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2022-2023学年八年级数学上学期期中模拟测试卷（04）（测试范围：第1章-第4章）
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这是一份2022-2023学年八年级数学上学期期中模拟测试卷（04）（测试范围：第1章-第4章），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年八年级数学上学期期中模拟测试卷（04）
一、单选题(共12分)
1．(本题2分)下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题2分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．1，，3 D．2，3，4
3．(本题2分)已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4或10 D．6或10
4．(本题2分)下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0
B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1
D．0.01是0.1的平方根
5．(本题2分)如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．BE＝CD，∠EBA＝∠DCA B．OD＝OE，∠ABE＝∠ACD
C．AD＝AE，BE＝CD D．BE＝CD，BD＝CE
6．(本题2分)如图，在3×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题(共30分)
7．(本题3分)计算：______．
8．(本题3分)如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
9．(本题3分)如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．
10．(本题3分)如图，OC平分，点P在OC上，于D，，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm．
11．(本题3分)等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．
12．(本题3分)在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
13．(本题3分)在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
14．(本题3分)如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③点B到∠AHD两边距离相等；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形．其中正确的有______（只填序号）．
15．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=60°；③BG=GC；④AGCF．其中正确的结论有____________． （填序号）
16．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，连接DN、MN，则DN+MN的最小值是______．
三、解答题(共78分)
17．(本题6分)如图，已知AB⊥CD，垂足为点D，AD＝CD，点E在线段CD上，且DE＝DB，连接AE、BC．
(1)问：△ADE与△CDB是否全等？判断并说明理由；
(2)连接AC，若∠CAE＝25°，请直接写出∠ABC和∠ACB的度数．
18．(本题8分)如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；
(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
19．(本题8分)如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
20．(本题8分)如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
21．(本题8分)问题提出
(1)如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，求BD的长度．
问题解决
(2)某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图2所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，，，△ACD面积为，且CD的长为6km，求河流另一边森林公园△BCD的面积．
22．(本题8分)如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
23．(本题10分)如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
24．(本题10分)八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
25．(本题12分)问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
答案与解析
一、单选题(共12分)
1．(本题2分)下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可得出答案．
【详解】解：观察四个选项，只有A选项中的图形沿中间直线对折后，两侧的图形能够完全重合，
因此只有A选项中的图形是轴对称图形，
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的判断，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．
2．(本题2分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．1，，3 D．2，3，4
【答案】A
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A．0.32+0.42=0.52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．12+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．(本题2分)已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4或10 D．6或10
【答案】B
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵10-4
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形两边之得大于每三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
4．(本题2分)下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0
B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1
D．0.01是0.1的平方根
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根，立方根以及特殊数的平方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答前提．
【详解】解：A.0的立方根是0，0的平方根也是0，因此选项A符合题意；
B.1的平方根是±1，1的立方根是1，因此选项B不符合题意；
C．由于负数没有平方根，因此选项C不符合题意；
D.0.1是0.01的一个平方根，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提．
5．(本题2分)如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．BE＝CD，∠EBA＝∠DCA B．OD＝OE，∠ABE＝∠ACD
C．AD＝AE，BE＝CD D．BE＝CD，BD＝CE
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A、由于∠EBA＝∠DCA，加上BE＝CD，∠A为公共角，则可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，所以A选项不符合题意；
B．由于OD＝OE，∠ABE＝∠ACD，∠BOD＝∠COE，
则△BOD≌△COE，
所以OB＝OC，而OD＝OE，所以BE＝CD，
则可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，所以B选项不符合题意；
C．AD＝AE，BE＝CD，而∠BAE＝∠CAD，
所以△ABE与△ACD不一定全等，
所以C选项符合题意；
D．BE＝CD，BD＝CE，BC＝CB，
则根据SSS可判断△BCD≌△CBE，
所以∠BEC＝∠BDC，则∠AEB＝∠ADC，
于是可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
6．(本题2分)如图，在3×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【详解】解：如图
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共30分)
7．(本题3分)计算：______．
【答案】－5
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：原式＝－4－1＝－5
故答案为－5．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知立方根的定义．
8．(本题3分)如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
9．(本题3分)如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．
【答案】14
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【详解】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，
由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC==8（米），
则AC+BC=14（米），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
10．(本题3分)如图，OC平分，点P在OC上，于D，，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm．
【答案】6
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．(本题3分)等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．
【答案】110°或70°
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：①如图，当∠BAC是钝角时，
由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝70°，
∴∠BAC＝∠EAD
＝360°﹣90°﹣90°﹣70°
＝110°．
②如图，当∠A是锐角时，
由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝70°，
∴∠DHE＝110°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故答案为：110°或70°．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，四边形内角和定理以及三角形的高等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．(本题3分)在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积．
【详解】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，BC=6，
∴BH=BC=3，
由勾股定理得，AH==4，
∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．(本题3分)在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【答案】3＜m＜13
【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
14．(本题3分)如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③点B到∠AHD两边距离相等；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形．其中正确的有______（只填序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】∵AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴在△BGD和△BFE中，
，
∴△BGD≌△BFE(ASA)，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
在△ABF和△CGB中，
，
∴△ABF≌△CGB(SAS)，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∴①②③④⑤都正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握三角形的全等证明是解题的关键．
15．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=60°；③BG=GC；④AGCF．其中正确的结论有____________． （填序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识逐项进行判断即可．
【详解】解：由翻折变换可知，AD=AF=6，∠DAE=∠FAE，DE=FE=2，∠D=∠AFE，
∴∠AFG=180°-∠AFE=90°=∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
由Rt△ABG≌Rt△AFG可得∠BAG=∠FAG，
又∵∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE=90°，
∴∠FAG+∠FAE=×90°=45°，即∠GAE=45°，故②错误；
由翻折变换可知，DE=EF=2，
由全等三角形可知BG=GF，
设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2，EC=6-2=4，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EC2+GC2=EG2，
即42+（6-x）2=（x+2）2，
解得x=3，
即BG=3，CG=6-3=3=BG，故③正确；
由上述可知，BG=CG=FG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
由三角形全等可得，∠AGB=∠AGF，
又∵∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°=∠FGC+∠GCF+∠GFC，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AGFC，故④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，理解和掌握正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是正确判断的前提．
16．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，连接DN、MN，则DN+MN的最小值是______．
【答案】5
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，，
故DN+MN的最小值是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
三、解答题(共78分)
17．(本题6分)如图，已知AB⊥CD，垂足为点D，AD＝CD，点E在线段CD上，且DE＝DB，连接AE、BC．
(1)问：△ADE与△CDB是否全等？判断并说明理由；
(2)连接AC，若∠CAE＝25°，请直接写出∠ABC和∠ACB的度数．
【答案】(1)△ADE与△CDB全等，理由见解析
(2)，
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形的性质可得∠EAD=∠BCD，进而求得∠EAD、∠BCD的度数，据此即可求得．
（1）
解：△ADE与△CDB全等，
理由如下：
AB⊥CD，
在Rt△ADE与Rt△CDB中，
；
（2）
解：如图：连接AC，
，
，，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．
18．(本题8分)如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；
(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积．
（3）关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
（1）
如图所示，
（2）
，
∴△A1B1C1的面积为；
（3）
如图所示，关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称线的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．
19．(本题8分)如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
（1）
解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）
∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则，
∵，
∵，
要使周长最小，
即最小，
当点P是直线m与AB的交点时，最小，
即，此时．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
20．(本题8分)如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
【答案】
【分析】已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得出的面积．
【详解】解：，，，
又，
，
是直角三角形，且，
∴．
，，
，
，
的面积为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
21．(本题8分)问题提出
(1)如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，求BD的长度．
问题解决
(2)某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图2所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，，，△ACD面积为，且CD的长为6km，求河流另一边森林公园△BCD的面积．
【答案】(1)BD=11.5
(2)△BCD的面积为
【分析】（1）易证得△ABC≌△CDE（AAS），即可得到CD＝AB＝5，ED＝BC＝6.5，从而求得BD＝BC＋CD＝6.5＋5＝11.5．
（2）作AE⊥CD于E，BF⊥CD，交DC的延长线于F，利用三角形面积求得AE，利用等腰直角三角形的性质得到DE＝AE＝4km，即可求得CE＝2km，由（1）同理可知△AEC≌△CFB（AAS），即可得到BF＝CE＝2km，然后利用三角形面积公式即可求得△BCD的面积．
（1）
解：在Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACE＝∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠ECD＝∠BAC，
∵在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴CD＝AB＝5，ED＝BC＝6.5，
∴BD＝BC＋CD＝6.5＋5＝11.5．
（2）
解：作AE⊥CD于E，BF⊥CD，交DC的延长线于F，如图所示：
∵△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，
∴AE•CD＝12，即×6•AE＝12，
∴AE＝4（km），
∵∠ADC＝45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴ED＝AE＝4km，
∴CE＝6−4＝2（km），
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，
由（1）同理可知，△AEC≌△CFB（AAS），
∴BF＝CE＝2km，
∴S△BCD＝CD•BF＝×6×2＝6（km2）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．
22．(本题8分)如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；
（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）．
（2）
解：∵BC＝12，
∴AD＝12
在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，
∴AE＝＝4，
由（1）知△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．
∴∠EAF＝90°
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
23．(本题10分)如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据梯形的面积公式即可求解；
（2）如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计算方式即可求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
(2)
如图所示，可以证明a2+b2＝c2．
验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
24．(本题10分)八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求出一角为，利用全等三角形的性质得出，等边三角形的判定得是等边三角形，最后由等边三角形性质得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出一角为，再由垂直平分线的性质得出，，进而得，是等边三角形，再由等边三角形性质证明结论．
（1）
中，，，
．
≌，
,，
是等边三角形（一角为的等腰三角形为等边三角形）．
，，
．
（2）
①如图所示
②证明：
，，
．
垂直平分，
．
，
，
，
是等边三角形．
，
．
，
．
【点睛】本题考查直角三角形、等边三角形、全等三角形、线段的垂直平分线的性质的理解与运用能力．掌握线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等边三角形的性质与判定（三边相等，三个角相等且为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形）是解题的关键．
25．(本题12分)问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．
【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE=x，则BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时．如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合．如图4-3中，当BE=AF时．如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
（1）
解：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴则△ABC关于的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）
∵与是关于互补三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在长方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
设AE=x，则BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x，连接EF．
∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时AE=AB+BE=AB+BC=18．
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
2022-2023学年八年级数学上学期期中模拟测试卷（04）
一、单选题(共12分)
1．(本题2分)下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题2分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．1，，3 D．2，3，4
3．(本题2分)已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4或10 D．6或10
4．(本题2分)下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0
B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1
D．0.01是0.1的平方根
5．(本题2分)如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．BE＝CD，∠EBA＝∠DCA B．OD＝OE，∠ABE＝∠ACD
C．AD＝AE，BE＝CD D．BE＝CD，BD＝CE
6．(本题2分)如图，在3×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题(共30分)
7．(本题3分)计算：______．
8．(本题3分)如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
9．(本题3分)如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．
10．(本题3分)如图，OC平分，点P在OC上，于D，，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm．
11．(本题3分)等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．
12．(本题3分)在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
13．(本题3分)在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
14．(本题3分)如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③点B到∠AHD两边距离相等；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形．其中正确的有______（只填序号）．
15．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=60°；③BG=GC；④AGCF．其中正确的结论有____________． （填序号）
16．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，连接DN、MN，则DN+MN的最小值是______．
三、解答题(共78分)
17．(本题6分)如图，已知AB⊥CD，垂足为点D，AD＝CD，点E在线段CD上，且DE＝DB，连接AE、BC．
(1)问：△ADE与△CDB是否全等？判断并说明理由；
(2)连接AC，若∠CAE＝25°，请直接写出∠ABC和∠ACB的度数．
18．(本题8分)如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；
(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
19．(本题8分)如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
20．(本题8分)如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
21．(本题8分)问题提出
(1)如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，求BD的长度．
问题解决
(2)某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图2所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，，，△ACD面积为，且CD的长为6km，求河流另一边森林公园△BCD的面积．
22．(本题8分)如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
23．(本题10分)如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
24．(本题10分)八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
25．(本题12分)问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
答案与解析
一、单选题(共12分)
1．(本题2分)下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可得出答案．
【详解】解：观察四个选项，只有A选项中的图形沿中间直线对折后，两侧的图形能够完全重合，
因此只有A选项中的图形是轴对称图形，
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的判断，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．
2．(本题2分)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．1，，3 D．2，3，4
【答案】A
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A．0.32+0.42=0.52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B．12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．12+（）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．(本题2分)已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（ ）
A．4 B．10 C．4或10 D．6或10
【答案】B
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵10-4
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形两边之得大于每三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
4．(本题2分)下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0
B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1
D．0.01是0.1的平方根
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根，立方根以及特殊数的平方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答前提．
【详解】解：A.0的立方根是0，0的平方根也是0，因此选项A符合题意；
B.1的平方根是±1，1的立方根是1，因此选项B不符合题意；
C．由于负数没有平方根，因此选项C不符合题意；
D.0.1是0.01的一个平方根，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提．
5．(本题2分)如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明△ABE≌△ACD的是（ ）
A．BE＝CD，∠EBA＝∠DCA B．OD＝OE，∠ABE＝∠ACD
C．AD＝AE，BE＝CD D．BE＝CD，BD＝CE
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A、由于∠EBA＝∠DCA，加上BE＝CD，∠A为公共角，则可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，所以A选项不符合题意；
B．由于OD＝OE，∠ABE＝∠ACD，∠BOD＝∠COE，
则△BOD≌△COE，
所以OB＝OC，而OD＝OE，所以BE＝CD，
则可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，所以B选项不符合题意；
C．AD＝AE，BE＝CD，而∠BAE＝∠CAD，
所以△ABE与△ACD不一定全等，
所以C选项符合题意；
D．BE＝CD，BD＝CE，BC＝CB，
则根据SSS可判断△BCD≌△CBE，
所以∠BEC＝∠BDC，则∠AEB＝∠ADC，
于是可根据“AAS“可判断△ABE≌△ACD，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
6．(本题2分)如图，在3×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．
【详解】解：如图
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共30分)
7．(本题3分)计算：______．
【答案】－5
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：原式＝－4－1＝－5
故答案为－5．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知立方根的定义．
8．(本题3分)如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
9．(本题3分)如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．
【答案】14
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【详解】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，
由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，
由勾股定理得BC==8（米），
则AC+BC=14（米），
故答案为：14．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
10．(本题3分)如图，OC平分，点P在OC上，于D，，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为______cm．
【答案】6
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
点是射线上的动点，
的最小值为．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
11．(本题3分)等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．
【答案】110°或70°
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：①如图，当∠BAC是钝角时，
由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝70°，
∴∠BAC＝∠EAD
＝360°﹣90°﹣90°﹣70°
＝110°．
②如图，当∠A是锐角时，
由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝70°，
∴∠DHE＝110°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故答案为：110°或70°．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，四边形内角和定理以及三角形的高等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．(本题3分)在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积．
【详解】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，BC=6，
∴BH=BC=3，
由勾股定理得，AH==4，
∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．(本题3分)在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【答案】3＜m＜13
【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
14．(本题3分)如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①AE＝CD；②BF＝BG；③点B到∠AHD两边距离相等；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形．其中正确的有______（只填序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】∵AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴在△BGD和△BFE中，
，
∴△BGD≌△BFE(ASA)，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
在△ABF和△CGB中，
，
∴△ABF≌△CGB(SAS)，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∴①②③④⑤都正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握三角形的全等证明是解题的关键．
15．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=60°；③BG=GC；④AGCF．其中正确的结论有____________． （填序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识逐项进行判断即可．
【详解】解：由翻折变换可知，AD=AF=6，∠DAE=∠FAE，DE=FE=2，∠D=∠AFE，
∴∠AFG=180°-∠AFE=90°=∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
由Rt△ABG≌Rt△AFG可得∠BAG=∠FAG，
又∵∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE=90°，
∴∠FAG+∠FAE=×90°=45°，即∠GAE=45°，故②错误；
由翻折变换可知，DE=EF=2，
由全等三角形可知BG=GF，
设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2，EC=6-2=4，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EC2+GC2=EG2，
即42+（6-x）2=（x+2）2，
解得x=3，
即BG=3，CG=6-3=3=BG，故③正确；
由上述可知，BG=CG=FG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
由三角形全等可得，∠AGB=∠AGF，
又∵∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°=∠FGC+∠GCF+∠GFC，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AGFC，故④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，理解和掌握正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是正确判断的前提．
16．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，连接DN、MN，则DN+MN的最小值是______．
【答案】5
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，，
故DN+MN的最小值是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．
三、解答题(共78分)
17．(本题6分)如图，已知AB⊥CD，垂足为点D，AD＝CD，点E在线段CD上，且DE＝DB，连接AE、BC．
(1)问：△ADE与△CDB是否全等？判断并说明理由；
(2)连接AC，若∠CAE＝25°，请直接写出∠ABC和∠ACB的度数．
【答案】(1)△ADE与△CDB全等，理由见解析
(2)，
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理证明即可；
(2)根据全等三角形的性质可得∠EAD=∠BCD，进而求得∠EAD、∠BCD的度数，据此即可求得．
（1）
解：△ADE与△CDB全等，
理由如下：
AB⊥CD，
在Rt△ADE与Rt△CDB中，
；
（2）
解：如图：连接AC，
，
，，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．
18．(本题8分)如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；
(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积．
（3）关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
（1）
如图所示，
（2）
，
∴△A1B1C1的面积为；
（3）
如图所示，关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称线的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．
19．(本题8分)如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
（1）
解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）
∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则，
∵，
∵，
要使周长最小，
即最小，
当点P是直线m与AB的交点时，最小，
即，此时．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
20．(本题8分)如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
【答案】
【分析】已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得出的面积．
【详解】解：，，，
又，
，
是直角三角形，且，
∴．
，，
，
，
的面积为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
21．(本题8分)问题提出
(1)如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，求BD的长度．
问题解决
(2)某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图2所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，，，△ACD面积为，且CD的长为6km，求河流另一边森林公园△BCD的面积．
【答案】(1)BD=11.5
(2)△BCD的面积为
【分析】（1）易证得△ABC≌△CDE（AAS），即可得到CD＝AB＝5，ED＝BC＝6.5，从而求得BD＝BC＋CD＝6.5＋5＝11.5．
（2）作AE⊥CD于E，BF⊥CD，交DC的延长线于F，利用三角形面积求得AE，利用等腰直角三角形的性质得到DE＝AE＝4km，即可求得CE＝2km，由（1）同理可知△AEC≌△CFB（AAS），即可得到BF＝CE＝2km，然后利用三角形面积公式即可求得△BCD的面积．
（1）
解：在Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACE＝∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°＝∠BAC＋∠ACB，
∴∠ECD＝∠BAC，
∵在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴CD＝AB＝5，ED＝BC＝6.5，
∴BD＝BC＋CD＝6.5＋5＝11.5．
（2）
解：作AE⊥CD于E，BF⊥CD，交DC的延长线于F，如图所示：
∵△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，
∴AE•CD＝12，即×6•AE＝12，
∴AE＝4（km），
∵∠ADC＝45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴ED＝AE＝4km，
∴CE＝6−4＝2（km），
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，
由（1）同理可知，△AEC≌△CFB（AAS），
∴BF＝CE＝2km，
∴S△BCD＝CD•BF＝×6×2＝6（km2）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．
22．(本题8分)如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；
（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）．
（2）
解：∵BC＝12，
∴AD＝12
在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，
∴AE＝＝4，
由（1）知△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．
∴∠EAF＝90°
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
23．(本题10分)如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）．
(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理．
(2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据梯形的面积公式即可求解；
（2）如图所示，用图①的4个直角三角形，拼成正方形，根据正方形的面积的两种计算方式即可求解．
(1)
解：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
(2)
如图所示，可以证明a2+b2＝c2．
验证：大正方形的面积＝4×ab+（b﹣a）2
大正方形的面积＝c2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
24．(本题10分)八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求出一角为，利用全等三角形的性质得出，等边三角形的判定得是等边三角形，最后由等边三角形性质得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出一角为，再由垂直平分线的性质得出，，进而得，是等边三角形，再由等边三角形性质证明结论．
（1）
中，，，
．
≌，
,，
是等边三角形（一角为的等腰三角形为等边三角形）．
，，
．
（2）
①如图所示
②证明：
，，
．
垂直平分，
．
，
，
，
是等边三角形．
，
．
，
．
【点睛】本题考查直角三角形、等边三角形、全等三角形、线段的垂直平分线的性质的理解与运用能力．掌握线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；等边三角形的性质与判定（三边相等，三个角相等且为，有一个角为的等腰三角形是等边三角形）是解题的关键．
25．(本题12分)问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，，、为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是_______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，，．点在边上，点在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，，．点是线段上的动点，点是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点．在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)△BCD；
(2)3
(3)或2或或18．
【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE=FE，BC=FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE=x，则BE=EF=8-x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4-1中，当BE=AF时．如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合．如图4-3中，当BE=AF时．如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
（1）
解：如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠A+∠D=180°，
∴则△ABC关于的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）
∵与是关于互补三角形，
∴BE=FE，BC=FC，
在长方形中，，，
∴CD=AB=8，CB=CF=10，
∴DF=,
∴AF=AD-DF=4，
设AE=x，则BE=EF=8-x，
∴，解得,
∴AE=3；
（3）
如图4-1中，当BE=AF时，设AE=x，连接EF．
∵BE=EP=AF，EF=EF，∠EAF=∠FPE=90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF=AE=x，
在Rt△DCF中，DF=10-（8-x）=2+x，CD=8，CF=10-x，
∴（10-x）2=82+（2+x）2，
解得x=，
∴AE=
如图4-2中，当BE=BC=AF时，此时点F与D重合，可得AE=BE-AB=10-8=2．
如图4-3中，当BE=AF时，设AE=x，
同法可得PF=AE=x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2=82+（18-x）2，
解得x=，
∴AE=，
如图4-4中，当BE=CB=AF时，点F与点D重合，此时AE=AB+BE=AB+BC=18．
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
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