【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第1.4练《空间向量的应用》培优分阶练（含解析）

第1.4练 空间向量的应用 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ） A． B． C．1 D．2 3．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 4．正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（       ） A． B． C． D． 5．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ） A． B． C． D． 6．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（       ） A． B． C． D． 7．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（       ） A． B． C． D． 8．在正方体中，若M是棱的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（       ） A． B． C． D．与P点位置无关 二、多选题 9．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（       ） A．与是共线向量 B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3） C．与夹角的余弦值是 D．与方向相同的单位向量是（1，1，0） 10．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面，所成二面角的大小为 三、解答题 11．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 12．如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点.将沿DM翻折至，连接PC，PB． (1)证明：DM⊥PC. (2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值. 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（       ） A． B． C．或 D． 2．已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 3．在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 4．已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（       ） A． B． C．4 D．10 5．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（       ） A．30° B．45° C．60° D．120° 二、多选题 7．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，O，P分别是的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是（       ） A． B．存在点M，使平面SBC C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30° D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值 8．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），下列结论中正确的是（       ） A．三棱锥的体积为定值 B．平面与平面所成锐二面角为，则 C．直线与所成的角可能是 D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 三、解答题 9．如图，在三棱锥中，，平面，，. (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角大小. 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.