新高考数学一轮复习讲练教案5.3 第1课时 平面向量的数量积（含解析）

第三节　平面向量的数量积及其应用

第1课时　系统知识牢基础——平面向量的数量积　

知识点一　平面向量的数量积

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．

(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.

(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．

2．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

[提醒]　(1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影是不同的．

(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．

3．向量数量积的性质

设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；

a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.

特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.

(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝.

(5) |a·b|≤|a|·|b|.

4．谨记常用结论

(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；

a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

以上结论可作为公式使用．

5．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

[提醒]　对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

[重温经典]

1．(教材改编题)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.

当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，

所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，

所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件．

2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)

A．2   B．－1

C．－6  D．－18

解析：选D　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，

∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.

3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为(　　)

A．12   B．6

C．3  D．3

解析：选B　因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，

所以|b|＝＝6.

4．(易错题)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.

答案：－2

5．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.

解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos ＝1×1×＝，所以b1·b2＝－6.

答案：－6

6.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.

解析：·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－.

答案：－

知识点二　平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

[重温经典]

1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)

A．|a|＝|b|   B．(a－b)∥b

C．(a－b)⊥b  D．a与b的夹角为

解析：选CD　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故D正确．

2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，

由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，

∴10＋2－k＝0，解得k＝12.

答案：12

3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.

解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.

答案：10

4．(易错题)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影为________．

解析：a在b方向上的投影为＝－.

答案：－

5．(教材改编题)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．

解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cosa，b＝＝.

答案：

6．(易错题)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．

解析：由a·b＝2x－21<0，得x<，当a与b共线时，＝，则x＝－，故x的取值范围为x<且x≠－.

答案：∪

7．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．

解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.

答案：－2