高考数学一轮复习讲义椭圆——一题多考点共39问

椭圆——一题多考点共39问

题干：已知①如图，长为宽为 2  的矩形 ABCD，以 A、B 为焦点的椭圆 M ：

恰好过 CD 两点

②设圆的圆心为S，直线 l 过点 T(  3,0)，且与 x 轴不重合，直线 l 交圆 S 于 CD 两点，过点 T 作 SC 的平行线交 SD 于 M , 判断点 M 的轨迹是否椭圆

考点 1：求椭圆的标准方程

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 M 的标准方程 ( 涉及定义法，点和焦点求椭圆 )

（2）过点且与椭圆 M 有相同的离心率的椭圆的标准方程( 涉及离心率与点求轨迹)

考点 2：点与椭圆的位置关系

（3）若点 P(1,m) 在椭圆 M 的内部，求 m 的取值范围

（4）若点 P 是椭圆 M 在第一象限内上的点，F 1， F2 分别是椭圆 M 的左右焦点，若 ，求点 P 的坐标；

（5）若 P 为椭圆 M 上的点，F1,F2 分别是椭圆 M 的左右焦点，若 ∠F1PF2 = 60°，求 △F1PF2的周长与面积

（6）记 A1,A2 分别是椭圆 M 左、右顶点，若 P 是椭圆 M 上的动点，判断是否为定值，并说明理由。

（7）若点 为椭圆 M 上异于顶点的动点，求证：直线与椭圆只有一

个公共点，并写出以为切点的椭圆的切线方程

（8）不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆相切点 P，求直线 OP 与直线 l 的斜率之积

考点 3：直线被椭圆截得的弦长

（9）求直线 y = x + 1 被椭圆 M 截得的弦长，

（10）若直线 y = x + m 被椭圆 M 截得的弦长等于短轴长，求 m 的值

（11）若一直线被椭圆 M 截得的弦恰以点为中点，求该直线的直线方程

（12）求直线 y = x + 1 被椭圆 M 截得的弦的中点坐标( 多种方法)，

（13）一直线与椭圆 M 交于 PQ 两点，若 PQ 的中点为 M , 求证：kPQ•kOM 为定值（涉及椭圆中的垂径定理）

考点 4：椭圆中的最值问题

（14）若点 P 是椭圆 M 上的点，F1,F2 分别是椭圆 M 的左右焦点，求的最值

（15）若点 P 是椭圆 M 上的点，F 1 ，F2 分别是椭圆 M 的左右焦点，求的最值

（16）若点 P 为椭圆上的动点，求点 P 到直线 x - y - 4 = 0 距离的最小值，并求此时的 P 点的坐标

（17）若 P(x,y) 是椭圆上的动点，求 x + y 的最值

（18）若 P(x,y) 是椭圆上的动点，求的最值

考点 5：与椭圆有关的轨迹方程

（19）若点 P 是椭圆 M 上的点，F1,F2 分别是椭圆 M 的左右焦点，延长 F1P 到 Q 使得，求动点 Q 的轨迹方程

（20）若 O 为坐标原点，P 为椭圆 M 上的任一点，点 S 满足，当点 P 在椭圆 M 上运动时，求 S 点的轨迹方程

（21）P 为椭圆 M 上的任一点，PH ⊥x 轴于 H 点，点 Q 满足，当 P 在椭圆上运动时，点 Q 的轨迹恰好为圆时，求 λ 的值

考点 6：设而不求法处理直线与椭圆的静态，动中有静，动态问题

（22）若直线 y = kx + 2 与椭圆 M 相交于 P、Q 两点，则是否存在 k, 使得以 PQ 为直径的圆恰好经过原点，若存在请求出 k 的值，若不存在请说明理由

（23）若一条直线 l 与椭圆 M 交于 PQ 两点，若以 PQ 为直径的圆过点 A2(2，0)，求证：直线 l恒过定点，并求出该定点的坐标。 ( 涉及斜率之积与定点)

（24）设直线 l 不经过 T(0,1) 且与椭圆相交于 P、Q 两点，若直线 TP 与 TQ 直线的斜率的和为-1，证明：直线 l 过定点 ( 涉及斜率之和与定点)

（25）过左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，交 y 轴的正半轴于点 M ．设，求证：λ1 + λ2 为定值． ( 涉及定值)

（26）过点 T(0，1) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 P，Q 两点．求证：直线 PQ 恒过定点 ( 涉及定点)

（27）若直线 l：y = kx + 2 与椭圆相交于 P、Q 两点，求 SΔPOQ 的最值( 涉及面积)

（28）已知 M 是直线 x = -1 上的动点且直线 l 与椭圆相交于 PQ 两点恰以 M 为中点，过 M点作直线 l 的垂线, 求证垂线恒过定点( 涉及定点)

（29）过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆的交于 PQ 两点，S 是椭圆的右顶点，直线 SP,SQ 分别与 y 轴交于点 M ,N ，问以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点？若恒过 x 轴上的定点，请求出该定点的坐标，若不恒过 x 轴上的定点，请说明理由 ( 涉及定点)

（30）椭圆的右顶点为 P，上顶点为 Q 已知四边形 PQMN 内接于椭圆，PQ ∥ MN ．记直线 PM ，QN 的斜率分别为 k1，k2，试问 k1•k2 是否为定值？证明你的结论． ( 涉及定值与斜率之积)

（31）直线 l ：y = kx + m(k ，m ∈ R) 与椭圆交于 P ，Q 两点，且，求证：三角形OPQ 的面积为定值． ( 涉及定值)

（32）若直线 l：y = kx + 2 与椭圆相交于 P、Q 两点，若原点在以 PQ 为直径的圆的内部，求

k 的取值范围

（33）若圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点为 T ，求 |OT|的最大值．

（34）记 B1,B2 分别是椭圆 M 与 y 轴相交的下上顶点，若一直线 l 交椭圆 M 于 PQ 两点，问是否存在直线 l 使得 B 为ΔPQB2 的垂心。若存在请求出直线 l 的方程，若不存在请说明理由

（35）过椭圆的下顶点且互相垂直的两直线 l1，l2 与直线 y = x 分别相交于 E ，F 两点，已知OE = OF ，求直线 l1 的斜率

（36）过左焦点 F1 且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 P 、Q、M 、N 四点，若四边形PMQN 的面积为，求直线 PQ 的方程；

（37）若 AB 是椭圆 M 的左右顶点，过点 (1,0) 的动直线 l 交椭圆 M 与 CD 两点，试探究直线 AC 与 BD 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由

( 涉及非对称问题)

（37）过椭圆 M 右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线 l 交椭圆 PQ 两点，在 x 轴上是否存在点 S，使得 SF 恰为∠PSQ 的平分线？  ( 涉及找一点促定值和角平分线问题)

（39）过椭圆 M 右焦点 F 作与坐标轴都不垂直的直线 l 交椭圆 PQ 两点，在 x 轴上是否存

在点 S，使得为定值  ( 涉及找一点促定值)