2019-2020学年福建省厦门市思明区松柏中学八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省厦门市思明区松柏中学八上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 一个三角形的三个内角的度数之比为 1:2:3，这个三角形一定是
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定

3. 已知点 A 与点 B−4,−5 关于原点对称，则 A 点坐标是
A. 4,−5B. −4,5C. −4,−5D. 4,5

4. 下列算式中，结果等于 a6 的是
A. a4+a2B. a2+a2+a2C. a2⋅a3D. a2⋅a2⋅a2

5. 若一个多边形的内角和为 720∘，则这个多边形是
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形

6. 若 AD 是 △ABC 的中线，则以下结论正确的是
A. AD⊥BCB. ∠BAD=∠CAD
C. BD=CDD. 以上答案都正确

7. 在 △ABC，△DEF 中，已知 AB=DE，BC=EF，那么添加下列条件后，仍然无法判定 △ABC≌△DEF 的是
A. AC=DFB. ∠B=∠EC. ∠C=∠FD. ∠A=∠D=90∘

8. 三个等边三角形的摆放位置如图，若 ∠3=60∘，则 ∠1+∠2 的度数为 ∘．
A. 150B. 120C. 90D. 80

9. 如图，在平面直角坐标系中，在 x 轴、 y 轴的半轴上分别截取 OA，OB，使 OA=OB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于 12AB 长为半径作弧，两弧交于点 C．若点 C 的坐标为 m−1,2n，则 m 与 n 的关系为
A. m+2n=1B. m−2n=1C. 2n−m=1D. n−2m=1

10. 在平面直角坐标系中，已知点 Pa2+2,5，则点 P 关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都为 −2）对称点的坐标是
A. −a2+6,5B. −a2−6,5
C. a2−6,5D. −a2+4,5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 计算：
（1）4a6÷2a3= ；
（2）−2x23= ．

12. 超重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了 ．

13. 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出 x= ．

14. 如图，在 △ABC 中，AB=14 cm，AC=16 cm，DE 是 BC 的中垂线，则 △ABD 的周长 = ．

15. 如图，△APT 与 △CPT 关于直线 PT 对称，AT=PT，延长 AT 交 PC 于点 F，当 ∠A= 时，△TFC 是等腰三角形．

16. 如图，△ABC 中，∠BAC=75∘，BC=6，△ABC 的面积为 30，D 为 BC 边上一动点（不与 B，C 重合），将 △ABD 和 △ACD 分别沿直线 AB，AC 翻折得到 △ABE 与 △ACF，那么 △AEF 的面积最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算．
（1）−2a⋅a4+a2⋅a3；
（2）4x2y−4xy2−2y3÷y−x2x+y．

18. 已知等腰三角形的一边长为 2 cm，且它的周长为 10 cm，求它的底边长．

19. 如图，在直角坐标系中，先描出点 A1,3，点 B4,1．
（1）描出点 A 关于 x 轴的对称点 A1 的位置，写出 A1 的坐标 ；
（2）用尺规在 x 轴上找一点 C，使 AC+BC 的值最小（保留作图痕迹）；
（3）用尺规在 x 轴上找一点 P，使 PA=PB（保留作图痕迹）．

20. 如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，AF 与 DE 交于点 O．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：△OEF 为等腰三角形．

21. 如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为 4a−b 米，宽为 2a+3b 米的长方形草坪上修建两条宽为 b 米的通道．
（1）剩余草坪的面积是多少平方米?
（2）当 a=10，b=2 时，剩余草坪的面积是多少平方米?

22. 已知：如图，点 D 是 △ABC 的边 AC 上的一点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥BC，E，F 为垂足，再过点 D 作 DG∥AB，交 BC 于点 G，且 DE=DF．
（1）求证：DG=BG；
（2）求证：BD 垂直平分 EF．

23. 回答下列问题．
（1）已知 2a×4b=8，求 a+2b2−a−2b 值．
（2）满足 x2+2y2+3x2+2y2−3=27，求 x2+2y2 的值．
（3）已知 4a2+a÷42=1，求 2a3+3a2−3a+2019 的值．

24. 如图所示，等边 △ABC．
（1）如图（1），若 AB=12 cm，现有两点 M，N 分别从点 A 、点 B 同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点 M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为 2 cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时，M，N 同时停止运动．点 M，N 运动 秒后，△AMN 为等腰三角形．
（2）如图，点 P 位于等边 △ABC 的内部，且 ∠ACP=∠CBP．将 △PCB 绕点 C 顺时针旋转 60∘，点 P 的对应点为点 D．
① 依题意，补全图形；
② 若 BD=15，PC=3，求 △DAB 与 △DBC 的面积比．

25. 如图，Aa,0，B0,b，满足：a+b=b−4+4−b，AO:AB=1:2．
（1）AB= ．
（2）点 D 是 A 点左侧的 x 轴上一点，连接 BD，以 BD 为直角边作等腰直角 △BDE，∠EDB=90∘．连接 EA，EA 交 BD 于点 G；
① 求 ∠EAB；
② 若 EA 平分 ∠BED，试求 EG 长．
答案
第一部分
1. A【解析】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形不是轴对称图形．
2. A【解析】设三个内角分别为 x，2x，3x，
则 x+2x+3x=180∘，解得 x=30∘．
∴ 三个内角分别为 30∘，60∘，90∘．
∴ 这个三角形一定是直角三角形．
3. D【解析】∵ 点 A 与点 B 关于原点对称，且两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
∴ 点 B−4,−5 关于原点 O 的对称点 A 点坐标是 4,5．
4. D【解析】a4 与 a2 不是同类项，不能合并；a2+a2+a2=3a2；a2⋅a3=a5；a2⋅a2⋅a2=a6．
5. D
【解析】设这个多边形的边数为 n，由题意，得
n−2×180∘=720∘，
解得：n=6，
则这个多边形是六边形．
6. C【解析】∵AD 是 △ABC 的中线，
∴BD=CD．
7. C【解析】因为 AB=DE，BC=EF，
添加 AC=DF，可以依据 SSS 判定 △ABC≌△DEF．
添加 ∠B=∠E，可以依据 SAS 判定 △ABC≌△DEF．
C．添加 ∠C=∠F，不能判定 △ABC≌△DEF．
D．添加 ∠A=∠D=90∘，可以依据 HL 判定 △ABC≌△DEF．
8. B【解析】∵ 图中是三个等边三角形，∠3=60∘，
∴∠ABC=180∘−60∘−60∘=60∘，
∠ACB=180∘−60∘−∠2=120∘−∠2，
∠BAC=180∘−60∘−∠1=120∘−∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，
∴60∘+120∘−∠2+120∘−∠1=180∘，
∴∠1+∠2=120∘．
9. B【解析】∵ 由题意可知，点 C 在 ∠AOB 的平分线上，
∴m−1=2n，
∴m−2n=1．
10. B
【解析】∵ a2+2>0，
∴ 点 Pa2+2,5 在第一象限，
∵ 直线 m 上各点的横坐标都是 −2，
∴ 直线为：x=−2，
∴ a2+2 到 −2 的距离为：a2+4，
∴ 点 P 关于直线 m 对称的点的横坐标是：−a2−6，
故 P 点对称的点的坐标是：−a2−6,5．
第二部分
11. 2a3，−8x6
【解析】（1）4a6÷2a3=4÷2a6÷a3=2a6−3=2a3；
（2）−2x23=−23x23=−8x6．
12. 三角形的稳定性
【解析】起重机的底座、输电线路的支架、自行车的斜支架等，都是采用三角形结构，这样做的数学道理是利用了三角形的稳定性．
13. 20
【解析】如图，∠A=180∘−50∘−60∘=70∘，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=20，即 x=20．
14. 30 cm
【解析】∵BC 的中垂线交 AC 于点 D，
∴DB=CD．
∵AB=14 cm，AC=16 cm，
∴△ABD 的周长 =AB+AD+BD=AB+AC=30 cm．
15. 36∘
【解析】∵△APT 与 △CPT 关于直线 PT 对称，
∴∠A=∠C，∠APT=∠CPT，
∵AT=PT，
∴∠PAT=∠APT，
∴∠APF=2∠APT=2∠A，
若 △TFC 是等腰三角形，则有 FT=FC，
∴∠FTC=∠C，
∴∠PFA=∠FTC+∠C=2∠C，
∴∠PFT=2∠A，
∵∠A+∠APF+∠PFA=180∘，即 ∠A+2∠A+2∠A=180∘，
∴∠A=36∘，
∴ 当 ∠A=36∘ 时，△TFC 是等腰三角形．
16. 15
【解析】如图，过 E 作 EG⊥AF，交 FA 的延长线于 G，
由折叠可得，AF=AE=AD，∠BAE=∠BAD，∠DAC=∠FAC，
又因为 ∠BAC=75∘，
所以 ∠EAF=150∘，
所以 ∠EAG=30∘，
所以 EG=12AE=12AD，
当 AD⊥BC 时，AD 最短，
因为 BC=6，△ABC 的面积为 30，
所以当 AD⊥BC 时，AD=10=AE=AF，
所以 △AEF 的面积最小值为：12AF×EG=12×3×10=15．
第三部分
17. （1） −2a⋅a4+a2⋅a3=−2a5+a5=−a5.
（2） 4x2y−4xy2−2y3÷y−x2x+y=4x2−4xy−2y2−2x2−xy=2x2−5xy−2y2.
18. 当腰长为 2 时，底边长为 10−2×2=6，三角形的三边长为 2，2，6，不能构成三角形；
当底边长为 2 时，腰长为 10−2÷2=4，三角形的三边长为 4，4，2，能构成三角形；
所以等腰三角形的底边长为 2．
19. （1） 1,−3
【解析】点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，因为 A1,3，故 A 关于 x 轴的对称点为 A11,−3．
（2） 根据题意，若要使 AC+BC 的值最小，根据两点之间线段最短原理，可知只需要连接 A1B 即可，A1B 与 x 轴的交点，即为点 C，具体作图如下：
（3） 若使 PA=PB，只需要作出直线 AB 的垂直平分线即可．具体作图如下：
20. （1） ∵BE=CF，
∴BF=EC．
在 △ABF 和 △DCE 中，
AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,
∴△ABF≌△DCESAS．
（2） ∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF 为等腰三角形．
21. （1） 将两条路平移后，
由图可得，
剩余草坪的面积是：4a−b−b2a+3b−b=4a−2b2a+2b=8a2+4ab−4b2 平方米．
（2） 当 a=10，b=2 时，
8a2+4ab−4b2=8×102+4×10×2−4×22=864，
即 a=10，b=2 时，剩余草坪的面积是 864 平方米．
22. （1） 连接 BD．
∵DE⊥AB，DF⊥BC 且 DE=DF，
∴∠ABD=∠DBC，
又 ∵DG∥AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG．
（2） 由（1）∠ABD=∠DBC 可知，∠EDB=∠FDB，
在 △BDE 与 △BDF 中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
∴BD 垂直平分 EF．
23. （1） ∵2a×4b=8，
∴2a+2b=23，
∴a+2b=3，
∴a+2b2−a−2b=a+2b2−a+2b=32−3=9−3=6．
（2） x2+2y2+3x2+2y2−3=27.x2+2y22−9=27.x2+2y22=36.
∵x2+2y2>0，
∴x2+2y2=6．
（3） ∵4a2+a÷42=1，
∴4a2+a=42．
∴a2+a=2，
∴2a3+3a2−3a+2019=2a3+2a2+a2−3a+2019=2aa2+a+a2−3a+2019=4a+a2−3a+2019=a2+a+2019=2+2019=2021.
24. （1） 16
【解析】设点 M，N 运动 t 秒后，可得到等边三角形 △AMN，如图 1，
AM=t，AN=AB−BN=12−2t，
∵△AMN 是等边三角形，
∴AM=AN，即 t=12−2t，
解得，t=4，
∴ 点 M，N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN；
当点 M，N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底的等腰三角形，如图 2：
∵△AMN 是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB 是等边三角形，
∴∠C=∠B=60∘，
在 △ACM 和 △ABN 中，
∠C=∠B,∠AMC=∠ANB,AC=AB,
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
设当点 M，N 在 BC 边上运动时，M，N 运动的时间 y 秒时，△AMN 是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，
由题意得，y−12=36−2y，
解得：y=16．
若点 M，N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形，M，N 运动的时间为 16 秒．
（2） ① 如图所示，
② ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∴∠PCA+∠PCB=60∘，
∵∠PCA=∠CBP，
∴∠PCB+∠PBC=60∘，
∴∠BPC=180∘−60∘=120∘，
∵∠CPD=180∘−∠BPC=60∘，PD=PC，
∴△CDP 等边三角形，
∴CD=CP=PD=3，∠DCP=∠ACB=60∘，
∴∠DCA=∠PCB，且 CA=CB，
∴△DCA≌△PCB（SAS），
∴AD=PB，
∵BD=15,
∴AD=PB=12，
如图，作 CM⊥BD 于 M，AN⊥BD 于 N．
∵∠CDP=∠ADP=60∘，
∴DM=12PD=32，
∴CM=CD2−DM2=32−322=332，
由 △DCA≌△PCB 得 ∠ADC=∠BPC=120∘，
∴∠ADP=60∘，
∴DN=12AD=6，
∴AN=AD2−DN2=122−62=63，
∴S△DABS△DBC=12BD⋅CM12BD⋅CN=12×15×33212×15×63=14．
25. （1） 42
【解析】因为 a+b=b−4+4−b，
所以 b−4≥0,4−b≥0,
解得：b=4．
此时 b−4+4−b=0，
所以 a+b=0．
所以 a=−4，
所以 A−4,0，B0,4，
所以 AB=42+42=42．
（2） ① 如图 1，过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H．
则 ∠EDH+∠DEH=90∘．
因为 ∠EDB=90∘．
所以 ∠EDH+∠BDO=90∘．
所以 ∠BDO=∠DEH．
在 △EHD 和 △DOB 中，
∠DEH=∠BDO,∠DHE=∠BOD=90∘,DE=BD,
所以 △EHD≌△DOB．
所以 DH=OB=OA=4，EH=OD．
而 AH=DH+AD=OA+AD=OD．
所以 EH=AH．
所以 △EHA 为等腰直角三角形．
所以 ∠EAH=45∘=∠BAO．
所以 ∠EAB=90∘．
② 如图 2，延长 BA，ED 相交于点 Q．
因为 EA 平分 ∠BEQ．
所以 ∠QEA=∠BEA．
由 ① 得：∠EAB=90∘=∠EAQ．
在 △BEA 和 △QEA 中，
∠EAB=∠EAQ,AE=AE,∠BEA=∠QEA,
所以 △BEA≌△QEA．
所以 QA=BA=42+42=42．
所以 BQ=2AB=82．
因为 ∠EDG=90∘=∠GAB．且 ∠EGD=∠BGA．
所以 ∠DEG=∠DBQ．
在 △EDG 和 △BDQ 中，
∠EDG=∠BDQ,DE=BD,∠DEG=∠DBQ,
所以 △EDG≌△BDHASA．
所以 EG=BH=82．