高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案

　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[考试要求]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.

2.理解全称量词和存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别

(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．

(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．

2．全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定

提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p∨q为真命题，只有p，q都是假命题时，p∨q才是假命题．

(2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p∧q为假命题，只有p，q都是真命题时，p∧q才是真命题．

(3)p：p与p的真假相反．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

　(1)命题“3≥2”是真命题． (　　)

(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题． (　　)

(3)“全等的三角形面积相等”是全称命题． (　　)

(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

二、教材习题衍生

1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0   B．∃x0∈R，x＋x0＜0

C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x＜0

B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B．]

2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p， q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

B　[p和q显然都是真命题，所以p， q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]

3．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，lg x0＝1   B．∃x0∈R，sin x0＝0

C．∀x∈R，x3＞0   D．∀x∈R,2x＞0

C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C．]

4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．

存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]

2．全称命题与特称命题真假的判断方法

　全称命题、特称命题的否定

[典例1－1]　(1)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0   B．∃x＞0,0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0   D．∀x＜0,0≤x≤1

(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，

所以x＜0或x＞1，

所以＞0的否定是0≤x≤1，

所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B．

(2)由特称命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]

点评：(1)＞0的否定不是≤0，而是≤0或x＝1，可先求出不等式＞0的解集，再写＞0的否定．

(2)改写量词时自变量的范围不变．

　全称命题、特称命题的真假判断

[典例1－2]　(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1＞0

C．∃x0∈R，lg x0＜1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(2)下列四个命题：

p1：∃x0∈(0，＋∞)，＜；

p2：∃x0∈(0,1)，logx0＞logx0；

p3：∀x∈(0，＋∞)，＞logx；

p4：∀x∈，＜logx.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3    B．p1，p4    C．p2，p3    D．p2，p4

(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．

(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝log x在上的图象可以判断p4是真命题．]

点评：因为命题p与p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

D　[改写量词为：∃x∈R，∀n∈N*，否定结论为：n＜x2，故选D．]

2．在下列给出的四个命题中，为真命题的是(　　)

A．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝0

B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m

C．∀n∈Z，∃m∈Z，n＞m2

D．∀a∈R，∃b∈Q，a2＋b2＝1

B　[对于A：当a＝2时，a2＋b2＝0不成立，故A错误；

对于B：当m＝0时，nm＝m恒成立，故B正确；

对于C：当n＝－1时，n＞m2不成立，故C错误；

对于D：当a＝2时，a2＋b2＝1不成立，故D错误．]

考点二　含有逻辑联结词的命题                

[典例2]　(1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示(　　)

A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米

B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米

C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米

D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米

(2)已知命题p：∃x0∈R，使得lg cos x0＞0；命题q：∀x＜0,3x＞0，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．p∨(q)

C．(p)∧(q)   D．p∨q

(1)D　(2)D　[(1)p∨q表示甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米．即甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米，故选D．

(2)由－1≤cos x≤1，得lg cos x≤0，所以命题p为假命题．

当x∈R时，3x＞0，故命题q为真命题．

所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∨(q)为假命题，(p)∧(q)为假命题，故选D．]

1．“a2＋b2≠0”的含义为(　　)

A．a和b都不为0

B．a和b至少有一个为0

C．a和b至少有一个不为0

D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0

C　[a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0，因此a2＋b2≠0⇔a≠0或b≠0，故选C．]

2．已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则(　　)

A．(p)∨q为真命题

B．p∧(q)为假命题

C．p∧q为真命题

D．p∨q为真命题

D　[由a＞b⇔2a＞2b知，命题p是真命题，对x0∈R，都有|x0＋1|＞x0，因此命题q是假命题，从而p∨q为真命题，故选D．]

考点三　根据命题的真假求参数的取值范围      

[典例3]　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　由p∨q为假命题知p、q均为假命题，则p为真命题，即∀x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0，当q为真命题时，有Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

点评：(1)当p是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为p为真命题去处理，无非转化为恒成立或能成立问题．

(2)对于“p∧q为假，p∨q为真”，建议先分别求出p，q为真的参数范围，再分p真q假，p假q真讨论．

1．(2020·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[－，]　[命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，

即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，

故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.]

2．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若q∧p为真，则x的取值范围是________．

(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)　[由q∧p为真知p真，q假，当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，而q为真命题时，由＞1解得2＜x＜3.

则p真q假时有，解得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.

所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]