上海八年级上学期期中【常考60题考点专练】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲(沪教版）

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上海八年级上学期期中【常考60题考点专练】
一．二次根式的定义（共2小题）
1．（2020秋•浦东新区校级期中）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有：
（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2020秋•浦东新区期中）当x＝﹣14时，二次根式的值是　3　．
【分析】把x＝﹣14代入，再进行化简即可．
【解答】解：当x＝﹣14时，＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
二．二次根式有意义的条件（共2小题）
3．（2021秋•徐汇区校级期中）二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤3　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，
故x的取值范围是x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
4．（2020秋•浦东新区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≥5　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．
三．二次根式的性质与化简（共12小题）
5．（2021秋•杨浦区期中）下列各式中，一定成立的是（　　）
A．＝a+b B．＝a2+1
C．＝• D．＝
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
【解答】解：A、＝|a+b|，故本选项错误；
B、＝|a2+1|＝a2+1|，故本选项正确；
C、只有a+1≥0，a﹣1≥0时该等式才能力，故本选项错误；
D、只有当b＞0时该等式才能力，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简．解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a＜0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
②性质：＝|a|．
6．（2022春•松江区校级期中）计算：＝　3﹣　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝3﹣．
故答案为：3﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7．（2021秋•碑林区校级期中）计算：＝　﹣1　．
【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1＜，
∴1﹣＜0，
∴＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2021秋•普陀区期中）化简：＝　3　．
【分析】先根据二次根式的乘法得到原式＝＝×，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式＝
＝×
＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的乘法．
9．（2021秋•金山区校级期中）计算：＝　4﹣π　．
【分析】首先判断π﹣4的符号，然后根据绝对值的性质即可化简．
【解答】解：∵π＜4，
∴π﹣4＜0，
∴原式＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
【点评】本题考查了绝对值的性质，正确理解当a＞0时|a|＝a；当a＝0时|a|＝0；当a＜0时|a|＝﹣a，是关键．
10．（2021秋•金山区校级期中）化简：＝　5xy　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：＝5xy．
故答案为：5xy．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
11．（2021秋•黄浦区期中）化简的结果是　y　．
【分析】根据二次根式的性质把分子变形，约分即可．
【解答】解：原式＝＝y，
故答案为：y．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、约分法则是解题的关键．
12．（2021秋•闵行区校级期中）化简：＝　　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
13．（2021秋•浦东新区期中）使＝1﹣x成立的x的取值范围是　x≤1　．
【分析】根据＝|a|得到＝|x﹣1|，则有|x﹣1|＝1﹣x，根据绝对值的意义即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵＝|x﹣1|，
∴|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，即x≤1．
故答案为x≤1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．
14．（2020秋•杨浦区校级期中）若x＜2，化简+|3﹣x|的正确结果是　5﹣2x　．
【分析】先根据x的取值范围，判断出x﹣2和3﹣x的符号，然后再将原式进行化简．
【解答】解：∵x＜2，
∴x﹣2＜0，3﹣x＞0；
∴+|3﹣x|＝﹣（x﹣2）+（3﹣x）
＝﹣x+2+3﹣x＝5﹣2x．
【点评】本题涉及的知识有：二次根式的性质及化简、绝对值的化简．
15．（2021秋•宝山区校级期中）若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是　1≤x≤4　．
【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．
【解答】解：∵|1﹣x|﹣
＝|1﹣x|﹣
＝2x﹣5，
则|1﹣x|﹣＝x﹣1+x﹣4，
即1﹣x≤0，x﹣4≤0，
解得1≤x≤4．
【点评】此题难点不是根据x的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求x的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握．
16．（2020秋•黄浦区校级期中）化简：＝　　．
【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1﹣|，然后再去绝对值．
【解答】解：因为＞1，
所以＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．
四．二次根式的乘除法（共3小题）
17．（2021秋•普陀区校级期中）计算：＝　x　．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式除法运算法则求出答案．
【解答】解：＝•2÷2•
＝×
＝x．
故答案为：x．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
18．（2021秋•浦东新区期中）化简：．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行解答即可．
【解答】解：＝4×＝．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
19．（2021秋•杨浦区校级期中）计算：3•÷（﹣）
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3××（﹣）
＝﹣2
＝﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
五．同类二次根式（共3小题）
20．（2021秋•奉贤区校级期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：与是同类二次根式的是，
故选：C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
21．（2021秋•普陀区期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.，与不是同类二次根式；
C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
22．（2021秋•普陀区校级期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　9　．
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a﹣4＝2，
3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
六．二次根式的加减法（共1小题）
23．（2021秋•浦东新区期中）＝　　．
【分析】根据二次根式的性质，将，分别化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2+＝，
故答案为：．
【点评】考查二次根式的性质，及二次根式的加减法，先将每一个二次根式化简，再合并同类二次根式是常用的方法．
七．二次根式的应用（共2小题）
24．（2020秋•闵行区期中）不等式x﹣3＜x的解集是　x＞﹣3﹣3　．
【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得x的解集．
【解答】解：由x﹣3＜x，得
x﹣x＜3，
（﹣）x＜3，
x＞，即x＞﹣3﹣3．
故答案是：x＞﹣3﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的应用．解题的关键是熟悉不等式的基本性质：不等式的两边同时除以负数，不等号的方向发生改变．
25．（2020秋•浦东新区校级期中）不等式（2﹣）x＞1的解集是　x＜﹣2﹣　．
【分析】先判断2﹣与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集
【解答】解：∵2﹣＜0，
∴x＜
∴x＜﹣2﹣
故答案为：x＜﹣2﹣
【点评】本题考查二次根式的应用以及一元一次不等式，解题的关键是判断2﹣与0的大小关系，本题属于基础题型．
八．一元二次方程的定义（共2小题）
26．（2021秋•浦东新区期中）下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．xy+x＝y+1 B．x2＝﹣2
C．ax2+bx+c＝0 D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1，
整理得：﹣x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
27．（2021秋•浦东新区校级期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．＝2
C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、+＝2不是整式方程，故B错误；
C、x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，故C错误；
D、3（x+1）2＝2（x+1）是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
九．一元二次方程的解（共1小题）
28．（2021秋•徐汇区校级期中）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值是 　﹣1　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x＝1代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得到（m﹣2）+4﹣m2＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵m﹣2≠0
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解题的关键是正确的代入求解，属于基础题型．
一十．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
29．（2020秋•浦东新区期中）方程（x﹣1）2＝20202的根是　x1＝2021，x2＝﹣2019　．
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝20202，
∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020，
解得x1＝2021，x2＝﹣2019，
故答案为：x1＝2021，x2＝﹣2019．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
一十一．解一元二次方程-配方法（共3小题）
30．（2021秋•浦东新区期中）把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x﹣2）2＝11 C．（x﹣4）2＝11 D．（x+2）2＝11
【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方公式即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11．
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
31．（2020秋•杨浦区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0，
2x2﹣4x＝1，
x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
32．（2021春•庐阳区校级期中）解方程：x2+4x﹣3＝0．
【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．
【解答】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0
即（x+2）2＝7，
开方得，x+2＝±，
x1＝﹣2+；
x2＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．
一十二．解一元二次方程-因式分解法（共8小题）
33．（2021秋•杨浦区期中）方程x（x﹣3）＝x﹣3的根是　x1＝3，x2＝1　．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣3）＝x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
34．（2020秋•杨浦区期中）方程2x2＝x的根是 　x1＝0，x2＝　．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2x2＝x，
2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
x＝0，2x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝，
故答案为：x1＝0，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
35．（2021秋•黄浦区期中）方程x2＝3x的解为：　x1＝0，x2＝3　．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
36．（2020秋•浦东新区期中）方程（x+1）2＝x+1的解是　x＝0或x＝﹣1　．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）2﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（x+1﹣1）＝0，即x（x+1）＝0，
则x＝0或x+1＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1，
故答案为：x＝0或x＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
37．（2020秋•闵行区期中）方程x2＝x的根是　x1＝0，x2＝2　．
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
38．（2021秋•浦东新区期中）方程x2＝x的根是　x1＝0，x2＝　．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣）＝0，
可得x＝0或x﹣＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
故答案为：x1＝0，x2＝
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
39．（2020秋•松江区期中）解方程：（x﹣1）（x+2）＝70．
【分析】整理后把方程的左边分解因式得出（x+9）（x﹣8）＝0，得出方程x+9＝0，x﹣8＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：原方程可变形为x2+x﹣72＝0，
（x+9）（x﹣8）＝0，
x+9＝0，x﹣8＝0，
∴x1＝﹣9，x2＝8．
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程﹣因式分解法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
40．（2021秋•松江区期中）解方程：（3x﹣1）（x+2）＝20．
【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：整理得：3x2+5x﹣22＝0，
（3x+11）（x﹣2）＝0，
3x+11＝0，x﹣2＝0，
x1＝﹣，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
一十三．根的判别式（共5小题）
41．（2021秋•浦东新区期中）对于4个实数a、b、c、d给出一种新的运算，定义＝ad﹣bc．例如：＝8×5﹣9×3＝40﹣27＝13，则方程＝﹣9的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据题意，可以将方程＝﹣9转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
【解答】解：∵＝﹣9，
∴x2﹣6x＝﹣9，即x2﹣6x+9＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
42．（2021秋•普陀区期中）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
43．（2020秋•浦东新区期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．
【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
44．（2021秋•徐汇区校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　　．
【分析】直接利用当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
45．（2019秋•浦东新区期中）已知，关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）由（1）中m的范围且m为非负整数，且该方程的根都是整数得出m的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得：m＜2．
故m的取值范围为m＜2；

（2）由（1）得：m＜2
∵m为非负整数，
∴m＝0或1，
把m＝0代入原方程得：x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
m＝0不合题意舍去；
把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故m的值是1．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
一十四．根与系数的关系（共1小题）
46．（2020秋•浦东新区期中）已知关于x的方程x2+6x+a＝0有一根为﹣2，则方程的另一根为　﹣4　．
【分析】设方程的另一根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一根为m，
根据题意得：﹣2+m＝﹣6，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
一十五．一元二次方程的应用（共1小题）
47．（2020秋•浦东新区期中）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是 　8　元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是 　7　元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【分析】（1）根据商家所给出条件进行判断，即可求得结论；
（2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣（150﹣100）÷10×0.2＝8﹣1＝7（元），
故答案为：8，7；
（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1200（舍去）；
②∵，解得，x＝250，
∴当100＜x≤250时，．
解得，x1＝200，x2＝300（舍去），
③当x＞250时，1200÷5＝240（舍去）．
答：一共购买了200瓶洗手液．
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，能够熟练找出题中的等量关系是解答此题的关键．
一十六．函数值（共1小题）
48．（2020秋•黄浦区校级期中）已知函数f（x）＝，则f（）＝　2+　．
【分析】将x＝代入f（x）＝即可得．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（）＝＝＝2+，
故答案为：2+．
【点评】本题主要考查求函数值，将未知数的值代入函数解析式，根据解析式中的运算顺序计算即可得．
一十七．函数的图象（共1小题）
49．（2019秋•青浦区校级期中）小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：
（1）小强去学校时下坡路长　2　千米；
（2）小强下坡的速度为　0.5　千米/分钟；
（3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是　14　分钟．

【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；
（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；
（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．
【解答】解：（1）由题意和图象可得，
小强去学校时下坡路为：3﹣1＝2（千米），
故答案为：2；
（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）＝0.5千米/分钟，
故答案为：0.5；
（3）小强上坡时的速度为：1÷6＝千米/分钟，
故小强回家骑车走这段路的时间是：＝14（分钟），
故答案为：14．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
一十八．正比例函数的定义（共1小题）
50．（2020秋•金山区期中）若函数是正比例函数，且图象在一、三象限，则m＝　2　．
【分析】由正比例函数的定义，以及图象的位置进行取舍，可求得m的值．
【解答】解：∵y＝（m+1）为正比例函数，
∴m2﹣3＝1，且m+1≠0，
解得m＝±2，
∵图象在一、三象限，
∴m+1＞0，
∴m＞﹣1，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．
一十九．正比例函数的性质（共3小题）
51．（2021秋•杨浦区校级期中）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据正比例函数的定义确定m的值，进而利用正比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，
∴，
∴m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，
∴该函数图象经过的象限是第二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，牢记正比例函数的一般形式是解答本题的关键，难度不大．
52．（2021秋•金山区校级期中）如果函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　1　．
【分析】由正比例函数的定义：可得m2﹣1＝0，且m+1≠0，然后解关于m的一元二次方程即可．
【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m+1≠0，
解得，m＝1；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
53．（2022春•虹口区校级期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．
【解答】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．
二十．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
54．（2019秋•嘉定区期中）已知y与x成正比例，当x＝8时，y＝﹣12，则y与x的函数的解析式为　y＝﹣x．　．
【分析】根据题意可得y＝kx，再把x＝8时，y＝﹣12代入函数，可求k，进而可得y与x的关系式．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝8时，y＝﹣12，
∴﹣12＝8k，
解得k＝﹣，
∴所求函数解析式是y＝﹣x；
故答案为y＝﹣x．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解成正比例的关系．
二十一．反比例函数的定义（共1小题）
55．（2020秋•上海期中）若y＝（4﹣2a）x是反比例函数，则a的值是　﹣2　．
【分析】根据反比例函数形式y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），即可得出关于a的关系式，进而得到a的值．
【解答】解：∵y＝（4﹣2a）x是反比例函数，
∴4﹣2a≠0，且a2﹣5＝﹣1，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，解题时关键是注意y＝kx﹣1的形式中k≠0．
二十二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
56．（2020秋•杨浦区期中）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之和为，即可解答．
【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（2﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴，
解得：k＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是求出AC，BD的长．
二十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
57．（2020秋•杨浦区期中）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　6　．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
二十四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
58．（2019秋•长宁区期中）正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A，B两点，点A在第二象限，点A的横坐标为﹣1，作AD⊥x轴，垂足为D，O为坐标原点，S△AOD＝1．若x轴上有点C，且S△ABC＝4，则C点坐标为　（2，0）或（﹣2，0）　．
【分析】利用正比例函数与反比例函数图象关于原点对称求得A、B的坐标，然后根据S△ABC＝4即可求得C的坐标．
【解答】解：设反比例函数为y＝（k≠0），正比例函数为y＝ax（a≠0）；
∵这两个函数的图象关于原点对称，
∴A和B这两点应该是关于原点对称的，A点的横坐标为﹣1，
由图形可知，AD就是A点的纵坐标y，而AD边上的高就是A、B两点横坐标间的距离，即是2，
这样可以得到S＝×2y＝2，解得y＝2．
∴A点坐标是（﹣1，2）；B点的坐标是（1，﹣2），
设C（x，0），
∵S△ABC＝4，
∴x×2+x×2＝4，解得x＝2，
∴C（2，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
二十五．反比例函数综合题（共2小题）
59．（2021秋•宝山区校级期中）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，
而点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴当y＝b，x＝﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴当y＝b，x＝，即B点坐标为（，b），
∴AB＝﹣（﹣）＝，
∴S△ABC＝•AB•OP＝•b＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式．
60．（2019秋•长宁区期中）已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图1），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m、n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．

【分析】（1）过A作AC⊥OB，根据三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC＝OC＝BC＝OB，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO＝AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD＝AE＝n，AD＝OE＝m，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；
（3）由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求解．
【解答】解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，

∵OA＝AB，∠OAB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，
∴A（2，2），
将x＝2，y＝2代入反比例解析式并解得：k＝4，
则反比例解析式为y＝；

（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，

∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD＝n，OE＝AD＝m，
∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n，
则B（m+n，n﹣m）；

（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（n﹣m），
整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵△＝1+4＝5，
∴＝，
∵A（m，n）在第一象限，
∴m＞0，n＞0，
则．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．