【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第2.3练《直线的交点坐标与距离公式》培优分阶练（含解析）

第2.3练 直线的交点坐标与距离公式 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．直线：与：之间的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由可得，即与平行，故与之间的距离为. 故选：B. 2．直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是(       ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】 显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：， . 故选：C. 3．若点到直线：的距离为3，则（       ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】 由题设可得，结合可得， 故选：B. 4．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】 解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离， 故选：B. 5．已知点在直线上的运动，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故选：A 6．已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为直线上存在一点P，使得， 所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：， 即k的取值范围是. 故选：C 7．已知直线，，且，点到直线的距离（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由可得，解得，故 故选：D 8．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】 直线化为， 则两直线之间的距离，即， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（       ） A．直线l的倾斜角是 B．若直线m：＝0，则l⊥m C．点到直线l的距离是2 D．过与直线l平行的直线方程是 【答案】BCD 【详解】 对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确； 对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确； 对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确； 对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确； 故选：BCD． 10．已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线、一定相交 【答案】ABD 【详解】 若，则，，A正确； 由A知，，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，B正确； 由，则，，C不正确； 由A知时，，所以时，则直线、一定相交，D正确． 故选：ABD． 三、解答题 11．两平行直线，分别过，. (1)，之间的距离为5，求两直线方程； (2)若，之间的距离为d，求d的取值范围. 【答案】(1)或(2) 【解析】(1) 当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意； 当，斜率存在时，设斜率为，则，化为一般式得，，由，之间的距离为5，可得， 解得或，当时，；当时，. 故两直线方程为或. (2) 如图：当，旋转到和垂直时，，之间的距离d最大为，当，旋转到和重合时，距离为0， 又两平行直线，不重合，故. 12．已知直线：， ，. (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程. (2)当为何值时，原点到直线的距离最大 (3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标 【答案】(1)或(2) (3)点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为； 【解析】 (1) 解：因为，，所以的中点为，若直线：过的中点为，则，解得，此时直线为，满足条件， 又，所以当时直线的方程为，此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等， 综上可得：直线的方程为或； (2) 解：由，得， 联立，解得，则直线过定点； 由，得， 当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为， 因为，所以，即当时原点到直线的距离最大. (3) 解：当时，直线：，设，则，所以当时，，此时， 即直线上的动点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为； 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．已知点关于直线的对称点为点，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则，解得，故对称的点为. 故选：D 2．直线关于点对称的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 3．若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】 由题意得：点在直线上， 则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离， 即 ， 故选：C 4．若直线与直线是同一个圆的两条切线，则该圆的面积等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，直线，可化为 可得两平行线间的距离为， 因为直线与直线是同一个圆的两条切线， 设所求圆的半径为，可得，即， 所以该圆的面积为. 故选：D. 5．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（       ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 6．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为； 故选：D 二、多选题 7．下列说法中，正确的有（       ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的的最大距离为 【答案】BD 【详解】 解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误； 对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确； 对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误； 对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确. 故选：BD 8．下列说法正确的是（       ） A．点到直线的距离为 B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8. D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AB 【详解】 解：对于A，点到直线的距离为，故A正确； 对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确； 对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线， 当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确； 故选：AB. 三、解答题 9．已知斜率存在的两直线与，直线经过点，直线过点，且． (1)若与距离为4，求两直线的方程； (2)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 【答案】(1)， (2)最大距离为5，， 【解析】(1) 由与的斜率都存在，设直线的斜率为，得的方程， 即．同理可得的方程，即． 在直线上取点，则点到直线的距离， ，． ，． (2) 当与经过、的直线垂直时，距离最大， 此时斜率，最大距离为5， ，． 10．已知直线和相交于点P，且P点在直线上． (1)求点P的坐标和实数a的值； (2)求过点且与点P的距离为的直线方程． 【答案】(1)P(2,1)，a=2.(2) 【解析】 (1) 因为直线和相交于点P，且P点在直线上，所以联立，解得：P(2,1). 将P的坐标(2,1)代入直线中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2. (2) 设所求直线为l. 当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-2.此时点P与直线的距离为4,不合题意，舍去； 当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k，则l的方程为,即. 因此点P到直线的距离,解方程可得k=2， 所以直线的方程为.