(新高考)高考数学一轮复习讲与练第5章§5.3《平面向量的数量积》(含详解)

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知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ )
(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
教材改编题
1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．0·a＝0
B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0⇒a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
答案 CD
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2eq \r(3)
3．已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．
答案 －eq \f(5,9)
解析 设a，b的夹角为θ，
依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，
则2a2－3a·b－2b2＝0，
故2×4－3×2×3·cs θ－2×32＝0，
则cs θ＝－eq \f(5,9).
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
答案 0 3
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|
＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，且cs θ＝eq \f(2,3)，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
答案 －2
解析 如图所示，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵eq \(CP,\s\up6(→))＝3eq \(PD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，
cs θ＝eq \f(2,3)，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×3×eq \f(2,3)＝8，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(3,16)eq \(AB,\s\up6(→))2
＝eq \f(1,2)×8－9＋eq \f(3,16)×42＝－2.
教师备选
1．(2019·全国Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 C
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋t－32)＝1，
解得t＝3，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2.
2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若eq \(BD,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，则x＋y＝________；②eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \f(3,4) 1
解析 ①∵M是BC的中点，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∵D是AM的中点，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)，∴x＋y＝eq \f(3,4).
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，
∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BM,\s\up6(→))|cs∠DBM＝|eq \(BM,\s\up6(→))|2＝1.
思维升华 计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
答案 －eq \f(9,2)
解析 由已知可得(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(9,2).
(2)(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则|eq \(PD,\s\up6(→))|＝________；eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \r(5) －1
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴P为BC的中点．
∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，
∴|eq \(PD,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－1.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
答案 2eq \r(19) 6eq \r(3)
解析 因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝6×4×eq \f(1,2)＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝2eq \r(19)，|a－3b|＝6eq \r(3).
命题点2 向量的夹角
例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)
＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).
命题点3 向量的垂直
例4 (2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案 eq \f(3,5)
解析 方法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，
∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝eq \f(3,5).
方法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，
从而λ＝eq \f(a·b,b2)＝eq \f(1，3·3，4,32＋42)＝eq \f(15,25)＝eq \f(3,5).
教师备选
1．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cs α＝eq \f(1,2)，∵α∈[0，π]，
∴α＝eq \f(π,3).
2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________.
答案 1
解析 由|e1＋e2|＝eq \r(3)，两边平方，
得eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝3.又e1，e2是单位向量，
所以2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，
所以|e1－e2|＝1.
思维升华 (1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2 (1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉等于( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(7),9) D.eq \f(\r(2),9)
答案 B
解析 方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
则c＝(eq \r(7)，eq \r(2))，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),3)，
∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3).
方法二 a·c＝a·(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)
＝eq \r(7)a2＋eq \r(2)a·b＝eq \r(7)，
|c|＝eq \r(\r(7)a＋\r(2)b2)＝eq \r(7a2＋2b2＋2\r(14)a·b)＝eq \r(7＋2)＝3，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),1×3)＝eq \f(\r(7),3)，
∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3).
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则( )
A．|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|
B．|eq \(AP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(AP2,\s\up6(—→))|
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))
答案 AC
解析 由题意可知，
|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝eq \r(cs2α＋sin2α)＝1，
|eq \(OP2,\s\up6(—→))|＝eq \r(cs2β＋－sin β2)＝1，
所以|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(OP2,\s\up6(—→))|，故A正确；
取α＝eq \f(π,4)，则P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
取β＝eq \f(5π,4)，
则P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
则|eq \(AP1,\s\up6(—→))|≠|eq \(AP2,\s\up6(—→))|，故B错误；
因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs(α＋β)，
eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))＝cs αcs β－sin αsin β＝cs(α＋β)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))，故C正确；
因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝cs α，
eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs βcs(α＋β)－sin βsin(α＋β)
＝cs(α＋2β)，
取α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,4)，
则eq \(OA,\s\up6(—→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))＝eq \f(\r(2),2)，eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝cs eq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP1,\s\up6(—→))≠eq \(OP2,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))，故D错误．
题型三 平面向量的实际应用
例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
A．|F1|的最小值为eq \f(1,2)|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝eq \f(π,2)时，|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|
D．当θ＝eq \f(2π,3)时，|F1|＝|G|
答案 ACD
解析 由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ
＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
所以|F1|2＝eq \f(|G|2,21＋cs θ).
当θ＝0时，|F1|min＝eq \f(1,2)|G|；
当θ＝eq \f(π,2)时，|F1|＝eq \f(\r(2),2)|G|；
当θ＝eq \f(2π,3)时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．
教师备选
若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2) N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
解 (1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝eq \r(|F1|2＋2F1·F2＋|F2|2)
＝eq \r(12＋2×1×\f(\r(6)＋\r(2),2)cs 45°＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2)
＝eq \r(4＋2\r(3))＝1＋eq \r(3).
(2)方法一 设F3与F1的夹角为θ，
则|F2|＝eq \r(|F1|2＋|F3|2＋2|F1||F3|cs θ)，
即eq \f(\r(6)＋\r(2),2)＝eq \r(12＋1＋\r(3)2＋2×1×1＋\r(3)cs θ)，
解得cs θ＝－eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝eq \f(5π,6).
方法二 设F3与F1的夹角为θ，
由余弦定理得
cs(π－θ)＝eq \f(12＋1＋\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2,2×1×1＋\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(5π,6).
思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )
A．在A′东侧 B．在A′西侧
C．恰好与A′重合 D．无法确定
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν1＝(－5，5eq \r(3))，ν2＝(6,0)，
所以ν1＋ν2＝(1,5eq \r(3))，
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．
极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a＋b2－a－b2)).
如图所示．
(1)在平行四边形ABDC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则a·b＝eq \f(1,4)(|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(BC,\s\up6(→))|2)．
(2)在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，AM为中线，则a·b＝|eq \(AM,\s\up6(→))|2－eq \f(1,4)|eq \(BC,\s\up6(→))|2.
例1 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
答案 －16
解析 如图所示，由极化恒等式，易得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2＝32－52＝－16.
例2 已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是________．
答案 1
解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))有最小值，即
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(OB,\s\up6(→))2＝(eq \r(2))2－12＝1.
例3 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 如图所示，
设eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，
记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
M为AB的中点，
由极化恒等式有
(a－c)·(b－c)＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
＝|eq \(CM,\s\up6(→))|2－eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2,4)＝0，
∴|eq \(CM,\s\up6(→))|2＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2,4)＝eq \f(1,2)，
可知eq \(MC,\s\up6(→))是有固定起点，固定模长的动向量．
点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，
所以|c|的最大值为圆的直径长，即为eq \r(2).
课时精练
1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
答案 D
解析 由题意得|a|＝|b|＝1，
设a，b的夹角为θ＝60°，
故a·b＝|a||b|cs θ＝eq \f(1,2).
对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2
＝eq \f(1,2)＋2＝eq \f(5,2)≠0；
对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
＝2×eq \f(1,2)＋1＝2≠0；
对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2
＝eq \f(1,2)－2＝－eq \f(3,2)≠0；
对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×eq \f(1,2)－1＝0.
2．(2022·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2,1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于( )
A．2eq \r(5) B．4
C．5eq \r(2) D．4eq \r(2)
答案 A
解析 因为b∥c，
所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，
又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，
所以λ＝2，c＝(4,2)，|c|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 D
解析 |a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，
得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，
所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
所以|a－b|＝eq \r(|a－b|2)
＝eq \r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq \f(2\r(3),3)|b|，
所以cs〈a－b，b〉＝eq \f(a－b·b,|a－b||b|)
＝eq \f(－|b|2,\f(2\r(3),3)|b|·|b|)＝－eq \f(\r(3),2)，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝eq \f(5π,6).
4．已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
答案 A
解析 由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±eq \f(b,\r(62＋－32))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))).
5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有( )
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b≤|a|·|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
答案 ACD
解析 根据数量积的分配律可知A正确；
选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cs〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cs〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，
故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．
6．(多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案 CD
解析 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案 －eq \f(10,3)
解析 c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq \f(10,3).
8．(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(3)
解析 将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).
9．(2022·长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为D，设向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up6(→))；
(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的值．
解 (1)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
(2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))
＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)a·b
＝eq \f(1,2)×32＋eq \f(1,2)×3×2×cs 60°＝6，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6.
10．(2022·湛江模拟)已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cs x－1)，n＝(cs x，cs x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
解 (1)f(x)＝m·n
＝eq \r(3)sin x·cs x＋cs2x－1
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x－eq \f(1,2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2).
令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．
(2)f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝0，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，又C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以C＝eq \f(π,3).
在△ACD中，CD＝eq \f(2\r(3),3)，
在△BCE中，
BE＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2－2×2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(21),3).
11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))等于( )
A．12 B．－12
C．20 D．－20
答案 B
解析 如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDA－|eq \(DC,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠BDC
＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝4－16＝－12.
12．在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案 A
解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别为与eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)所在的直线为∠BAC的平分线．
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
所以∠BAC的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC.
又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·cs∠BAC
＝eq \f(1,2)，
所以cs∠BAC＝eq \f(1,2)，∠BAC＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，则物体的重力大小为________ N.
答案 20
解析 如图所示，∵|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，
∴|F1＋F2|＝10eq \r(2)×eq \r(2)＝20 N，
∴物体的重力大小为20 N.
14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 1 eq \f(11,20)
解析 设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \(BE,\s\up6(→))2＋4eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))|＝1，
∵(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))＝(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))＝eq \(DE,\s\up6(→))2＋eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,10)))2＋eq \f(11,20)，
∴当x＝eq \f(3,10)时，(eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·eq \(DA,\s\up6(→))的最小值为eq \f(11,20).
15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是( )
A．a⊗b＝b⊗a
B．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)
C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c
D．若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1
答案 AD
解析 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；
当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
解 (1)m·n＝sin Acs B＋sin Bcs A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2)，
又因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3).
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，
可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，
所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件
a＝λb(λ∈R)
x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时等号成立)
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))