．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰长及底长两种情况考虑是解题的关键．
33．（2021·上海·八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是_____．

【答案】
【分析】将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．
【详解】解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，
∴∠DOM=∠EON，
∴△DOM≌△EON，
∴OM=ON，DM=EN，
∵点E（6，﹣2），
∴D（﹣2，﹣6），
∵∠AOE＝45°，
∴∠AOD＝45°，
∵OD＝OE，
∴OA⊥DE，DF＝EF，
∴F（2，﹣4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．

【点睛】本题考查了反比例函数，全等三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形求点的坐标．
34．（2021·上海·八年级期中）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是______.

【答案】8
【分析】由知，点A在上，点B在上，因直线平行于轴，则点A和点B的纵坐标相等，设A和B坐标为，则有可得，又根据，将代入即可得，联立上面的式子即可得.
【详解】，则点A在上，点B在上，
又因直线平行于轴，
点A和点B的纵坐标相等，因此可设A和B坐标为，
则有，即，可化为，
根据图可得，
将代入即可得，

将代入得
即
可得.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，并结合三角形的面积，判断出A、B点具体在哪条反比例函数上和A、B点的纵坐标相等是解题关键.
35．（2021·上海·八年级期中）在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数的图象上．
（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；
（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．
【答案】     3     1+
【分析】（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0），即可求得k的值；
（2）根据点（x，y）到原点的距离公式d＝，得到关于m，n的方程；
再结合完全平方公式的变形，得到关于k的方程，进一步求得k值．
【详解】解：（1）根据题意，得
k﹣2＝＝1，
∴k＝3．
（2）∵点P（m，n）在反比例函数y＝的图象上．
∴mn＝k
又∵OP＝2，
∴＝2，
∴（m+n）2﹣2mn﹣4＝0，
又m+n＝k，mn＝k，
得k2﹣2k＝4，
（k﹣1）2＝5，
∵x＞0时，y随x的增大而减小，则k＞0．
∴k﹣1＝，
k＝1+．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在中，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
36．（2021·上海·八年级期中）在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．Q （1，）是函数图象上的最低点．小明仔细观察图1，图2两图，作出如下结论：①AB=2；②AH=；③AC=2；④x=2时，△ABP是等腰三角形；⑤若△ABP为钝角三角形，则0＜x＜1；其中正确的是________ （填写序号）．

【答案】①②③④
【分析】（1）当时，的值即是的长度；
（2）图乙函数图象的最低点的值是的值；
（3）在直角中，由勾股定理来求的长度；
（3）当点运动到点时，此时，，在中，可得出，则判定是等边三角形，故，即
（5）分两种情况进行讨论，①为钝角，②为钝角，分别确定的范围即可．
【详解】解：（1）当时，的值即是的长度，故，故①正确；
（2）图乙函数图象的最低点的值是的值，故，故②正确；
（3）如图乙所示：，，则．
又，
直角中，由勾股定理得：，故③正确；
（4）在中，，，，则．
又是等腰三角形，
是等边三角形，
，即．
故④正确；
（5）①当为钝角时，此时可得；
②当为钝角时，如图：过点作，则，

即当时，为钝角．
综上可得或时为钝角三角形，故⑤错误．
故答案为①②③④．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，有一定难度，解答本题的关键是结合图象及函数图象得出、的长度，第三问推知是等边三角形是解题的难点．
37．（2021·上海·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点、在坐标轴上，点的坐标是(2,2)．将△ABC沿轴向左平移得到△A1B1C1，点落在函数y=-．如果此时四边形的面积等于，那么点的坐标是________．

【答案】(-5, )
【详解】分析：依据点B的坐标是（2，2），BB1∥AA1，可得点B1的纵坐标为2，再根据点B1落在函数y=﹣的图象上，即可得到BB1=AA1=5=CC1，依据四边形AA1C1C的面积等于，可得OC=，进而得到点C1的坐标是（﹣5，）．
详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB1∥AA1，∴点B1的纵坐标为2．又∵点B1落在函数y=﹣的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB1=AA1=5=CC1．又∵四边形AA1C1C的面积等于，∴AA1×OC=，∴OC=，∴点C1的坐标是（﹣5，）．
    故答案为（﹣5，）．
    
点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．
38．（2021·上海·八年级期中）方程的解有________个．
【答案】1
【详解】由题意=1，而、、均随x的增大而减小，而且值都取到0到1之间．于是原方程有且仅有一个解．故答案为1.

三、解答题
39．（2019·上海·八年级期中）阅读，并回答下列问题：
公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式得到的近似值.
（1）他的算法是：先将看成，利用近似公式得到，再将看成，由近似公式得到___________≈______________；依次算法，所得的近似值会越来越精确.
（2）按照上述取近似值的方法，当取近似值时，求近似公式中的和的值.
【答案】（1）；（2）或 ；或
【分析】根据近似公式计算出近似值的过程和方法计算的近似值和确定a和r的值.
【详解】（1）根据近似公式可知：≈
故答案为；
（2）∵
∴
∴
∴
整理，
解得： 或
∴或
故答案为或 ；或
【点睛】本题考查二次根式的估算，审清题意，根据题目所给的近似公式计算是解题关键.
40．（2021·上海·八年级期中）已知求：的值．
【答案】77
【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出的值，最后将它们同时代入变形后的式子中求解即可．
【详解】解：



原式=．
故原式的值为77．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的计算出答案．
41．（2021·上海·八年级期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
42．（2021·上海·八年级期中）观察下列各式及其化简过程：=;
（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简；
（2）化简：
（3）化简；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可；
（2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可；
（3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可.
【详解】（1）===；
（2）===；
（3）======.
【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.
43．（2021·上海·八年级期中）附加题
化简
【答案】3
【分析】对两个二次根式下面配成完全平方化简即可.
【详解】解：原式=
=
=
=
=
=3
【点睛】本题是对二次根式化简的综合考查，熟练掌握配完全平方及二次根式的化简是解决本题的关键，本题难度较大，注意要学会拆分配方.
44．（2021·上海·八年级期中）已知且，请化简并求值：
【答案】
【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可.
【详解】解：


∵
∴
∴




【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.
45．（2021·上海·八年级期中）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式


当时，
原式


【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
46．（2021·上海·八年级期中）已知，求的值
【答案】5
【分析】根据的值先求出和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【详解】解:∵，
∴，
∴，
故答案为5.
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
47．（2021·上海·八年级期中）计算（＋）÷（＋－）（a≠b）．
【答案】－
【详解】解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝－．
48．（2020·上海浦东新·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．
【答案】12
【分析】分类讨论：当a为底，b，c为腰时，当a为腰时，则b＝4或c＝4两种情况进行求解．
【详解】解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b＝c，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则△＝（﹣m）2﹣12m＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝12；
当a为腰时，则b＝4或c＝4，若b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两个实数根，
则42﹣4m+3m＝0，
解得：m＝16；
此时x＝4或12，三角形三边为4，4，12，
∵4+4＜12
∴不满足三角形三边关系，应舍去，
故m的值为12．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及一元二次方程根的情况考查，关键在于掌握分类，以及解一元二次方程．
49．（2021·上海·八年级期中）解方程：
【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解
【分析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解.
【详解】解：移项得：，
化简得：，
，
，
当时，，
原方程无实数解，
当时，，
，
当时，原方程的解是
当时，原方程无实数解．
【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
50．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0，当m取何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有一个根为零，求另一个根.
【答案】(1)m>-且m≠-1；(2)x2=-.
【分析】（1）根据题意可知，，即可求得m的取值范围；
（2）设方程的两个根为，利用根与系数的关系即可求m的值，进而求出方程的另一个根.
【详解】（1）由题意得：
解得：
∵m+1≠0
∴m≠﹣1
∴且m≠﹣1
（2）设方程的两个根为
∵
∴
∴原方程为
∵
∴
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
51．（2021·上海·八年级期中）已知关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况.
【答案】有两个不相等的实数根.
【分析】根据关于x的方程没有实数根，求出a的求值范围；再表示关于x的方程，，即可判断该方程根的情况.
【详解】解：∵方程没有实数根
∴
∴
解得：
关于x的方程，
∵
∴
∴关于x的方程有两个不相等的实数根.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键.
52．（2021·上海·八年级期中）若实数a,b分别满足和，求的值
【答案】
【分析】把a、b看作方程的两个根，根据根与系数的关系得到，得出，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可.
【详解】∵实数a,b分别满足和
∴a、b看作方程的两个根，
∴
∴
∴

【点睛】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.
53．（2021·上海·八年级期中）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
54．（2021·上海·八年级期中）解方程：
【答案】
【分析】此方程次数高、复杂，需用均值换元法解方程．，，则，
原方程可化为，分解因式得，即可解答．
【详解】解：设

则原方程变为，
∴，
∴
∴
∴或
当时，即
所以或．
当时，即
所以或
所以原方程的解为
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，在解复杂结构方程时最常用的方法是换元法，当方程是一个高次方程时,若用普通解法,不但解决不了问题,还使方程更加无规律可寻,此时适用"平均值换元"
55．（2021·上海·八年级期中）设关于x的方程的两根为a,b，请构造一个以和为根的一元二次方程
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求得和的值，再利用立方和公式求得，，再写出方程即可.
【详解】关于x的方程的两根为a,b
则，



以和为根的一元二次方程为(答案不唯一)
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关键，难度大，还涉及了立方和公式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键.
56．（2021·上海·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴．

（1）当点的横坐标为6时，求直线的表达式；
（2）联结，当时，求点的坐标；
（3）联结、，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）1
【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得点A坐标；
（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得点P坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点B和点C坐标，根据三角形面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
设直线AO的解析式为，
代入得，
∴直线AO的解析式为；
（2）由轴，得点B横坐标是4，
当时，，
∴，，
∵，
∴，得，
∴；
（3）直线AO的解析式为，联立，得，解得，
∴，
如图，作，，

当时，，即，
当时，，即，
，，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据三角形面积求点坐标的方法，以及利用点坐标表示三角形面积的方法，需要熟练掌握数形结合的思想．
57．（2021·上海·八年级期中）如下图，在平面直角坐标系内，函数和交于两点，已知.
（1）求这两个函数的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）点在轴上，且时，求点的坐标.

【答案】（1）, ，点的坐标是；（2）或
【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个解析式中，即可求得解析式，由反比例函数的对称性即可得到点B的坐标；
（2）设点的坐标为，由得到三边的关系，由此用勾股定理求出c的值即可得到点C的坐标.
【详解】（1）由题意得，得，
∴这两个函数解析式分别为, ，
∵与 交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴点的坐标是
（2）设点的坐标为，作AE⊥x轴，BF⊥y轴，BG⊥AE交AE的延长线于G，
∵，
∴
∵
∴,
,
,
∴，
解得
∴点的坐标是或

【点睛】此题是一次函数与反比例函数结合题，考查待定系数法求解析式，勾股定理在函数图形中的运用，（2）用勾股定理解决问题是难点.
58．（2021·上海·八年级期中）为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（时）成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；
（2）据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？

【答案】（1）y＝；（2）从药物释放开始，至少需要经过8小时，学生才能进入教室．
【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）根据（1）中的关系式列方程，进一步求解可得答案．
【详解】解：（1）药物释放过程中，y与x成正比，设y＝kx（k≠0），
∵函数图象经过点A（2，1），
∴1＝2k，即k＝，
∴y＝x；
当药物释放结束后，y与x成反比例，设y＝（k'≠0），
∵函数图象经过点A（2，1），
∴k'＝2×1＝2，
∴y＝；
（2）当y＝0.25时，代入反比例函数y＝，可得
x＝8，
∴从药物释放开始，至少需要经过8小时，学生才能进入教室．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
59．（2021·上海·八年级期中）已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点，

（1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）过A作AC⊥OB，根据三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；
（3）由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．
【详解】解：（1）如图1，过A作AC⊥OB，交x轴于点C，

∵OA=AB，∠OAB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC=OB=3，
∴A（3，3），
将x=3，y=3代入反比例解析式得：3= ，即k=9，
则反比例解析式为y=；
（2）如图2，过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，

∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=n，OE=AD=m，
∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，
则B（m+n，n-m）；
（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m），
整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，
这里a=1，b=1，c=-1，
∵△=1+4=5，
∴= ，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
则=．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
60．（2021·上海·八年级期中）已知正反比例函数的图像交于、两点，过第二象限的点作轴，点的横坐标为，且，点在第四象限
（1）求这两个函数解析式；
（2）求这两个函数图像的交点坐标；
（3）若点在坐标轴上，联结、，写出当时的点坐标
【答案】（1）y=-，y=（2）A（-2，3），B（2，-3）（3）（2，0）或（-2，0）或（0，3）或（0，-3）
【分析】（1）先根据题意得出，再结合知，再利用待定系数法求解可得；（2）联立正反比例函数解析式得到方程组，解之即可得交点坐标；（3）由“点在坐标轴上”分点在轴上和轴上两种情况，根据利用割补法求解可得．
【详解】解：（1）如图，

∵点的横坐标为-2，且轴，
∴，
∵，
∴，
则点，
将代入得：，则正比例函数的解析式为；
将代入得：，则反比例函数的解析式为；
（2）∵
∴得：或，
∵点在第四象限，
∴点坐标为，
故答案为.
（3）若在轴上，设，
∵
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
若在轴上，设，
∵
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及割补法求三角形的面积、分类讨论思想的运用等.