福建省厦门市思明区松柏中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）(含答案)

这是一份福建省厦门市思明区松柏中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省厦门市思明区松柏中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（解析版）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2﹣1＝0 D．3x2+6x+1＝0
2．（4分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣5 B．y＝（x+2）2+5 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+5
3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
4．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
5．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．（x﹣2）（x+2）＝0 B．﹣2x2＝0
C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2+2＝0
6．（4分）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣x2 D．y＝x2
7．（4分）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（4分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是　 　．
12．（4分）请写出一个开口向下，顶点坐标为（2，﹣1）的二次函数的解析式为 　 　．
13．（4分）关于x的方程mx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（4分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，依题意可列方程，得　 　．
15．（4分）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为　 　．
16．（4分）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　 　．
三、解答题（本大题共86分）
17．（12分）解方程：
（1）x（x+1）＝2x；
（2）2y2﹣3y﹣1＝0．
18．（8分）解不等式组：并在数轴上表示不等式的解集．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
20．（8分）画出二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象，并直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．

21．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．
22．（10分）如图，已知▱ABCD的周长是32cm，AB：BC＝5：3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于x的方程x2﹣ax﹣6＝0的一个根，求该方程的另一个根．

23．（10分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．

24．（10分）已知抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4（am≠0）过点A（0，4）．
（1）若m＝2时，求a的值；
（2）如图1，顶点M在第一象限，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且MB＝MC，在直线l右侧以BC为边作正方形BCDE，点E恰好在抛物线上．
①求am的值；
②试判断点E和点A是否关于直线l对称？如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．
③如图2，作直线CE，请说明直线CE始终在抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4的上方（除E点外）．

25．（12分）二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．
（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；
（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，设点D在直线AB上方的抛物线上，当∠CBD＝∠ABC时，求出点D的坐标；
（3）若在抛物线的对称轴上有一点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P的坐标．


2022-2023学年福建省厦门市思明区松柏中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2﹣1＝0 D．3x2+6x+1＝0
【分析】根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（4分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣5 B．y＝（x+2）2+5 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+5
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（1，2），故选项C中的说法错误；
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D中的说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．（x﹣2）（x+2）＝0 B．﹣2x2＝0
C．（x﹣1）2＝0 D．（x+1）2+2＝0
【分析】分别求出每个方程的根即可判断．
【解答】解：A、（x﹣2）（x+2）＝0中x＝2或x＝﹣2，错误；
B、﹣2x2＝0中x＝0，错误；
C、（x﹣1）2＝0中x＝0，错误；
D、（x+1）2+2＝0即（x+1）2＝﹣2，方程无实数根，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．（4分）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣x2 D．y＝x2
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，利用待定系数法求解．
【解答】解：设此函数解析式为：y＝ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2＝4a
即得a＝﹣，
那么y＝﹣x2．
故选：C．
【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
7．（4分）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣1，y2）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8．（4分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出函数的最大值即可得．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴当t＝时，S取得最大值，
即汽车刹车后到停下来前进的距离是m，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
9．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除A；根据抛物线得a＜0，故排除C．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除A；
∵抛物线得a＜0，
∴排除C；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
10．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案．
【解答】解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA＝OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，
整理可得ac﹣b+1＝0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，
即方程有一个根为x＝﹣c，
由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，
∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA＝OC，是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是　x＝±2　．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12．（4分）请写出一个开口向下，顶点坐标为（2，﹣1）的二次函数的解析式为 　y＝﹣（x﹣2）2﹣1（答案不唯一）　．
【分析】由题意可以设函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，只要a＜0即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（2，﹣1），
∴a＜0，
设函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
只要a＜0取值即可；
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数解析式的求法；熟练掌握二次函数解析式的顶点式，同时利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
13．（4分）关于x的方程mx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜4且m≠0　．
【分析】由关于x的一元二次方程mx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即42﹣4•m•1＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即42﹣4•m•1＞0，
解得m＜4，
∴m的取值范围为m＜4且m≠0．
故答案为：m＜4且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＜0，方程有两个相等的实数根；当Δ＝0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
14．（4分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，依题意可列方程，得　（1+x）2＝144　．
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝144即可．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
故答案为：（1+x）2＝144．
【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
15．（4分）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则当x＝﹣1时，y＝0，即ax2﹣2ax+c＝0的解是x＝﹣1，据此求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，ax2﹣2ax+c＝0成立，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是x1＝﹣1．
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴原方程可化为a（x2﹣2x﹣3）＝0，
∵a≠0．
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题拷出来方程的解与二次函数的关系，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
16．（4分）已知a﹣b＝2，ab+2b﹣c2+2c＝0，当b≥0，﹣2≤c＜1时，整数a的值是　2或3　．
【分析】由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可．
【解答】解：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴ab+2b﹣c2+2c
＝b（b+2）+2b﹣c2+2c
＝b2+4b﹣（c2﹣2c）
＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3
＝0，
∵b≥0，﹣2≤c＜1，
∴4≤（b+2）2≤12，
∵a是整数，
∴b＝0或1，
∴a＝2或3．
故答案为：2或3．
【点评】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共86分）
17．（12分）解方程：
（1）x（x+1）＝2x；
（2）2y2﹣3y﹣1＝0．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x（x+1）＝2x，
∴x（x+1﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1；
（2）2y2﹣3y﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴y＝，
∴y1＝，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（8分）解不等式组：并在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜3﹣x，得：x＜3，
解不等式1﹣3x≤2x﹣4，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式＝，再把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
20．（8分）画出二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象，并直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．

【分析】用“五点法”取值描点连线即可求解；观察函数图象可知，根据y＞0即图像在x轴上方部分，即可求解．
【解答】解：当x＝﹣3时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝﹣1，即抛物线的顶点坐标；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：

观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足x＞0或x＜﹣2时，y＞0．
∴y＞0时，自变量x的取值范围是x＞0或x＜﹣2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不等的实数根，求k的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．
【分析】（1）由根的判别式Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0可得答案；
（2）将x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+1代入x1+x2＝﹣x1•x2，计算可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，
∴k＞；
（2）∵x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2+1，且x1+x2＝﹣x1•x2，
∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1），
∴k2﹣2k＝0，
k（k﹣2）＝0，
∴k1＝0或k2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不等实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2＝﹣x1•x2，找出关于k的一元二次方程．
22．（10分）如图，已知▱ABCD的周长是32cm，AB：BC＝5：3，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．
（1）求∠C的度数；
（2）已知DF的长是关于x的方程x2﹣ax﹣6＝0的一个根，求该方程的另一个根．

【分析】（1）根据垂线的定义可得出∠AFD＝∠AEB，由四边形内角和为360°结合∠EAF＝2∠C，即可求出∠C的度数；
（2）根据平行四边形的周长结合两邻边的比例可求出AD的长度，在Rt△ADF中，可求出DF的长度，再利用根与系数的关系即可求出方程x2﹣ax﹣6＝0的另一个根．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF+∠C＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
又∵∠EAF＝2∠C，
∴∠C＝60°．
（2）∵▱ABCD的周长是32cm，AB：BC＝5：3，
∴AB＝10cm，BC＝6cm．
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝6cm，∠ADF＝∠C＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝3cm．
∵DF的长是关于x的方程x2﹣ax﹣6＝0的一个根，
∴方程的另一根为﹣6÷3＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系、平行四边形的性质、解含30度角的直角三角形以及四边形的内角和，解题的关键是：（1）根据四边形内角和为360°结合∠EAF＝2∠C，求出∠C的度数；（2）通过解含30度角的直角三角形找出DF的长度．
23．（10分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．

【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点评】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
24．（10分）已知抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4（am≠0）过点A（0，4）．
（1）若m＝2时，求a的值；
（2）如图1，顶点M在第一象限，B、C是抛物线对称轴l上的两点，且MB＝MC，在直线l右侧以BC为边作正方形BCDE，点E恰好在抛物线上．
①求am的值；
②试判断点E和点A是否关于直线l对称？如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．
③如图2，作直线CE，请说明直线CE始终在抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4的上方（除E点外）．

【分析】（1）将A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+5，可求出a的值，则可得出答案；
（2）①由A点坐标可得出am2+m＝0，则得出答案；
②由正方形的性质得出BC＝BE，BE∥x轴，设BC＝t，则BE＝t，BM＝CM＝，求出点E的坐标为（2m，4），则可得出结论；
③由待定系数法求出直线CE的解析式为y＝﹣x+2m+4，在x轴上取一点G（x，0），过点G作直线GK⊥x轴，分别与直线CE，抛物线交于点K，H，求出KH＝﹣，当x＝﹣时，即x＝2m时，KH＝0，此时点E，H，K是同一个点；当x≠﹣时，即x≠2m时，KH＞0，此时点K在点H的上方．则可得出结论．
【解答】解：（1）∵m＝2，
∴二次函数表达式设为y＝a（x﹣2）2+5，
∵点A（0，4）在抛物线上，
∴4＝a（0﹣2）2+5，
∴a＝﹣；
（2）①∵抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4（am≠0）过点A（0，4），
∴4＝a（0﹣m）2+m+4，
∴am2+m＝0，
∵am≠0，
∴a≠0，且m≠0，
∴am＝﹣；
②点E和点A关于直线l对称．
理由如下：∵抛物线y＝a（x﹣m）2+m+4的对称轴为x＝m，四边形BCDE为正方形，
∴BC＝BE，BE∥x轴，
设BC＝t，则BE＝t，BM＝CM＝，
∴M（m，m+4），
∴B（m，），C（m，），E（m+t，），
∵E恰好在抛物线上，
∴＝a（m+t﹣m）2+m+4，
∴﹣，
∴at＝﹣，
∵am＝﹣，
∴am＝at，
∴m＝t，
∴E（2m，4），
又∵A（0，4），对称轴为x＝m，
∴点E和点A关于直线l对称．
③C（m，m+4），E（2m，4），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
，
解得，，
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+2m+4，
在x轴上取一点G（x，0），过点G作直线GK⊥x轴，分别与直线CE，抛物线交于点K，H，

由题意知K（x，﹣x+2m+4），H[x，a（x﹣m）2+m+4]，am＝﹣，＝﹣2m，
则KH＝﹣x+2m+4﹣[a（x﹣m）2+m+4]
＝﹣x+2m+4﹣a（x﹣m）2﹣m﹣4
＝﹣x+
＝﹣x+m﹣ax2+2amx﹣am2
＝﹣x+m
＝﹣ax2﹣2x+2m
＝+2m
＝
＝﹣．
当x＝﹣时，即x＝2m时，KH＝0，此时点E，H，K是同一个点；
当x≠﹣时，即x≠2m时，KH＞0，此时点K在点H的上方．
所以直线CE始终在抛物线上方（除E点外）．
【点评】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，二次函数的性质和轴对称的性质，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质．会运用方程的思想方法解决数学问题．
25．（12分）二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）．
（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；
（2）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，设点D在直线AB上方的抛物线上，当∠CBD＝∠ABC时，求出点D的坐标；
（3）若在抛物线的对称轴上有一点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，试直接写出符合题意的所有的点P的坐标．

【分析】（1）把B（3，6）代入y＝ax2﹣4ax+2，列方程求a的值，求出二次函数的解析式，再令x＝0，求出点A的纵坐标；
（2）先作点A关于直线BC的对称点E，交抛物线于点D，得到∠CBD＝∠ABC，求直线BD的解析式且与二次函数的解析式组成方程组，解方程组求出点D的坐标；
（3）以AB为腰的等腰三角形PAB，可按以BP为底边或以AP为底边两种情况分类讨论，由AP2＝AB2或PB2＝AB2列方程，分别求出相应的点P的坐标．
【解答】解：（1）把B（3，6）代入y＝ax2﹣4ax+2，得9a﹣12a+2＝6，
解得，a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2x+2；
当x＝0时，y＝x2x+2＝2，
∴A（0，2）．
（2）如图1，∵y＝x2x+2＝（x﹣2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点C与点B（3，6）关于直线x＝2对称，
∴C（1，6），
∴BC∥x轴，
作点A（0，2）关于直线BC的对称点E，交抛物线于点D，则E（0，10），
∵BC垂直平分AE，
∴AB＝AE，
∴∠CBD＝∠ABC，
设直线BD的解析式为y＝kx+10，则3k+10＝6，
解得，k＝，
∴y＝x+10，
由，得，，
∴D（2，）．
（3）设P（2，m），
∵A（0，2），B（3，6），
∴AB2＝32+（6﹣2）2＝25，
当AP＝AB时，如图2，
由AP2＝AB2得，22+（m﹣2）2＝25，
整理得，m2﹣4m﹣17＝0，
解得，m1＝2+，m2＝2，
∴P（2，2+）或P′（2，2），
当PB＝AB时，如图3，
由PB2＝AB2，得（3﹣2）2+（6﹣m）2＝25，
整理得，m2﹣12m+12＝0，
解得，m1＝6，m2＝6，
∴P（2，6）或P′（2，6），
综上所述，点P的坐标为P（2，2+）或（2，2）或（2，6）或（2，6）．



【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、解一元二次方程、二次根式的化简及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．